有界Heyting代數的模糊LI-理想?

劉春輝

(赤峰學院數學與統計學院，內蒙古赤峰 024000)

1 引言與預備知識

Heyting代數是作為與直覺主義命題邏輯相對應的代數模型(即直覺主義命題演算的Tarski-Lindenbaum代數)而被引進的，是格論和邏輯學中重要的代數模型之一，它使得邏輯排中律一般不再成立．從邏輯角度來講，Heyting代數是經典的二值邏輯系統的一種基本的推廣，經典的二值邏輯系統是Heyting代數的一個最簡單的例子．從代數角度講，Heyting代數是一個Boolean代數一般化的偏序集，完備Heyting代數(即Frame)是研究無點化拓撲的中心主體[1]．同時，Heyting代數與Fuzzy蘊涵代數、MV代數、格蘊涵代數等非經典數理邏輯代數結構也有著密切的聯系．迄今為止，其代數結構特征已得到了較為深入的研究，研究結果在許多領域得到了廣泛應用[2-8]．濾子作為偏序集的特殊子集，最早出現在偏序理論和格理論中，它的對偶概念是理想．在非經典邏輯理論中，濾子和理想是研究邏輯代數及與之匹配的邏輯系統完備性的重要的工具性概念．文獻[9]中指出，Heyting代數中的濾子除了可以用格論的語言定義以外，還可以用邏輯的語言定義，而且這兩種定義是等價的，這表明濾子在反映Heyting代數結構特征方面扮演了更加重要的角色．值得注意的是，在具有否定對合性質的邏輯代數結構中，理想的各種性質都可以通過相應的濾子性質對偶地獲得．所以，關于理想問題的研究需基于否定非對合的代數結構開展才更有意義．Heyting代數是一類典型的否定非對合的邏輯代數結構，然而，由于Heyting代數一般不必有最小元0，從而不必有界，導致了人們忽略了在其中引入理想概念的價值．為了彌補這一空白，探索應用理想概念揭示Heyting代數及直覺主義命題邏輯結構的新途徑，同時，受文獻[10,11]應用Zadeh提出的模糊集[12]概念對Heyting代數中濾子概念進行模糊化處理工作的啟發，本文在有界Heyting代數中引入模糊LI-理想的概念并考察其性質，獲得了一些有意義的結果．

定義1[8]設(H,6)是一個格，若存在H上的二元運算→:H×H→H，使得

則稱(H,6,→)是一個Heyting代數．

注1[8]1) 任一Heyting代數(H,6,→)都是有最大元1的分配格，但不一定有最小元0；特別地，稱具有最小元0的Heyting代數(H,6,→,0,1)為有界Heyting代數；

2) 格(H,6)是Heyting當且僅當?a,b∈H,max{x∈H|a∧x6b}存在，且max{x∈H|a∧x6b}=a→b．特別地，若(H,6)是有限格，則(H,6,→)是Heyting代數當且僅當(H,6)是分配格．

引理1[8]設(H,6)是格，→:H×H→H是H上二元運算，則(H,6,→)是Heyting代數當且僅當下列各條件成立：?a,b,c∈H,

(H1)a→a=1;

(H2)a→(b∧c)=(a→b)∧(a→c);

(H3)a∧(a→b)=a∧b;

(H4)b∧(a→b)=b.

引理2[8,9]設(H,6,→)是有界Heyting代數，則?a,b,c∈H，有：

(H5)a→1=1,1→a=a;

(H6)a6b??a→b=1;

(H7)a→(b→c)=b→(a→c)=(a∧b)→c;

(H8) ((a→b)→b)→b=a→b;

(H9) (a∨b)→c=(a→c)∧(b→c);

(H10)a6(a→b)→b;

(H11)a→(b→c)=(a→b)→(a→c);

(H12)a6b=?(c→a6c→b且b→c6a→c);

(H13) 0′=1,1′=0,a′∧a=0,(a∨b)′=b′∧a′;

(H14)a6b??b′6a′;

(H15)a6a′′,a′=a′′′,(a→b′)′′=a→b′;

其中對任意的a∈H,a′=a→0．

定義2[12]設(H,6,→)是Heyting代數，H上的一個模糊集f是指映射f:H→[0,1]．

為敘述方便，?a,b∈[0,1]，分別用a∨b和a∧b表示max{a,b}和min{a,b}．設(H,6,→)是一個Heyting代數，f和g是H上的兩個模糊集，定義f與g的模糊包含關系?，使f?g??f(a)6g(a),?a∈H．記f∪g和f∩g分別為f與g的模糊并和模糊交，其定義為：?a∈H,(f∪g)(a)=f(a)∨g(a)和(f∩g)(a)=f(a)∧g(a)．

定義3[9]設(H,6,→)是Heyting代數，稱H上的模糊集f是H的模糊濾子，若f滿足：

(FF1) (?a∈H)(f(1)>f(a));

(FF2) (?a,b∈H)(f(b)>f(a)∧f(a→b)).

