GNSS網絡實時動態模糊度解算病態性解決策略

鄧 健，王勝利，陳潤靜

（1.廈門理工學院 計算機與信息工程學院，廈門 361024；2.山東科技大學 海洋工程研究院，青島 266590）

GNSS網絡實時動態模糊度解算病態性解決策略

鄧 健1，王勝利2，陳潤靜1

（1.廈門理工學院 計算機與信息工程學院，廈門 361024；2.山東科技大學 海洋工程研究院，青島 266590）

針對 GNSS網絡實時動態(RTK)參考站間模糊度解算病態性問題，分析了病態性對模糊度浮點解影響，并基于無電離層組合解算模糊度基本模型，提出了改善模型病態性的兩種策略。①參數選取策略：針對高仰角衛星，采用相對天頂對流層參數代替常規雙天頂對流層參數設置，減少待估參數以改善病態性；②參數相關性優化策略：將GNSS衛星模糊度解算分為較易固定和較難固定兩類，首先獲取較易固定模糊度整數解，并反演天頂對流層延遲信息，再將該信息作為先驗信息對較難固定模糊度解算模型進行約束，通過減小天頂對流層與模糊度相關性改善病態性。算例分析表明：兩種策略在初始歷元法方程病態性就明顯優于常規模型，且只要通過少數十幾個甚至幾個歷元就能夠快速減弱法方程的病態性。該方法不需要考慮附加矩陣或參數的設置，易于實際工程應用。

病態性；模糊度解算；網絡實時動態；無電離層組合

病態性問題是GNSS載波模型難以實現高精度快速定位的主要影響因素。引起觀測方程出現病態主要由以下兩方面因素[1]：第一類是由于參數間存在近似線性關系，如位置參數、對流層延遲參數與整周未知數的關系等；第二類是由于觀測所提供的信息量不足以確定待定參數，如北斗系統中高軌衛星，衛星運行速度慢，衛星結構變化緩慢，觀測值所提供的信息量顯著地少于解算待定參數的要求。針對衛星導航定位模型病態性，早期Teunissen教授使用條件數法分析了GPS系統中雙差模型法方程協方差陣模糊度分量的病態性，說明協方差陣的條件數變化緩慢[2-3]，該項研究為模糊度解算降相關提供了理論依據。在改善載波雙差定位模型病態性方面，代表性的方法主要分為兩大類：第一類為正則化法。該方法關鍵在于構造正則化矩陣與參數。不少研究人員在分析GPS快速定位法方程特征的基礎上，提出了相應的正則化矩陣構造方法[4-7]。文獻[8-9]通過引入選權擬合構造正則化矩陣對參考站坐標進行約束，改善法矩陣病態性。第二類為嶺估計方法。該類方法是從減小均方差的角度出發而提出的一種有偏估計方法，如，約束三個坐標參數的部分嶺估計方法[10]、約束坐標參數和模糊度參數的雙k嶺估計方法[11]。文獻[12]將部分嶺估計法應用于北斗GEO/IGSO高軌衛星，改善了模型的病態性，提高了定位的精度和效率。

上述兩類方法主要是通過修正法方程系數陣，改善快速定位中模型的病態性，其有效性主要在于正則化矩陣R及嶺參數k的選取。本文將針對GNSS網絡RTK參考站間模糊度解算中無電離層組合觀測模型，從待估參數選取和參數相關性優化策略上，改善模型的病態性。

1 網絡RTK無電離層組合模糊度解算模型

在網絡RTK中較常用的模糊度解算方法是先固定雙差寬巷模糊度，然后構造無電離層組合實現基礎載波模糊度解算。考慮到參考站通常建設在較空曠的地方，衛星位置可采用精密星歷計算，因此暫不考慮多路徑效應及軌道誤差影響。無電離層組合基本方程為[13]

式中：?Δ表示衛星間、接收機間的雙差算子，IFφ?Δ為無電離層組合觀測量， ρ?Δ 為雙差衛地距， T?Δ 為雙差對流層延遲，1f、2f為載波頻率，Wλ、Nλ為寬巷及窄巷組合觀測量的波長，WN?Δ 為寬巷組合模糊度，1N?Δ 為1f載波雙差模糊度。對于寬巷組合模糊度顧及長波長特性，通過 Melbourne-Wubbena組合等方法可獲得成功率較高的固定解，這里不再詳細論述。因此，可以確定式的主要影響源來自對流層的雙差殘余，一般將其表示為天頂延遲Ztd與關于衛星高度角E的映射函數MF(E)的乘積。對于基線AB和衛星對i、j間形成的雙差對流層延遲可以表示為

