基于Leonard規正變量的修正高分辨率組合格式?

牛云霞, 李春光, 景何仿

(1-北方民族大學數學與信息科學學院，銀川 750021;2-新疆大學科學技術學院(阿克蘇校區)，阿克蘇 843000;3-北方民族大學數值計算與工程應用研究所，銀川 750021)

doi:10.3969/j.issn.1005-3085.2016.06.002

文章編號:1005-3085(2016)06-0578-09

收稿日期:2015-04-07. 作者簡介:牛云霞(1989年10月生)，女，碩士.研究方向：計算流體力學.

?基金項目:國家自然科學基金(11361002)；寧夏自治區水利廳水資源項目([2015]50-18)；北方民族大學研究生創新項目(YCX1555)；北方民族大學數學與信息科學學院研究生創新項目.

?通訊作者:李春光 E-mail:cglizd@hotmail.com

1 引言

自然界的大部分流動和傳熱現象都可以用對流擴散方程進行描述．傳統的求解對流擴散方程的差分方法，對于大變形及間斷問題的計算結果往往無法滿足實際需求．因此，高分辨率格式的研究廣泛受到學者們的重視．對流擴散方程的擴散項用二階精度的中心差分格式，可滿足大多數工程計算，對流項格式的構造，往往可以決定一個格式的好壞．

本文基于Leonard規正變量，對于不同區域的規正變量進行了重構，得出了求解對流擴散方程的修正高分辨率組合格式，推導出了組合格式計算過程迭代收斂的充分條件．

數值實驗表明，新格式滿足有界性、穩定性的要求，有效提高了格式的分辨率并減小了解析解與數值解之間的總偏差量．因此，根據計算迭代收斂性的條件在BAIR區域構造的高分辨率組合格式是合理的，具有一定的實際參考價值．

2 規正變量與二階精度格式

2.1 Leonard規正變量

為了簡化高階組合格式的函數關系定義表達式，根據文獻[1]提到的規正變量及規正變量定義圖，如圖1所示，在一維均勻網格上三個相鄰的節點為U,C,D分別表示上游、中間及下游節點，這三個節點上的被求函數值分別記為?U,?C,?D，位于節點之間的界面值記為?(x)．帶有迎風傾向的高階格式可表示為?f=f(?U,?C,?D)．

Leonard規正變量定義為

易得=0,=1，因此，引入規正變量后，界面插值函數就僅僅是??C的函數了，即??f=f(??C)，見圖2．

圖1:常規定義

圖2:規正變量定義

2.2 二階精度格式的推導

一維非穩態對流方程的通用形式為

其中ρ表示流體密度，?表示任意場變量，u表示?在x方向的流動速度．

以圖3所示一維均勻網格為例，設速度u>0，變量?在e、w界面的值按照如下形式插值[1]

圖3:一維均勻網格示意圖

為了分析對流項的精度及確定格式定義表達式(3)中的系數ai?1,ai,ai+1的值，我們采用文獻[2,3]中Leonard所用的Taylor級數展開法，即

從式(4)可獲得求解二階精度差分格式的限制性條件

求解方程組(5)，并用點ai的值表示點ai?1和點ai+1，可得

因此，滿足(7)式的ai取不同的值就形成了不同的二階差分格式．

根據式(1)，式(7)可整理為

由此得出結論：無論ai取任何值(ai?=)，二階精度的差分格式的特征線必然要經過點(0.5,0.75)．Leonard指出特征線通過點(0.5,0.75)的格式都具有至少二階的精度[1,3]．

利用文獻[4,5]的分析方法可得用規正變量定義的二階精度絕對穩定格式的表達式

為了進一步改進組合格式，1988年，Gaskell與Lau[6]提出了一種對流項差分格式有界性準則(GL-CBC,convective boundedness criterion)，文獻[7]認為GL-CBC僅僅是一個充分條件，并提出了拓寬的對流有界性準則(ECBC,extended convective boundedness criterion)．通過仔細研究GL-CBC和ECBC，計算發現某些滿足上述兩個準則的格式計算精度低，根據文獻[1]提到的新通用對流有界性準則(GCBC,generalized convective boundedness criterion)，GL-CBC和ECBC是這一判據的兩種極限情況．