定義4[9]設(H,6,→)是Heyting代數，稱H上的模糊集f是H的模糊格濾子，若f滿足：

(FL1) (?a,b∈H)(a6b=?f(a)6f(b));

(FL2) (?a,b∈H)(f(a∧b)>f(a)∧f(b)).

引理3[9]設(H,6,→)是Heyting代數，則f是H模糊濾子當且僅當f是H的模糊格濾子．

2 有界Heyting代數的模糊LI-理想

定義5設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，稱H上模糊集f是H的模糊LI-理想，若f滿足：

(FLI1) (?a∈H)(f(0)>f(a));

(FLI2) (?a,b∈H)(f(b)>f(a)∧f((a′→b′)′))．H的全體模糊LI-理想之集記為FLI(H)．

例1設格H={0,a,b,c,d,1}，其Hasse圖如圖1所示，在H上定義二元運算“→”如表1，且x′=x→0,?x∈H．可驗證(H,6,→,0,1)是一個有界Heyting代數．定義H上模糊集f:H→[0,1]，使f(0)=f(a)=0.8,f(b)=f(c)=f(d)=f(1)=0.5，則f是H的模糊LI-理想．

圖1:格H的Hasse圖

表1: 二元運算“→”的定義

定理1設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，f∈FLI(H)，則下列各條件成立：

(FLI3) (?a,b∈H)(f((a′→b′)′)=f(0)=?f(a)6f(b));

(FLI4) (?a,b∈H)(a′6b′=?f(a)6f(b));

(FLI5) (?a,b∈H)(a6b=?f(b)6f(a));

(FLI6) (?a∈H)(f(a)=f(a′′));

(FLI7) (?a∈H)(f(a)=f(0)??f(a′′)=f(0)).

證明 1) 設a,b∈H,f((a′→b′)′)=f(0)．因為f∈FLI(H)，所以由(FLI2)和(FLI1)得

因此(FLI3)成立；

2) 設a,b∈H,a′6b′，則由(H6)和(H13)得(a′→b′)′=1′=0，從而f((a′→b′)′)=f(0)，故由(FLI3)得f(a)6f(b)，因此 (FLI4)成立；

3) 設a,b∈H,a6b，則由(H14)得b′6a′，故由(FLI4)得f(b)6f(a)，因此(FLI5)成立；

4) 設a∈H，一方面，因為由(H15)得a6a′′，所以由(FLI5)得f(a′′)6f(a)．另一方面，由(FLI2)、(H15)、(H1)、(H13)和(FLI1)得

綜合兩方面便得f(a)=f(a′′)，因此(FLI6)成立；

5) 由(FLI6)顯然可得(FLI7)成立．

定理2設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，f是H上的模糊集，則f∈FLI(H)當且僅當f滿足下列條件之一：

(FLI8) (?a,b,c∈H)(c′∧b′6a′=?f(a)>f(b)∧f(c));

(FLI9) (?a,b,c∈H)(c′→(b′→a′)=1=?f(a)>f(b)∧f(c)).

證明 設f∈FLI(H)且a,b,c∈H,c′∧b′6a′，則由定義1和(H15)得c′6b′→a′=(b′→a′)′′，從而由(FLI4)得f(c)6f((b′→a′)′)．故由(FLI2)便得

即(FLI8)成立．反之，設f滿足(FLI8)．因為由(H13)知?a∈H,a′∧a′61=0′，所以由(FLI8)得f(0)>f(a)∧f(a)=f(a)，即f滿足(FLI1)．又因為由(H15)和(H3)得

所以由(FLI8)又得f(b)>f(a)∧f((a′→b′)′)，即f亦滿足(FLI2)．因此，由定義5便得f是H的模糊LI-理想，即f∈FLI(H)．

由定義1和(H6)顯然可得(FLI8)等價于(FLI9)，因此定理得證．

定義6設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，稱H上模糊集f是H的模糊格理想，若f滿足：

(FLI5) (?a,b∈H)(a6b=?f(b)6f(a));

(FLI10) (?a,b∈H)(f(a∨b)>f(a)∧f(b)).

定理3設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，則H的任一模糊LI-理想都是模糊格理想．

證明 設f是H的模糊LI-理想，則由定理1知f滿足(FLI5)．下證f滿足(FLI10)．事實上，設a,b∈H，因為由(H11)、(H1)和(H5)得

所以由(H6)得b′6a′→b′，從而由(H14)得(a′→b′)′6b′′，故由(FLI5)和(FLI6)得

又因為由(H13)、(H2)和(H1)得

所以再由(FLI2)得

因此由定義6得f是H的模糊格理想．

注2定理3的逆命題一般不真，即有界Heyting代數模糊格理想不必為模糊LI-理想．

例2設格H={0,a,b,c,1}，其Hasse圖如圖2所示，在H上定義二元運算“→”如表2，且x′=x→0,?x∈H．可驗證(H,6,→,0,1)是一個有界Heyting代數．定義H上模糊集f:H→[0,1]，使f(0)=f(a)=f(b)=f(c)=0.8,f(1)=0.5，則f是H的模糊格理想．但f不是H的模糊LI-理想，因為f(1)=0.5?>0.8=f(a)∧f((b)=f(a)∧f((a′→1′)′)．