將式(2)帶入式(1)，在寬巷整周模糊度固定基礎上，有如下觀測方程：

式中：?為星間單差算子，對應如下誤差方程：

其中，

簡化為

其最小二乘解：

2 病態性對模糊度浮點解影響分析

在模糊度解算過程中，通常是利用已求解的模糊度浮點解及其方差快速估計整周模糊度，因此，式(8)中模糊度浮點解 ?X的正確性是整周模糊度估計的前提和基礎。例如，在采用LAMBDA算法估計整周模糊度時，當浮點解精度較低或出現較大偏差時，無論采用何種方法去相關搜索變換，都很難提高整周模糊度的搜索效率，甚至產生錯誤的估計值。

在法方程中，假定N、W中有微小的擾動δN、δW ，相應的參數估值 ?X有偏差值 ?δX，則擾動后的法方程可表示成：

從式(10)～(12)可知，條件數較大時，若N及W有較小的擾動δN、δW，就會引起參數解的較大波動，此時模糊度浮點解與準確值將產生較大偏差。圖1選取了兩參考站模糊度解算中兩顆衛星浮點解隨法方程條件數的變化情況，其中PRN10為低仰角衛星(仰角變化范圍為17o～21o)，PRN17為高仰角衛星（仰角變化范圍為63o～59o）。由圖1可以看出，在前50個歷元中，法方程條件數非常大，達到109，從而引起衛星PRN10、PRN17雙差模糊度浮點解與準確值產生較大波動，特別是對于低仰角衛星PRN10，由于觀測噪聲大，經法方程條件數成倍放大后，模糊度浮點解受其擾動出現了數周的偏差。隨著觀測歷元增多，觀測值所提供信息量逐漸增大，法方程條件數減小，法方程由病態方程逐漸轉換為良態方程，雙差模糊度浮點解波動較小。因此可以看出，方程病態性直接影響模糊度浮點解解算的準確性和可靠性。

圖1 病態條件下法方程條件數及浮點解Fig.1 Condition number of normal equation and float resolution of ambiguity under ill-conditioned

3 模型病態性解決策略

對于上述無電離層組合模型，一方面由于觀測歷元數不足以確定待定參數引起法方程病態，另一方面則主要是由于參數間的相關性，即兩個天頂對流層參數之間的相關性以及對流層參數與模糊度參數之間的相關性[14]。為此，以下將從對流層參數選取及參數相關性優化策略改善模型病態性。

3.1 基于相對天頂對流層延遲的病態性解決策略

模糊度解算過程中在一定時間內所有觀測歷元未知數個數是一定的。對于前幾個歷元，雖然觀測值個數遠多于未知數個數，但是由于相鄰兩組觀測衛星的空間位置關系變化甚小，觀測值所提供的信息量顯著地少于解算待定參數的要求，從而導致系統病態。因此，若能夠盡可能地減少不必要待估參數個數，則在相同觀測條件情況下，需要觀測信息減少，必將間接減小模型病態性。對于無電離層組合式(3)中分別設置了對流層天頂延遲參數AZtd、BZtd，假設能用兩參考站相對天頂對流層延遲作為參數代替，則減少了待估參數個數，這有利于改善模型病態性。參考式(2)，上述假設前提是當兩參考站星間單差映射函數近似相等，即研究表明[15]，當衛星仰角大于 30°時，兩參考站星間單差映射函數近似相等所產生的對流層估計誤差小，不影響模糊度解算。因此，對高仰角衛星，將對流層延遲表示為參考站相對天頂對流層與MF映射函數的乘積：（13）

為了測試上述方法的有效性，本文選取了蘇州CORS中，基線長為64 km的兩個站點10 min GNSS觀測數據，采樣率1 s，分別采用常規雙天頂對流層參數設置(式4)及相對天頂對流層參數(式14)兩個模型，其中常規模型中又根據衛星截止高度角的不同分為兩個測試方案，三種方案的基本參數設置如表1所示。

表1 三種方案基本參數Tab.1 Parameters of three kinds of test scheme

在三種方案中，分別采用單個系統（以 BDS為例）以及組合系統（GPS/GLONASS雙系統、GPS/GLONASS/ BDS三系統）的觀測數據比較分析對應的法方程條件數，圖2為各系統衛星分布情況。

圖2 衛星分布圖Fig.2 Distribution map of satellites

從圖3不同系統組合下三種方案法方程條件數變化情況可以看出，不管是單個系統還是組合系統，在前幾個歷元中，采用相對天頂對流層模型（方案3）法方程條件數優于雙天頂對流層模型（方案1、方案2）1～2個數量級。在收斂性方面，方案3只要經過少數十幾個歷元即可快速收斂，而方案1和方案2通常需要幾十個甚至上百個歷元才能有效收斂，直接影響模糊度固定的效率，因此，采用相對天頂對流層參數設置策略可以很好改善模型的病態性。另一方面，對比方案1和方案2，其主要差別在于衛星數量，由于方案1中衛星數量較多，未知數個數也相對較多，因此，前幾個歷元中條件數較方案2大，但由于觀測過程中待估參數個數一定，隨著歷元數的增多，方案1中觀測信息量急劇增多，特別對于組合系統，對應條件數收斂速度明顯優于方案 2。此外，從單系統和組合系統分析，無論哪種方案，三系統GPS/GLONASS/BDS病態性優于雙系統GPS/GLONASS，單系統BDS方程病態性最為嚴重。

