幻方在趨勢無關(guān)設(shè)計中的研究?

馬海南,陳雪平

(1-浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社科部，紹興 312000;2-江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，常州 213001;3-東南大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京 211189)

1 引言

試驗設(shè)計自20世紀(jì)20年代問世至今，已在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、生物醫(yī)藥、航空航天、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，各種試驗設(shè)計方法也得到了迅速發(fā)展，如區(qū)組設(shè)計、部分因析設(shè)計、正交設(shè)計、均勻設(shè)計、空間填充設(shè)計、飽和設(shè)計、超飽和設(shè)計、正交拉丁超立方體設(shè)計等等．一般的試驗設(shè)計方法并不考慮試驗順序，因為試驗順序常采用“隨機(jī)化”準(zhǔn)則．然而，在一些試驗中，比如物理或者工程試驗中，一次試驗常常需要花費(fèi)一定的時間，而整個試驗做完需要一個月或更久，那么，在這些需要長時間完成的試驗中，試驗單元或者試驗環(huán)境有可能發(fā)生了趨勢性的變化．最后的試驗結(jié)果易受到時間或空間效應(yīng)的干擾．于是，許多學(xué)者對設(shè)計順序進(jìn)行了研究.早期，Phillips[1-3]、Daniel和Wilcoxon[4]、Draper和Stoneman[5]等討論了帶有時間趨勢效應(yīng)的試驗設(shè)計順序問題，他們將時間趨勢效應(yīng)T用一個p階多項式模型來代替，即

其中Ti為時間或空間趨勢效應(yīng)，i=1,2,…,n為相應(yīng)的試驗順序，ai為相應(yīng)的模型參數(shù)．Cheng和Steinberg[6]研究了時間序列模型下的設(shè)計順序問題．

本文同樣采用多項式模型來表示趨勢干擾效應(yīng)．在這一個模型下，Draper和Stoneman[5]討論了與時間趨勢無關(guān)(trend-free)的二水平設(shè)計，并且還討論了最小水平變化(level change)設(shè)計．Cheng和Jacroux[7]給出了二水平時間趨勢無關(guān)設(shè)計的一種構(gòu)造方法，Jacroux[8]對帶有時間趨勢的混合水平設(shè)計進(jìn)行了研究，Wang[9]借助并列法對特殊的混合水平情形2p4q進(jìn)行了討論．近期，也對含有區(qū)組的帶有時間趨勢的設(shè)計順序進(jìn)行了研究[10]．然而，文獻(xiàn)中對于多水平和混合水平情形的研究仍然較少，對高水平和混合水平因析設(shè)計的研究則更少．

幻方，也稱為魔方(magic square)，我國數(shù)學(xué)家楊輝稱其為“縱橫圖”．其與群論，組合數(shù)學(xué)密切相關(guān)，在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究中都有著重要的意義[11-14]．本文不關(guān)注幻方在數(shù)學(xué)中的性質(zhì)研究或構(gòu)造，主要關(guān)注幻方在統(tǒng)計中，特別是在工程試驗設(shè)計領(lǐng)域中的應(yīng)用．事實上，早在1964年，Phillips[1,2]發(fā)現(xiàn)了幻方可以用于帶有時間趨勢干擾的設(shè)計，然而這類設(shè)計僅包含兩個因子，其水平數(shù)正好等于幻方的階數(shù)．Hedayat[15]也研究了幻方的若干統(tǒng)計性質(zhì)，指出在對干擾因子的參數(shù)估計上，幻方可以使得相應(yīng)最小二乘估計的方差達(dá)到最小．本文將進(jìn)一步說明幻方(純幻方)可以應(yīng)用在兩因子(多因子)試驗設(shè)計中，其對試驗因子的參數(shù)估計與干擾因子是1階趨勢無關(guān)或線性無關(guān)(linear trend free)的，并給出相應(yīng)的構(gòu)造方法．

第2節(jié)主要介紹幻方的基本概念及其在帶有趨勢干擾效應(yīng)的設(shè)計中的應(yīng)用，借助幻方，可以構(gòu)造出一類與趨勢效應(yīng)無關(guān)的設(shè)計，且這類設(shè)計主要包括兩個多水平因子．第3節(jié)給出主要敘述純幻方在帶有趨勢干擾效應(yīng)的設(shè)計中的應(yīng)用．借助純幻方，可以構(gòu)造出一類含有多個與趨勢效應(yīng)無關(guān)因子的設(shè)計，同時這類設(shè)計也可以應(yīng)用在含有交互作用項的設(shè)計中．第4節(jié)是結(jié)束語．