文獻[1]指出，在NVD中構建有界且精確的合理插值方法應該滿足以下條件：

(a)GL-CBC準則；

(b) 在NVD區域特征線應該通過(0.5,0.75)；

(c) 下式變量參數的最大絕對值須在[?0.125,0.375]范圍內，以滿足插值的合理性：

上述三個條件被稱為BAIR(boundedness accuracy and interpolative reasonableness)．在圖4中虛線區域加上區域外兩段一階迎風線(??C<0和??C>1)表示BAIR區域．在此區域內格式有界，至少具有二階精度且具有插值合理性．在NVD上，BAIR包括三個必經點O(0,0),Q(0.5,0.75),P(1,1)這也是所有高階組合格式應通過的點．

圖4:BAIR區域

3 高分辨率組合格式的構造

依據規正變量定義得出的高分辨率組合格式可以寫成以下的通用形式

其中mC與kC在的某一取值范圍內均為常數．

根據式(1)，式(9)可寫為

由此可以得出

則方程(12)的迭代矩陣為嚴格對角占優矩陣，此時TDMA算法迭代過程是收斂的[10-12]．

綜上可得結論，在NVD中構建有界且計算過程迭代收斂的差分格式應該滿足以下條件：

(a) 高分辨率格式是在BAIR區域構造的；

(b) 格式的參數滿足ki<3mi+?1．

基于以上理論分析，本文提出了修正高分辨率組合格式(即Mnew格式)．由于特征線靠近一階迎風時，格式具有較高的擴散，因此可以選擇遠離一階迎風的特征線減小擴散．下面列出新格式與已有格式的表達式：

Mnew格式：

根據式(10),(14)和(15)可得β<+．在新格式中參數β不再是一個經驗參數，定義為β=0.45+．因此，參數β可根據網格比r的分布自適應的得到．數值算例表明，新格式總偏差量較小且具有高分辨率的特性．

根據式(10)和式(15)可得Mnew格式一般表達式

4 數值算例

為了比較不同格式的精度，定義下列偏差量

算例中對流項離散分別為FUD格式、QUICK格式、MINMOD格式、HOAB格式和Mnew格式，模擬時間t=1空間網格步長和時間步長分別取為h=0.065,τ=0.01．

算例1 考慮初值問題

其中

計算結果如圖5所示，偏差量如表1所示．

表1:對流問題不同格式偏差量的分布

算例2 考慮對流擴散問題

計算結果如圖6所示，偏差量如表2所示．

圖5:對流問題數值模擬結果的比較

圖6:對流擴散問題數值模擬結果的比較

表2:對流擴散問題不同格式偏差量的分布

對于純對流問題從圖5的計算結果可以看出：QUICK格式發生了越界現象；FUD格式的數值耗散現象比較嚴重，格式分辨率較低．對于對流擴散問題從圖6的計算結果可以看出：FUD格式發生了越界現象；QUICK格式分辨率較低．Mnew格式的數值耗散低于HOAB格式，HOAB格式低于MINMOD格式．總之，Mnew格式具有高分辨率的特性，能夠敏銳捕捉到大梯度變化的流動現象，數值結果穩定性好．

從表1與表2的計算結果可得出結論：與經典格式相比Mew格式的總偏差量最小，在相同條件下新格式逼近解析解的效果優于其他格式．

因此，在BAIR區域基于收斂性理論構造的新格式具有一定的實際參考價值．

5 結論

本文在已有高分辨率組合格式的基礎上，根據Leonard規正變量定義，構造了對流項離散格式的修正高分辨率組合格式．通過算例比較分析了FUD格式、QUICK格式、MINMOD格式、HOAB格式和Mnew格式，數值模擬結果表明與經典格式相比Mnew格式具有高分辨率的特性，總偏差量較小，能很好的模擬場變量的大梯度變化，計算結果優于傳統格式．

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Received:07 Apr 2015. A ccep ted:01 Dec 2015.

Found ation item:The National Natural Science Foundation of China(11361002);the Ningxia Water Resources Project([2015]50-18);the Graduate Student Innovation Projects of Beifang University of Nationalities(YCX1555);the Graduate Student Innovation Projects of School of Mathematics and Information Science of Beifang University of Nationalities.

?Cor r esp ond ing author:C.Li.E-mail address:cglizd@hotmail.com