圖3 不同系統組合下三種方案法方程條件數變化情況Fig.3 Changes of the condition number with three test schemes in different systems

3.2 基于對流層約束的病態性解決策略

在GNSS模糊度解算中，通常會存在一些衛星模糊度較容易固定，如，受觀測噪聲影響小的高仰角衛星，以及多系統模糊度固定中具有三個或多個頻率觀測信息的衛星，那么我們可以先固定這類衛星模糊度，在此基礎上，反演對流層延遲信息，并將其作為先驗信息約束剩余衛星模糊度解算模型，降低天頂對流層參數與模糊度參數之間的相關性，減弱模型病態性。

綜上分析，可將衛星的模糊度分為兩類，一類是較容易固定的模糊度eN?Δ ，另一類為較難固定。則誤差方程式(4)可以變換為

在上述解算過程中，較容易固定的衛星并未起到其優勢，如果將較容易固定的衛星首先固定，然后將其帶入誤差方程，則公式(15)即可變換為

其估值為

選取蘇州CORS中基線長度分別為40 km、66 km以及94 km的三條基線，概略位置如圖4所示。任意選擇采樣率為1 s 的10 min GNSS觀測數據，對比分析采用一般解算模型(式16)及對流層約束模型(式18)下法方程條件數變化情況。

圖4 站點分布概略圖Fig.4 Distribution map of stations

對于對流層約束模型，考慮到在GPS、GLONASS及BDS系統中，BDS是現有的唯一全系統播發三頻信號的衛星導航系統。三個頻率有利于構成多種特性較優的組合觀測量，以快速固定模糊度。眾多學者對此進行了相關研究，提出了一些有效的解算方法[16-18]，這里不再詳細論述。為此，算例中將北斗模糊度歸為較容易固定的一類，可通過三頻組合預先固定模糊度，而后反演對流層延遲信息，并將其作為先驗信息約束 GPS/GLONASS模糊度解算模型，以減弱法方程病態性。圖5分別給出了三條基線在兩種模型下法方程條件數的變化情況，很明顯，在不同長度基線下，具有對流層約束模型的法方程條件數從初始歷元開始就比常規解算模型小幾個數量級，方程的病態性得到很好的改善，從而有利于模糊度浮點解的求解。

圖5 三條基線兩種模型法方程條件數變化情況Fig.5 Condition number vs. epoch for two resolution models

4 結 論

法方程病態影響模糊度浮點解的準確性和可靠性，不同于正則化和嶺估計方法。本文主要基于模糊度解算的無電離層模型，提出從對流層參數選取及參數相關性優化策略上改善模型病態性，通過理論推導及算例驗證表明，該兩種策略在初始歷元模型法方程病態性就明顯優于常規模型，且只要通過少數十幾個甚至幾個歷元，就能夠快速改善法方程的病態性，從而有利于模糊度浮點解的快速可靠解算。此外，該策略不需要考慮附加矩陣或參數的設置，易于實際工程應用。

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Resolving strategies for ill-posed equation in ambiguity resolution of GNSS network real-time kinematics

DENG Jian1, WANG Sheng-li2, CHEN Run-jing2
(1. School of Computer and Information Engineering, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China; 2. Institute of Ocean Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

The ill-posed problem in ambiguity resolution between reference stations in network RTK(real-time kinematic) has adverse influence on the float solution of the ambiguity. Based on the analysis on this influence and by using an ionosphere-free linear combination model, two strategies are put forward: One is the parameter-selecting strategy, which improves the ill-posed equation for satellites at high elevation by reducing the unknown parameters, that is, a single relative zenith tropospheric parameter was applied instead of conventional two zenith tropospheric parameters. The other is by optimizing the parameter’s correlation, in which the ambiguities to be resolved are classified into two categories, one is easy to be fixed, and the other is difficult to be fixed. The former parameters are estimated and then inversely calculated to obtain the zenith tropospheric delay parameters, and then they are used as priori information to constrain the model. Thus the correlation between the zenith tropospheric parameters and the ambiguities is weakened, which improves the ill-posed equations. Test results for the two strategies show that the normal equations formed at initial epochs are evidently less ill-posed, compared with the conventional models. The ill-posed state of the normal equation can be rapidly weakened only by a few dozen or even several epochs. This method doesn’t need to set the additional matrix or parameters, and can be easily applied into practical application.

ill-posed; ambiguity resolution; network RTK; ionosphere-free linear combination

P228.1

A

1005-6734(2016)01-0014-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.004

2015-10-14；

2016-01-20

國家自然科學基金（41204032）；福建省自然科學基金（2015J01176）

鄧健（1981—），男，副教授，從事衛星導航定位技術與應用研究。E-mail: dengjian163@126.com