2 幻方與兩因子趨勢無關(guān)設(shè)計

定義1[11-13]一個由1,2,…,n2數(shù)字組成的n行，n列方陣M=(mij)，稱為幻方(magic square)，如果它的每行、列和對角線上的數(shù)字和都相等，即有

表1給出了一個3階幻方，可以驗證，不同行、列和對角線元素之和都相等．即

表1:3階幻方

下面給出趨勢無關(guān)設(shè)計的相關(guān)性質(zhì)．考慮一個包含q個因子，n2次試驗的設(shè)計D，其中，各因子分別取p1,p2,…,pq水平，記 w0(·)=1,w1(·),w2(·),…,ws(·)為 s階正交多項式，特別地，它們定義在等間隔的時間點上，即有

比如，可以取

于是，在時間點u的趨勢效應(yīng)可以表示為

其中θ1,θ2,…,θs為相應(yīng)的趨勢項參數(shù)，從而，試驗結(jié)果向量Y=(y1,y2,…,yn2)可以表示為一個可加、同方差線性模型[4,5,7-10,16]

其中β為感興趣參數(shù)，Xd為系數(shù)矩陣，θ =(θ1,θ2,…,θs)′為趨勢效應(yīng)向量，Xt為n2×s階矩陣，其(u,k)元素值為wk(u),1≤u≤n2,1≤k≤s．在模型(1)下，文獻(xiàn)[16]給出了趨勢無關(guān)設(shè)計所需要滿足的一個充要條件．

引理1[16]令D為一個n2行q列的設(shè)計，其水平數(shù)分別為p1,p2,…,pq．記χd為設(shè)計D與第i個因子的關(guān)聯(lián)矩陣，i=1,2,…,q．當(dāng)?shù)趗次試驗對應(yīng)的第i個因子取水平j(luò)i時，其元素取值為1，否則取值為0，則設(shè)計D的第i列為s階趨勢無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)

下面的定理建立了幻方與趨勢無關(guān)設(shè)計的關(guān)系．即該因子的各個水平所對應(yīng)的試驗順序之和均等于

定理1設(shè)計D的第i列為1階趨勢無關(guān)的，當(dāng)且僅當(dāng)，這與幻方的性質(zhì)保持一致．

證明 由引理1的充要條件(2)可知

其值即為．

定理2一個n階幻方可以用來安排含有兩個n水平因子的設(shè)計，其兩個因子均是1階趨勢無關(guān)的．

證明 設(shè)M=(mij)是一個n階幻方，將幻方的行和列分別看成兩個n水平因子，分別記為A和B，取值為{0,1,…,n?1}，其中，行數(shù)i減1記做因子A的水平，列數(shù)j減1記做因子B的水平，對應(yīng)(i,j)的幻方元素值mij作為水平組合(i?1,j?1)的試驗順序，則從定義1知

由定理1

于是，這兩個因子A和B均是s=1階趨勢無關(guān)的．

例1考慮一個化工廠生產(chǎn)的一種化工產(chǎn)品，影響采收率的因素有多個，包括催化劑種類、反應(yīng)溫度等．并且這類試驗往往和反應(yīng)時間有關(guān)．下面用表1給出的三階幻方，來設(shè)計一個與1階時間趨勢效應(yīng)無關(guān)的設(shè)計順序，見表2，其包含兩個三水平因子，取值為{0,1,2}．且

即因子A,B的各個水平所對應(yīng)的試驗順序值之和均為15．其是一個趨勢無關(guān)設(shè)計．由表2，第一次試驗的水平組合為(2,1)，第二次試驗的水平組合為(0,0)，依次類推．

表2: 與時間趨勢效應(yīng)無關(guān)的采收率試驗設(shè)計(含兩個因子)

由于試驗結(jié)果往往帶有一定的隨機(jī)性，所得試驗結(jié)論需要經(jīng)過一定的統(tǒng)計顯著性檢驗．交叉驗證可以進(jìn)一步對試驗結(jié)果進(jìn)行比較研究，如果一個設(shè)計能夠進(jìn)行交叉驗證，此時的結(jié)論具有更高的可靠性．

定義2[11,13]同心幻方也稱嵌套幻方，其可以從中心開始向外輻射，依次剝?nèi)プ钔庖粚雍蟮姆疥嚲腔梅剑?/p>

文獻(xiàn)[13]給出了一個奇數(shù)階同心幻方的遞推構(gòu)造法，表3為一個5階同心幻方．其剝?nèi)プ钔庖粚樱梢缘玫揭粋€3階幻方．

定理3當(dāng)n為奇數(shù)時，一個n階同心幻方可以安排含有二個1階趨勢無關(guān)因子的設(shè)計，且可以進(jìn)行次交叉驗證．

證明 設(shè)M=(mij)是一個n同心幻方，由定理2，幻方的行和列分別可以看作兩個n水平因子，記為A,B，它們均是1階趨勢無關(guān)的．所得試驗結(jié)果可以進(jìn)行相應(yīng)的顯著性檢驗．

