基于小波方差的MEMS IMU隨機誤差模型間接估計方法

劉 菲，任 章，李清東

（北京航空航天大學 自動化科學與工程學院，北京 100083）

基于小波方差的MEMS IMU隨機誤差模型間接估計方法

劉 菲，任 章，李清東

（北京航空航天大學 自動化科學與工程學院，北京 100083）

MEMS IMU（Mirco Electro Mechanical System Inertial Measurement Unit）微機電慣性測量模塊廣泛應(yīng)用于組合導航系統(tǒng)，其中MEMS IMU隨機誤差模型的準確性對導航精度有著重要的影響。針對Allan方差法在估計隨機誤差模型方面的不足，研究了間接估計方法。該方法以Daubechies離散小波變換與間接推斷原理為基礎(chǔ)，根據(jù)小波系數(shù)的零均值平穩(wěn)特征，對分解尺度進行確定，將小波方差作為間接估計輔助參數(shù)，分析了最優(yōu)估計準則的漸近一致性，最后使用高斯牛頓法對估計結(jié)果進行校正，獲得滿足漸近一致性的隨機誤差模型參數(shù)估計結(jié)果。仿真結(jié)果表明，間接估計方法提高了隨機誤差模型的估計精度，其中一階馬爾科夫過程的相關(guān)時間估計精度提高了12.383%，解決了一階馬爾科夫過程模型的準確估計問題。通過試驗結(jié)果分析，進一步證明了以上結(jié)論。

MEMS IMU；隨機誤差模型；Daubechies離散小波變換；小波方差；間接推斷

MEMS IMU功耗低、體積小、成本低、抗過載，使用MEMS IMU的組合導航系統(tǒng)已經(jīng)廣泛用于戰(zhàn)術(shù)武器、小型無人機、車輛與行人導航、穩(wěn)定平臺等領(lǐng)域。但是，受制造工藝和精度水平的限制，MEMS IMU隨機誤差較大，具有非平穩(wěn)特性，且模型復雜，很難消除，因此需要對MEMS IMU的隨機誤差模型進行深入研究。

通常使用近似建模對隨機誤差模型進行分析[1]，典型的建模方法是Allan方差法，IEEE將其作為慣性器件隨機誤差分析的標準方法。但是，Allan方差在隨機誤差模型分析中存在能量泄漏現(xiàn)象，Howe對這一問題進行了深入研究[2]，同時對于MEMS IMU隨機誤差建模常用的一階馬爾科夫過程，這一隨機過程的統(tǒng)計特性模型復雜，Allan方差法通常采用近似分段估計不同的參數(shù)，估計精度較低。

小波方差在不同分解尺度上對隨機誤差的方差進行分解，是一種新的規(guī)范頻譜分析方法，有效地降低了能量泄漏[3-4]，因此開始廣泛應(yīng)用于隨機誤差模型分析。國內(nèi)高玉凱、宋凝芳等首次將小波方差理論用于光纖陀螺隨機誤差模型分析，結(jié)果證明小波方差法可以更加準確的反映各項誤差的變化情況，有效地進行誤差項的提取[5-6]，但文中沒有考慮具有相關(guān)時間特性的一階馬爾科夫誤差項。國外 Walden、Percival、Serroukh等對小波方差特性進行了深入的研究，在隨機序列特性分析方向推導了多項定理，為進一步研究奠定了理論基礎(chǔ)[7-10]，但沒有提出針對一階馬爾科夫過程模型系統(tǒng)的有效估計方法。

針對以上問題，本文將小波方差與間接推斷理論用于MEMS IMU隨機誤差模型估計。首先，文中對小波方差與隨機誤差模型的關(guān)系進行了研究，根據(jù)MEMS IMU隨機誤差的數(shù)據(jù)特征，研究小波分解尺度的確定方，為間接估計方法提供理論基礎(chǔ)。其次，由間接推斷原理，研究MEMS IMU隨機誤差模型間接估計步驟，采用高斯牛頓法對模型參數(shù)進行校正，獲得漸近一致的估計結(jié)果。最后采用仿真數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)對間接估計方法進行性能驗證，并對結(jié)果進行分析。

1 隨機誤差小波方差研究

1.1 小波方差原理

小波變換是在傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來的數(shù)學分析方法，是一種時頻的分析方法，小波變換采用小波函數(shù)逼近原信號。假設(shè)是 MEMS IMU輸出的離散信號序列，長度為N，采樣率為sf，對進行離散小波變換，采用母小波 ()tψ進行尺度及平移處理，假設(shè) 2pN= ，p是正整數(shù)，尺度按二進制變化時，小波基函數(shù)可表示為

