維修服務契約的最優(yōu)設計和分析?

彭 懿,吳錦標

(1-長沙師范學院初等教育系，長沙 410100;2-中南大學數學與統計學院，長沙 410083)

1 引言

在市場激烈競爭的今天，隨著消費者維權意識的提高和消費觀念的變化，消費者在選購產品時，不僅注意到產品實體本身，在同類產品的質量和性能相似的情況下，更加重視產品的售后服務．因此，企業(yè)在提供價廉物美的產品的同時，向消費者提供完善的售后服務，已成為現代企業(yè)市場競爭的新焦點．售后服務包括維修、安裝升級、設備調整、提供技術支持、咨詢和培訓，以及提供融資服務，甚至于文化活動等等，內容十分廣泛．本文嘗試利用數學方法定量地分析、優(yōu)化和設計售后服務中的維修服務契約．

Murthy和Padmanabhan[1]最先將服務契約當做一種廣義的保修行為來研究機器維修模型．Murthy和Ashgarizadeh[2]首先利用博弈論研究了一臺機器和一個修理工的維修服務契約模型．他們利用Stakelberg博弈公式得到了代理商的最優(yōu)決策結構．而后，Ashgarizadeh和Murthy[3]將此模型推廣到多臺機器和單個修理工情形．但他們都沒有考慮機器的保修期和保修費等．Yeh和Lo[4]研究了對于可修產品的預防–維修策略．Pascual和Ortega[5]通過建立一個隨機模型確定了產品每次檢測和大修的最優(yōu)時間．關于研究維修服務契約模型的主要方法和結果，讀者可參見Murthy和Blischke[6]的綜述以及Murthy和Djamaludin[7]的文獻評述和Murthy和Blischke[8]的著作．近年來，Huber和Spinler[9]對維修服務合約進行了最優(yōu)定價分析．Xiang等[10]考慮了一個在馬爾可夫隨機環(huán)境中運行的維修系統的最優(yōu)維修策略．本文推廣了Ashgarizadeh和M urthy[3]的工作，利用多服務器排隊理論和博弈理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修服務合約進行最優(yōu)設計，得到了最優(yōu)保修期、保修費和修理工數目．

2 模型描述

假設某公司以單位價格Cp，從一設備制造商(代理商)購入M臺使用年限(壽命)為L0的機器．每臺機器正常運轉時每單位時間可產生收益R，而機器發(fā)生故障時則不會產生收益．假設這M臺機器相互獨立地工作，每臺機器相繼發(fā)生故障的間隔時間服從參數為λ的指數分布．機器一旦發(fā)生故障，馬上送往售后服務部門進行維修，修復后立即投入使用．假設有N(1≤N≤M)個修理工，代理商付給每個修理工的固定費用為Cn．維修規(guī)則為機器先故障先維修，每臺發(fā)生故障的機器的修理時間χ服從參數為μ的指數分布．代理商制定了如下維修服務契約：對每臺保修期為L(0≤L≤L0)的機器，購買者一次性交納保修費P(L)，這里假設函數P(L)單調增、凸且在區(qū)間[0,L0]內二次可微．若在保修時期內送往維修的機器沒有在規(guī)定的時間T內修好，則給予一定的補償．令隨機變量τ表示發(fā)生故障的機器送往維修直到修好的這段時間．若τ>T，則補償費用為δ(τ?T)，若τ≤T，則不補償．若在保修期外發(fā)生故障的機器，則每次維修需支付Cs的維修費且無任何補償．假設每臺發(fā)生故障的機器的一次維修成本費為Cr(Cr

3 模型分析

對機器j(j=1,2,…,M)，我們令其在時間區(qū)間[0,L)內發(fā)生故障的次數為Xj，在時間區(qū)間[L,L0)內發(fā)生故障的次數為Yj．再令Wji為機器j發(fā)生第i次故障時送往維修直到修好的這段時間．顯然，Wji等于其等待修理時間和修理時間之和．令Uj為第j臺機器產生的純收益，V為代理商的總收益，則我們有

