一道向量習題引出的思考與拓展*

●王順耿　　(高明區第一中學　廣東佛山　528500)

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一道向量習題引出的思考與拓展*

●王順耿(高明區第一中學廣東佛山528500)

摘要：通過教材上一道向量習題，體會編著者對教材習題選編的匠心.借助平面向量基本定理將斜角坐標與直角坐標建立聯系；利用斜角坐標的相關知識，巧解非正交、且難以用直角坐標求解的命題.

關鍵詞：教科書；向量；斜角坐標

數學教科書上的例、習題，都是編著者經過精心思考、反復斟酌形成的，它不僅很好地承擔了大綱中要求掌握的知識載體，而且還準確體現課程標準的要求，傳達一種信息、引領未來考試的基本方向.如果我們在日常教學與學習中留心品味，可以發現有些例、習題可能還站在整個數學體系的高度，承前啟后，體現出編著者的獨具匠心.

圖1

1一道向量習題

2)由平面向量基本定理，本題中向量坐標的規定是否合理？

(普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修4)》102頁第4題)

2對編寫這道習題的理解

向量是一個群的模型，它對加法運算構成群；同時它也是一個線性空間模型，即向量、實數對向量加法、數與向量乘法構成線性空間；給向量賦以長度，向量、實數對向量加法、數與向量乘法構成線性賦范空間.因此，向量是抽象代數、線性代數、泛函分析中的基本數學模型，是理解它們的基礎.平面向量基本定理又是平面向量中一個極為重要的模型，借助基本定理將向量坐標化，把幾何與代數聯系起來，同時又是通向線性代數中線性關系的基礎[2].

因為(a-c)·(b-2c)=0，所以

(a-c)⊥(b-2c)，

即

從而

于是

例1提示我們：向量的代數化(坐標化)，除了利用向量基本定理通過正交分解把一個向量表示為標準正交基下的線性組合，還可以應用向量基本定理將任一向量斜向分解，通過另一種形式的坐標來表達，以便遇到非正交問題時能找到另一種解決途徑.筆者順著編著者的思路，以例1為引子展開深入思考，先在理論知識上加以延拓和銜接.

3斜坐標轉化為直角坐標

圖2

遵循知識類比和知識遷移的規律，我們暫且把習題中的坐標系xOy形象地稱為斜坐標系，有序數對(x,y)就叫斜坐標.與直角坐標系一樣，斜坐標系也將平面分成4個象限，分別取定x,y軸上的單位長度|e1|,|e2|，將平面沿x,y軸2個方向的直線進行分割，這樣每個交點都會有唯一的斜坐標.

如圖2，設e1,e2分別是斜坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，i,j是直角坐標系x′Oy′中x′軸、y′軸正方向上的單位向量，∠xOy=θ，則e1=i.在直角坐標系中，由平面向量基本定理與三角函數定義得e2=cosθ·i+sinθ·j,那么向量

4平面向量的斜坐標運算

在斜坐標系中，設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，根據平面向量的基本定理以及向量線性運算的結合律和分配律可得

a+b=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2=(x1+x2,y1+y2),

同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1),

即平面向量斜坐標的加、減、數乘等線性運算與直角坐標系下向量坐標的線性運算的規律一致.

同理可以推得：在斜坐標系中向量a=(x1,y1),b=(x1,y2)共線的充要條件為x1y2-x2y1=0，也與直角坐標系下向量共線的充要條件一致.在斜坐標下求向量的模及向量間的夾角，可將斜坐標轉化為直角坐標來求解.

向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2),α是a與b間的夾角，a,b轉化為直角坐標下的向量為

a=(x1+y1cosθ,y1sinθ),b=(x2+y2cosθ,y2sinθ),

則

從而

進一步研究發現：在斜坐標系中，直線的方程仍然是一次式，直線方程的截距式、兩點式、斜截式與直角坐標系中完全相同，定比分點公式、2條直線平行的條件也完全相同.

5斜坐標的有效利用

有了上面斜坐標的相關知識，當我們面臨非正交、且難以用直角坐標求解的問題時，不妨試試斜坐標，也許會為解題帶來意外的收獲.

5.1解教材中的相關習題

1)求長度(模)、夾角.

例1見文首.

例2若e1,e2是夾角為60°的2個單位向量，則a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角為

()

A.30°B.60° C.120°D.150°

(普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修4)》119頁B組第1題第5)小題)

分析利用斜坐標知a=2e1+e2=(2,1),b=-3e1+2e2=(-3,2),從而

從而α=120°.故選C.

2)向量共線的判斷.

例3若|a|=2,|b|=3，且a和b不共線，試確定實數k，使得(ka+b)∥(a+kb).

解轉化為斜坐標.設a=(2,0)，b=(0,3),則

ka+b=(2k,3),a+kb=(2,3k).

由x1y2-x2y1=0得k=±1.

圖3

5.2在物理問題中的應用

(普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修4)》113頁A組第4題)

解以矢量F1,F2所在直線為斜坐標的x,y軸，則

即

設合力F與F1的夾角為α，則

即α=30°，從而F3與F1的夾角為150°.

例6日常生活中，我們都有這樣的體驗：2個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單桿做引體向上運動，2臂的夾角越小越省力，請用相關知識解析.

圖4

即

5.3簡證經典名題

證明如圖5，分別以BC,BA為x軸、y軸建立斜坐標系.設C(a,0)，A(0,c),P(b,0),R(0,d),則在斜坐標系中,直線AC的方程為

圖5 圖6

直線RP的方程為

解方程組

得

命題得證.

證明同樣以BC,BA為x軸、y軸建立如圖6所示的斜坐標系.設C(a,0)，A(0,c),P(b,0),R(0,d),則

從而

圖7 圖8

5.4簡解高考題或其他綜合題

(2006年湖南省數學高考理科試題)

a1+a200=1，

故

由此我們知道：與傳統解法相比，有些題目運用斜坐標的解法顯然更容易、更快捷、思路更新穎；筆者深信，斜坐標的有效應用肯定還可以更深入地滲透于解析幾何、三角函數等相關知識中，只要平時留心體會、投入其中，可以發現更多問題可以用斜坐標有效、簡捷地解決.這也算是編著者引入斜坐標習題的另一收獲吧!

參考文獻

[1]課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修4)》[M]．北京：人民教育出版社,2007.

[2]嚴仕健，張奠宙，王尚志．普通高中數學課程標準解讀[M]．南京：江蘇教育出版社,2004.

[3]趙臨龍.對偶原理下的Menelaus定理與Ceva定理的統一[J].中學教研(數學), 2011(7):37-39．

中圖分類號：O123

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6407(2016)05-15-05

作者簡介：王順耿(1966-)，男，浙江淳安人，中學高級教師，研究方向：數學教育.

修訂日期：*收文日期：2015-11-28；2015-12-30.