尺度大小等于k時，小波方差定義為

式中：是對應(yīng)的頻域濾波器，當具有確定的模型時，模型的概率密度函數(shù)已知，可得出固定尺度下的小波方差與模型的關(guān)系[11]，由這一關(guān)系可對模型的未知參數(shù)進行估計。

MEMS IMU通常用于工作時間較短的導航系統(tǒng)，輸出數(shù)據(jù)的隨機誤差可由高斯白噪聲與幾種具有后向差分性質(zhì)的非平穩(wěn)隨機序列（如式(6)所示）擬合，使用 Allan方差法分析隨機誤差類型，從而得出的確定模型，為隨機誤差模型的估計提供基礎(chǔ)。

1.2 小波分解尺度確定

當采用Daubechies函數(shù)進行離散小波變換時，各個尺度下濾波器的長度為其中1L是尺度等于1時的濾波器長度，此時濾波器長度最短，根據(jù)研究結(jié)果[12]：若要求b階后向差分非平穩(wěn)隨機序列在離散小波變換后生成的小波系數(shù)是零均值的平穩(wěn)隨機序列，只需滿足。由此可見，Daubechies小波系數(shù)均值消除了不確定性，具備良好的數(shù)據(jù)特征。

對進行Daubechies離散小波多分辨分析過程中，獲得多組小波系數(shù)與一組尺度系數(shù)，其中尺度系數(shù)包含大部分的原信號信息，與原信號最接近，小波系數(shù)包含大量的原信號細節(jié)信息，如隨機誤差。因此，在多尺度分解過程中，分解尺度的選擇是一個難點：① 不同的傳感器或同一傳感器不同的使用環(huán)境與時間，都會導致信號分解所需的尺度不同；② 隨著分解尺度的增大，小波系數(shù)的均值不再等于 0，若選擇的尺度過大，則小波系數(shù)中將包含信號的低頻特征，不利于誤差特性分析。為了對分解尺度K進行判斷，本文采用一種簡單方法對每一層的小波系數(shù)的均值進行檢驗，設(shè)1c是大于零的小量，檢驗依據(jù)如下：

2 間接推斷原理應(yīng)用

間接推斷法是經(jīng)濟學領(lǐng)域一種重要的參數(shù)估計方法，該方法主要是為了解決含有隱形變量模型、有缺失數(shù)據(jù)模型和非線性動態(tài)模型的參數(shù)估計問題。間接推斷法以間接標準為基礎(chǔ)，即最優(yōu)準則并不直接為被估計量提供一致性估計，是一種有效的復雜模型參數(shù)估計方法。在使用時分為兩個步驟：① 提出滿足漸近一致性的最優(yōu)準則與輔助模型；② 將實際模型模擬數(shù)據(jù)與量測數(shù)據(jù)帶入到最優(yōu)準則中，根據(jù)被估參數(shù)與輔助參數(shù)的關(guān)系校正被估參數(shù)，獲得具有漸近一致性的被估參數(shù)估計結(jié)果[13-14]。

本文主要研究的MEMS IMU隨機誤差，其模型不含外生控制變量，可將動態(tài)模型表示為：

式中：ty是量測量，tε是白噪聲，θ是需要估計的未知參量，θ中包括多個隨機誤差的相關(guān)時間系數(shù)及驅(qū)動噪聲方差，選用隨機誤差的小波方差作為輔助參數(shù)，根據(jù)式(5)建立被估計參數(shù)與輔助參數(shù)的關(guān)系F(·)，且有：

式中：0θ是被估計參數(shù)的真值，是ty在尺度k下的小波方差估計值。由式(9)可以看出，當ty為有限長度的序列時，是的一致性估計。

在實際應(yīng)用中，MEMS IMU隨機誤差通常由幾個獨立的隨機過程組成，即，這時隨機誤差的小波方差可擴展為

根據(jù)上一節(jié)的研究，將小波方差特性與間接推斷方法結(jié)合，可得出具有漸近一致性的隨機誤差模型參數(shù)估計方法，間接估計方法分以下幾步執(zhí)行：