注意到此維修服務模型等價于有限源M/M/N排隊系統，其服務規(guī)則為先到先服務(FCFS)．顧客到達率為

服務率為

定理1令N(t)表示時刻t發(fā)生故障在維修部門等待修理和正在修理總的機器數目，設

則

其中

證明 機器發(fā)生故障被送往修理這個過程可看做是一顧客有限源的M/M/N排隊系統．從而由經典的排隊論易得上述結論．

推論1令H和Hq分別表示在穩(wěn)態(tài)下發(fā)生故障的機器數與等待修理的機器數，則有

記Wq為顧客有限源的M/M/N排隊系統中顧客的等待時間(不包括服務時間)，則Wji=Wq+χ．

定理2穩(wěn)態(tài)下，故障機器的等待修理時間分布函數Wq(t)=P{Wq≤t}為

證明 參見G ross和Harris[11]著的《排隊論基礎》．

由于Wq與χ相互獨立，于是Wji的分布函數為

注1推導上述公式利用了如下等式

推論2發(fā)生故障的機器從被送去修理到修好正常運作的平均時間為

推論3維修一臺發(fā)生故障的機器的平均補償費用為

利用推論2和推論3，我們便可得到如下定理．

定理3每臺機器產生的純收益和代理商的純收益期望值分別為

4 最優(yōu)定價及設計

由博弈論中的Nash平衡原理[12]，我們知道最優(yōu)策略由等式M·E[U]=E[V]確定，即

其中

下面我們分兩步來求解此最優(yōu)化問題．首先，在固定修理工數目N的條件下求解最優(yōu)保修期．然后，根據定理3尋求最優(yōu)修理工數目N?．

定理4對固定的N，方程(3)在區(qū)間(0,L0)中恰好存在一個根的充分條件為

證明 考慮函數

易知：

(i)f(0)=??(N);

(ii)f′′(L)=P′′(L)≥ 0，即函數f(L)對于固定的N 是凸函數．

因此，根據零點定理，若f(0)f(L0)<0，即

那么方程f(L)=0在區(qū)間(0,L0)內恰好有一個根．定理得證．

將代入(2)，我們得到代理商的平均收益為

其中E[W](N)是將代入E[W]后的表達式．

由于E[W](N)表達式太復雜，我們無法利用求導來得到最優(yōu)修理工數目．但是，考慮到機器數目的有限性，我們可利用窮盡法來求

由此可得，最優(yōu)保修期和保修價格分別為．再將N?,L?和P?代入(1)和(2)，我們便得到每臺機器產生的最大收益以及代理商的最大收益分別為

5 數值實例

這一節(jié)，我們利用Matlab編程提供了幾個數值實例來演示模型中參數變化對最優(yōu)解的影響．當然，以下數值實例中參數都是在

成立的條件下選取的．我們假設

數值仿真結果由表1和圖1給出．

在表1中，我們觀察到最優(yōu)修理工數目N?和代理商最大的期望收益E[V?]隨著機器數目M增加而增大．圖1給出了當機器壽命L0取三個不同值時，參數R和M對最優(yōu)保修期L?的影響．從圖1可看出，最優(yōu)保修期L?隨著機器產生的收益R的增加而遞減．而且，當機器壽命L0越大時，最優(yōu)保修期L?下降越快．然而，當機器壽命L0固定時，機器總數目M幾乎不影響最優(yōu)保修期L?．此外，正如我們所預料的，最優(yōu)保修期L?是機器壽命L0的單調增函數．

表1:模型的最優(yōu)解

圖1:參數R,M對最優(yōu)保修期的影響

6 小結

本文推廣了Ashgarizadeh和M urthy[3]的工作，利用多服務器排隊理論和博弈理論對具有多臺機器和多個修理工的機器維修服務合約進行最優(yōu)設計，求得了最優(yōu)保修期、保修費和修理工數目．獲得了結論：最優(yōu)保修期和修理工數目均與保修價格函數無關，而且，對于固定壽命的機器，機器總數幾乎不影響最優(yōu)保修期的設定．

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