法之不同　品有所異*

●呂振杰　　(豐寧滿族自治縣第三中學　河北承德　068350)

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法之不同品有所異*

●呂振杰(豐寧滿族自治縣第三中學河北承德068350)

摘要：“提高解題效能、提升解題能力、優化思維品質”是數學教學的核心任務，教學中如何以一題為抓手，兼顧效能、能力、品質的培養，應該成為教學的新常態.本文從解題的通法、巧法、奇法3個維度予以拋磚引玉，以期有所引領.

關鍵詞：解題;方法;策略;品質

解題是數學學習中最主要的活動.波利亞說過：數學就是解題.然而對于同一個問題，采取不同的策略處理，往往能獲得不同的數學訓練效能，展示別樣的思維精彩.在教學和復習中，“如何實現法之不同、品有所異的效果”應該成為教師教學中的追求和境界.下面以4個例題為例進行闡釋.

1通法萬能，培養習慣

通法是一切方法的基礎，高考一般考查通法、基本方法.沒有通法的熟練，就不會有巧法和妙法的悟道，更不可能有奇法的妙解.重要的通法，學生應該牢固掌握，使“通法”成為解題的“利器”.

例1若關于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立，求實數a的取值范圍.

分析觀察發現不等式中含有cos2x和cosx，聯想到它們之間的關系是

cos2x=2cos2x-1.

這樣原不等式變為

a(2cos2x-1)+cosx+1≥0，

這就出現了“二次函數”的類型.設cosx=t，則上式變為

2at2+t-a+1≥0，

其中-1≤t≤1.這樣問題就變為：當-1≤t≤1時，不等式2at2+t-a+1≥0恒成立，求a的取值范圍.

令f(t)=2at2+t-a+1，其中-1≤t≤1.

1)當a=0時，函數f(t)=t+1是一次函數，因為-1≤t≤1，所以f(t)=t+1≥0顯然成立.

Δ=1-8a(-a+1)≤0,

即

解得

f(-1)=2a-1-a+1=a.

Δ=1-8a(-a+1)=8a2-8a+1>0，

拋物線f(t)=2at2+t-a+1與t軸有2個交點.此時，

min{f(-1)=a,f(1)=a+2}=f(-1)=a，

f(-1)=2a-1-a+1=a.

上述解題過程盡管過程冗長，但卻是通法，一般學生都應該掌握.通法的價值在于思維起步較低、容易上手，而解題過程中用到分類、數形結合的思想方法是要求學生熟練掌握的，也是教學中必須加以強化和訓練的.而在解題過程中出現的較大運算量，就是要解決目前學生“計算能力偏，解題中一看就會、一做就錯、眼高手低”的問題.這樣的解題訓練旨在培養學生的耐心和解題毅力，這一品質習慣的形成是高考解決解析幾何和函數問題都必須具備的素養，平時教學中要通過系統的訓練培養學生“通法上手，咬定解題不放松”的品質.絕不能在奇、特、巧上過分追求，梳理出各部分知識結構中的通法、基本方法和根本方法，才是教學的滄桑正道！

1)求{an}的通項公式；

(2015年全國數學高考新課標卷理科試題)

分析本題突出考查通法：2式相減和裂項相消，這是處理數列問題的重要思維策略.

上述2個式子相減，得

(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).

因為an>0，所以

an-an-1=2，

從而數列{an}是等差數列.容易得到a1=3，這樣

an=3+2(n-1)=2n+1.

2巧法簡潔，培養優化

訓練學生解題的簡潔性、迅速性，縮短解題時間，優化解題路徑，是數學教學的重要任務.解題中運用通法解答后，應該引導學生再思考:還有巧法嗎?也就是我們經常說的一題多解，而這里追求的多法，要聚焦到“巧”上.巧法的關鍵在于對問題的變通——巧變形、巧構圖、巧遷移，關注思維點的啟發以及數學知識的遷移和重構.

以上2個例題如果訓練到此結束，未免有些遺憾，應鼓勵學生展開自己的思維翅膀，繼續探究是否有妙法.

因為acos2x+cosx≥-1可轉化為

a(2cos2x-1)≥-1-cosx，而

-2≤-1-cosx≤0，

所以對于任意x∈R，a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立.

1)當2cos2x-1≥0時，要使a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立，必須使a≥0.

因此

例3平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(其中m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m的值為

()

A.-2B.-1C.1D.2

(2014年四川省數學高考理科試題)

圖1

分析本題用純代數法可以解答，但是計算較為繁瑣.改用數形結合法：因為ma與a共線，利用矢量的平行四邊形法則，構造如圖1所示的圖形，可得

因為OBCD為平行四邊形，并且∠COB=∠COD，可以得到∠DCO=∠COD,所以

于是

|ma|=|b|，

故

3奇法制勝，培養創新

出奇制勝，秒殺難題，于數學天地間馳騁，于解題突圍中創新，這就是數學更高、更遠、更強的奧林匹克精神.這樣堅持有助于培養學生的創新意識和創新能力.而奇法、妙法的生成不是一蹴而就的，需要不斷積累知識、錘煉批判意識和挑戰意識，更需要將知識融會貫通.“奇法”的關鍵在于突破固有思維模式的禁錮，在一般中找特點，在抽象中尋直觀，在看似不相關中建相關，突破模式化思維束縛.

對于例1，因為“關于x的不等式acos2x+cosx≥-1恒成立”，也就是a(2cos2x-1)≥-1-cosx恒成立.

1)因為對任意的x不等式成立，所以令cosx+1=0，得到a≥0.

2)設1+cosx=t，則t∈[0,2].原不等式變為

a[2(t-1)2-1]≥-t?a(2t2-4t+1)≥-t,

當t=0時顯然成立.當t∈(0,2]時，可得

從而

本題的解法有3“奇”：奇在特值的應用、奇在變量換元為非負數、奇在變換成等價形式后用基本不等式.

例4已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-2c)=0，則|b-c|的最小值為

()

(2014年河北省衡水中學第5次調研試題)

圖2

分析本題用代數法完成幾乎不可能，用構造法可以出奇制勝.

因為|a|=|b|=a·b=2，由a·b=2得

|a|·|b|cos=2,

從而

中圖分類號：O122

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-12-04

作者簡介：呂振杰(1966-)，男，河北承德人，河北省特級教師，研究方向：數學教育.

修訂日期：*收文日期：2016-02-27；2016-03-30.