然后，將該同心幻方剝?nèi)プ钔庖粚樱藭r可以用來安排一個含有2個n?2水平因子的設(shè)計，且仍是趨勢無關(guān)的．于是，可以采用該部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的顯著性檢驗，并與第一次結(jié)論進(jìn)行交叉驗證．以此類推，將該同心幻方剝?nèi)サ诙樱⑦M(jìn)行第2次交叉驗證．綜上，可以進(jìn)行次交叉驗證．

表3:5階同心幻方

3 純幻方與多因子趨勢無關(guān)設(shè)計

定義3[12,17,18]一個由1,2,…,n2數(shù)字組成的n行，n列方陣M=(mij)稱為純幻方，或者完美幻方(perfect magic square)、全對稱幻方．如果它的每行、列和泛對角線上的數(shù)字和都相等，即滿足

其中mod(x,y)表示對x取模y運(yùn)算．

表4給出了一個5階純幻方，容易驗證

定理4當(dāng)n為素數(shù)或素數(shù)冪時，一個n階純幻方至少可以安排含有四個n水平因子的因析設(shè)計，且四個因子均是1階趨勢無關(guān)的．

證明 設(shè)M=(mij)是一個n純幻方，由定理2，幻方的行和列分別可以看作兩個因子，記為A,B，它們均是1階趨勢無關(guān)的．另外，對于純幻方，存在另外兩個1階趨勢無關(guān)的因子C,D．設(shè)A,B的水平取值分別為a,b，令因子C取值為mod(a+b,n)，因子D取值為mod(a?b,n)，即因子C由幻方中從右上往左下的對角線得到，D由幻方的從左上往右下的對角線得到，則由純幻方定義3可知，所有泛對角線上元素的和均相等．于是，有

由引理1知，因子C,D也是1階趨勢無關(guān)的．即對于任意純幻方，至少可以構(gòu)造含有四個1階趨勢無關(guān)因子的設(shè)計順序．

表4:5階純幻方

例2對于采收率試驗，例1給出了一個與時間干擾效應(yīng)無關(guān)的設(shè)計，但所包含的試驗因子只能為兩個，如果影響因子多于兩個，可以考慮下面的設(shè)計，見表5，其包含四個因子，水平取值{0,1,2,3,4}．比如，第一次試驗的水平組合為(1,2,3,4)，即因子A取1水平，因子B取2水平，因子C取值水平為mod(1+2,5)=3，因子D取值水平為mod(1?2,5)=4．

表5: 與時間趨勢效應(yīng)無關(guān)的采收率試驗設(shè)計(含四個因子)

定理5一個n階純幻方可以用來同時考察2個n水平因子及2個交互效應(yīng)．

證明 設(shè)2個n水平因子為A,B，相應(yīng)的水平取值為a,b，則取交互效應(yīng)[19]AB的水平取值為mod(a+b,n)和交互效應(yīng)ABn?1的水平取值為

從定義3可知，兩個交互效應(yīng)均是1階趨勢無關(guān)的，即純幻方也可以用來構(gòu)造交互效應(yīng)是趨勢無關(guān)的設(shè)計．

當(dāng)n為合數(shù)時，雖不能像素數(shù)情形直接推出四個與趨勢無關(guān)的因子，但純幻方仍然可能給出包含多個因子的設(shè)計．下面給出一個包含三個因子的采收率試驗設(shè)計方案．見表6，因子水平取值為{0,1,2,3}．比如，第一次試驗的水平組合為(3,3,0)，即因子A取3水平，因子B取3水平，因子C取0水平．

表6: 與時間趨勢效應(yīng)無關(guān)的采收率試驗設(shè)計順序(含三個因子)

4 結(jié)束語

構(gòu)造含有高水平因子的趨勢無關(guān)設(shè)計是比較困難的一個問題，本文給出了一種用幻方和純幻方構(gòu)造的簡單方法，所有這些設(shè)計均可以應(yīng)用在帶有時間或者空間趨勢干擾效應(yīng)的工程、生物醫(yī)藥等試驗中．其可以避免在數(shù)據(jù)分析時，試驗結(jié)果受時間干擾效應(yīng)的影響，從而造成在參數(shù)估計[20]和變量選擇上的誤判．由于幻方(純幻方)的特殊性，本文僅討論了幻方(純幻方)在等水平設(shè)計中的應(yīng)用，幻方(純幻方)是否可以進(jìn)一步應(yīng)用在混合水平趨勢無關(guān)的設(shè)計中，有待進(jìn)一步的探討．

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