圖2:格H的Hasse圖

表2: 二元運算“→”的定義

定義7設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，f是H上模糊集且g∈FLI(H)．若f?g且?h∈FLI(H),f?h蘊涵g?h，則稱g是H的由模糊集f生成的模糊LI-理想，記為?f?．

命題1設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，f和g是H上的模糊集，則下列各條件成立：

定理4設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，f是H上的模糊集，則?a∈H,

證明 1)?a∈H，記

往證首先，證明g∈FLI(H)．事實上，?a,b,c∈H，假設c′∧b′6a′，給定任意小的實數ε>0，則存在x1,x2,···,xn∈H和y1,y2,···,ym∈H，使得

故由(1)及從而

進而g(a)>g(b)∧g(c)，因此由定理2得g∈FLI(H)．

其次，因為?a∈H,a′6a′，所以f(a)6g(a)，因此f?g．

最后，設h∈FLI(H)且f?h，則?a∈H,f(a)6h(a)，故

因此g?h．綜合便得即結論1)得證．

2) 因為由定義1得a′)···))=1，所以由1)得結論2)亦成立．定理得證．

例3設格H={0,a,b,1}，其Hasse圖如圖3所示，在H上定義二元運算“→”如表3，且x′=x→0,?x∈H．可驗證(H,6,→,0,1)是一個有界Heyting代數．定義H上模糊集f:H→[0,1]，使f(0)=0.8,f(a)=f(b)=0.5,f(1)=0，則f不是H的模糊LI-理想．利用定理4可以驗證0.5．

圖3:格H的Hasse圖

表3: 二元運算“→”的定義

3 有界Heyting代數的模糊LI-理想格

定理5設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，則(FLI(H),?)是一個完備格．

證明 設{fλ}λ∈Λ?FLI(H),?a∈H，定義

則容易驗證

分別是集族{fλ}λ∈Λ的下確界和上確界．因此(FLI(H),?)是完備格．

注3設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數．由定理5知：在完備格(FLI(H),?)中，?f,g∈FLI(H),f?g=f∩g和f?g=?f∪g?分別為f與g的下確界和上確界．但一般情況下，f?g?=f∪g．

例4設格H={0,a,b,1}，其Hasse圖如圖4所示，在H上定義二元運算“→”如表4，且x′=x→0,?x∈H．可驗證(H,6,→,0,1)是一個有界Heyting代數．定義H上模糊集f:H→[0,1]和g:H→[0,1]，使f(0)=f(b)=0.8,f(a)=f(1)=0.3,g(0)=g(a)=0.8,g(b)=g(1)=0.3，則f,g∈FLI(H)．但f∪g=h?∈FLI(H)，其中h(0)=h(a)=h(b)=0.8,h(1)=0.3．這是因為h(1)=0.3<0.8=h(a)∧h(b)=h(a)∧h((a′→1′)′)．因此f?g?=f∪g．

圖4:格H的Hasse圖

表4: 二元運算“→”的定義

命題2設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，則對任意有：

定理6設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，則完備格(FLI(H),?)滿足交無限分配律

證明 只需證明

事實上，?a∈H，對給定任意小的實數ε>0，由定理4知，存在x1,x2,···,xn∈H，使

又因為 (

所以存在λ1,λ2,···,λn∈Λ，使

從而

因此可得

則由命題2的1)可得

故由命題2的2)和(H6)得因此由(FLI4)得f(a)6f(yi),i=1,2,···,n．另一方面，由(H7)和(H1)又得

故由(H6)得完全類似地可得又因為所以又得故因此，由(FLI4)又得于是

又因為

所以

而由(4)的最后一個等式和(H1)又得

故由

和(FLI9)又得

從而

進而由ε的任意性便得

因此

定理得證．

注4文獻[8]指出，完備格(L,6)成為Heyting代數當且僅當(L,6)滿足如下交無限分配律

而這又當且僅當(L,6)是一個Frame．因此，由定理5和定理6有：

定理7設(H,6,→,0,1)是有界Heyting代數，則下列各條成立：

1)(FLI(H),?)是滿足交無限分配律(MID)的完備格；

2) (FLI(H),?)是完備Heyting代數；

3)(FLI(H),?)是一個Frame．

4 結束語

本文在有界Heyting代數這一不具有否定對合性質的代數結構中引入模糊LI-理想的概念并研究其特性．獲得了模糊LI-理想的若干性質和等價刻畫．指明了模糊LI-理想與模糊格理想的不等價性，從而指明了模糊LI-理想與模糊濾子的不對偶性．給出了由一個模糊集生成的模糊LI-理想的定義并建立了其表示定理．考察了一個給定的有界Heyting代數(H,6,→,0,1)的全體模糊LI-理想之集FLI(H)的格論性質，證明了(FLI(H),?)構成一個完備Heyting代數的結論．這些結論不僅有助于為我們進一步深入理解和探索Heyting代數及直覺主義邏輯的結構特征提供新途徑，而且也為在否定非對合邏輯代數框架下開展針對理想及其相關問題的研究提供思想和方法上的支持與借鑒．

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