① 采用Allan方差法分析隨機誤差類型；

② 根據(jù)隨機誤差類型確定需要估計的參數(shù)θ；

圖1 隨機誤差參數(shù)估計流程Fig.1 Flowchart for parameter estimation of random errors

3 仿真驗證

首先采用仿真數(shù)據(jù)對間接估計方法進行驗證，并與ALLAN方差法的估計結(jié)果進行對比。根據(jù)常用的MEMS IMU隨機誤差模型生成仿真數(shù)據(jù)，模型參數(shù)如表1所示，數(shù)據(jù)采樣率設(shè)置為1 s，采集時間3 h，共108 000個數(shù)據(jù)點。

表1 模擬隨機誤差參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameters for random error simulation

表1中2σ表示激勵白噪聲方差，τ是一階馬爾科夫過程的相關(guān)時間常數(shù)。

將估計結(jié)果及相對誤差計算結(jié)果總結(jié)在表2中，估計過程的迭代曲線如圖2所示。由表2可得出間接方法估計精度更高，尤其是一階馬爾科夫過程相關(guān)時間，Allan方差法計算結(jié)果相對誤差為20.82%，間接估計方法將相對誤差降低到8.437%。從圖2中可以看出，4個參數(shù)的估計結(jié)果分別收斂，其中收斂速度最快，τ的收斂速度最慢，由于計算過程中的數(shù)值誤差、數(shù)據(jù)長度等因素，間接估計結(jié)果與真值存在一定偏差，但并不影響對間接估計理論的驗證。

圖2 基于間接法的仿真數(shù)據(jù)參數(shù)估計曲線Fig.2 Curves of parameter estimation by simulation based on indirect inference method

表2 仿真數(shù)據(jù)模型參數(shù)估計結(jié)果Tab.2 Parameter estimation results of the simulation model

4 試驗結(jié)果分析

這一節(jié)使用試驗數(shù)據(jù)進一步驗證估計性能，與上一節(jié)相比，無法獲得準確的MEMS IMU隨機誤差模型進行對比分析，因此將估計結(jié)果用于多傳感器姿態(tài)融合算法，根據(jù)校正后的姿態(tài)結(jié)果驗證隨機特性估計方法。試驗使用的MEMS IMU模塊由ADXRS623陀螺儀和 ADXL320加速度計組成，數(shù)據(jù)輸出頻率是50Hz，采集30min靜態(tài)數(shù)據(jù)。分別計算三軸陀螺輸出數(shù)據(jù)和三軸加速度計輸出數(shù)據(jù)的Allan方差，并畫出雙對數(shù)曲線，如圖3、圖4所示。

從圖3、圖4可以看出，陀螺儀輸出的隨機誤差主要由白噪聲和一階馬爾科夫過程組成，加速度計輸出的隨機誤差主要由白噪聲和隨機游走噪聲組成，因此選用的融合模型狀態(tài)量誤差項為以上4種。

分別采用 Allan方差法與間接估計方法對六組觀測數(shù)據(jù)的隨機誤差參數(shù)進行估計，估計結(jié)果如表 3、表4所示。與仿真數(shù)據(jù)的估計結(jié)果相比，實測數(shù)據(jù)的估計結(jié)果差距較大，在使用 Allan方差法估計隨機誤差模型參數(shù)時，一階馬爾科夫過程的雙對數(shù)曲線特征不清晰，無法進行準確的參數(shù)估計。

圖3 陀螺數(shù)據(jù)Allan方差雙對數(shù)曲線Fig.3 Loglog of Allan variance by gyro data

圖4 加速度計數(shù)據(jù)Allan方差雙對數(shù)曲線Fig.4 Loglog of Allan variance by accelerometer data

試驗數(shù)據(jù)選自實驗室小型無人機的一次飛行試驗，小型無人機分別搭載了MEMS IMU模塊與高精度組合導航系統(tǒng)，高精度導航系統(tǒng)作為參考系統(tǒng)。選用飛行試驗中200 s的穩(wěn)定飛行數(shù)據(jù)，這段時間內(nèi)小型無人機的飛行軌跡如圖5所示，在200 s以內(nèi)東（East）、北（North）、高（Up）方向的位置變化以m為單位，在100 s到120 s 飛行過程受到擾動，有姿態(tài)變化。為了便于結(jié)果展示，使用 Allan方差法、間接估計方法結(jié)果的驗證過程分別稱為方案1、方案2，融合后姿態(tài)校正結(jié)果如圖6～圖8所示，其中紅色曲線為參考姿態(tài)，黑色、藍色曲線表示方案1、方案2校正后的姿態(tài)結(jié)果，將校正后的姿態(tài)誤差方差、誤差絕對值均值及誤差范圍總結(jié)在表5中。

圖5 飛行試驗軌跡Fig.5 Test flight trajectory

表3 陀螺隨機誤差參數(shù)估計結(jié)果Tab.3 Parameter estimation results of gyro random errors

表4 加速度計隨機誤差參數(shù)估計結(jié)果Tab.4 Parameter estimation results of accelerometer random errors

由結(jié)果可以看出方案2的姿態(tài)誤差較小，并且方案2更加有效地抑制了姿態(tài)誤差漂移，尤其是偏航角與俯仰角誤差，即使?jié)L轉(zhuǎn)角的誤差仍有較小的誤差漂移，但與方案1相比有明顯改善。由此可見，間接方法估計結(jié)果更能真實地反映MEMS MIMU的隨機誤差，該結(jié)論與仿真數(shù)據(jù)驗證結(jié)果相符。

圖6 校正后的偏航角Fig.6 Calibrated yaw angle

圖 7 校正后的俯仰角Fig.7 Calibrated pitch angle

圖 8 校正后的滾轉(zhuǎn)角Fig.8 Calibrated roll angle

差方差/(°)2 姿態(tài)角誤差均值/(°) 姿態(tài)角誤差范圍/(°) 方案2 方案1 方案2 方案1 方案2 0.700 9 0.534 0 0.4524 0.914 7 ～ -4.068 2 0.532 7 ～ -4.049 2俯仰角 0.053 6 0.026 4 0.398 4 0.1873 0.831 5 ～ -0.079 4 0.664 3 ～ -0.024 8滾轉(zhuǎn)角 0.044 9 0.018 9 0.286 7 0.1171 0.782 7 ～ -0.031 6 0.490 2 ～ -0.021 8

附錄：MEMS IMU常見隨機誤差的Allan方差與小波方差A(yù)ppendix: The Allan variance and wavelet variance of common MEMS IMU random errors

5 總 結(jié)

論文針對MEMS IMU隨機誤差模型參數(shù)估計問題，深入研究了小波方差理論與間接推斷原理，提出了間接估計方法。文中首先介紹了小波方差與隨機誤差模型的對應(yīng)關(guān)系，并根據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計特性，確定了小波分解尺度，其次，將小波方差與間接推斷原理相結(jié)合，確定了最優(yōu)估計準則與輔助參數(shù)；最后對間接估計方法步驟進行了詳細介紹。通過仿真驗證與試驗驗證，結(jié)果表明，與ALLAN方差法相比，間接估計方法可以準確地估計一階馬爾科夫過程模型參數(shù)，且提高了MEMS IMU的隨機誤差模型參數(shù)估計精度，為隨機誤差模型的研究提供了新方法。

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Indirect estimation method for random error models of MEMS IMU based on wavelet variance

LIU Fei, REN Zhang, LI Qing-dong
(School of Autonomous Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China)

Recently, MEMS IMU has been widely used in the integrated navigation system, and the accuracy of random error models has important effects on the navigation information. Regarding the disadvantages of the Allan variance method in parameter estimation, the indirect estimation was proposed. On the basis of Daubechies discrete wavelet transform and indirect inference theory, wavelet decomposition scale was determined by wavelet coefficient series properties. Then wavelet variance was adopted as the auxiliary parameter of indirect estimation, and an optimal criterion possessing progressive consistency was researched. Finally, Gauss-Newton method was utilized to calibrate the estimated results of random error model parameters which satisfied asymptotic consistency. Simulation indicated that, compared with Allan variance method, the indirect estimation method improved the accuracy of parameter estimation, and the accuracy of a first-order Markov random process correlation time was improved 12.383%. So the indirect estimation method effectively resolved the issue concerning accurate parameter estimation of a first-order Markov process model. By analyzing test results, the conclusions were verified further.

MEMS IMU; random error models; Daubechies discrete wavelet transform; wavelet variance; indirect inference

U666.1

A

1005-6734(2016)01-0077-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.014

2015-09-05；

2015-11-29

國家自然科學基金重點項目（61333011）

劉菲（1985—），女，博士后，從事小型飛行器導航技術(shù)研究。E-mail: lf1985liufei198@bit.edu.cn