基于二維傅立葉變換的圓桿彈性波模式識別及分離

錢 驥，陳 鑫，朱漢容

(1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074；2.重慶交通大學，重慶 400074)

基于二維傅立葉變換的圓桿彈性波模式識別及分離

錢 驥1，陳 鑫1，朱漢容2

(1.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074；2.重慶交通大學，重慶 400074)

采用有限元模擬了聲發射彈性波在高強鋼絲內的傳播過程，通過提取不同空間位置節點振動時程曲線組成二維幅值序列，由二維傅立葉變換獲得了頻率-波數域等值線圖，并與理論頻率-波數圖進行了對比分析。結果表明：采用有限元方法能夠精確地模擬彈性波在高強鋼絲內的傳播過程，不同時刻應力云圖清晰反映了波在鋼絲內的反射和疊加效應；基于二維傅立葉變換的頻率-波數圖與理論值吻合良好，可以有效地進行耦合波形模式識別和分離，從而實現復雜問題簡單化。

橋梁工程;聲發射；圓桿；彈性波；模式分離；二維傅立葉變換

0 引 言

聲發射是材料或結構在外部因素作用下，產生變形或斷裂，以彈性波形式釋放出應變能的現象[1]。任何損傷的出現，都是應變能的累積與釋放，以彈性波形式釋放的應變能，最終通過介質傳播到監測傳感器，通過實測波形的精確分析即可進行損傷源識別。聲發射技術是一種被動的無損檢測和監測方法，已廣泛應用于航空航天、石油化工、機械制造等諸多領域，并已頒布了多部承壓設備如金屬儲罐、高壓氣瓶等聲發射無損檢測標準。

相比較于飛機機翼、壓力油罐等薄板結構，彈性波在拉索內的傳播更為復雜，多根鋼絲絞合在一起難以求得解析解。S.RAMADAN等[2]采用聲發射監測預應力鋼筋的腐蝕失效過程，通過聲發射事件累積數隨時間的變化規律，明確的將腐蝕過程分成裂紋萌生，裂紋擴展和鋼筋失效3個階段。G.DRUMMOND等[3]在拉索的疲勞試驗中采用聲發射監測，認為疲勞試驗中聲發射能量和幅值是最有效的參數，并且指出，聲發射信號的衰減并不是很嚴重，超過30 m范圍信號也可以被探測到。T.M.ROBERTS等[4]參照裂紋擴展率的理論公式，建立了過閾值聲發射累計能量與應力強度因子之間的關系式。錢驥等[5-6]開展了單根鋼絲及拉索內部鋼絲破斷的聲發射全波形特征，并與摩擦、撞擊等損傷源進行了對比分析。眾多研究成果表明，聲發射波形充分攜帶了損傷源特征，但是，在經過了一段距離的傳播衰減和模式變換之后，是否還能充分表現損傷源的特征卻存在疑問，目前針對該問題的研究相對較少[7-9]。滿足實橋應用的拉索聲發射監測系統不僅需要知道不同損傷源的特征信息，還應該考慮到彈性波從損傷源傳播到傳感器的變化規律，以保證實測波形攜帶源特征的真實性和有效性。

以拉索內單根高強鋼絲為研究對象，探討彈性波在傳播過程中的模式識別和分離方法。首先通過數值求解細長圓柱體頻率方程，得到5 mm直徑高強鋼絲內縱波、扭轉波及彎曲波理論頻率-波數圖；再由有限元模擬彈性波在高強鋼絲內的傳播過程，獲得不同時刻鋼絲應力云圖及各節點振動時程曲線，并采用二維傅立葉變換將各節點時域信號從時間-空間域轉換到頻率-波數域，從而實現耦合波形的模式識別與分離。

1 柱波導理論及數值求解

波在各向同性彈性固體中的傳播是一個典型的動力學問題，根據牛頓第二定律和廣義胡克定律，建立不考慮體力的微元運動方程[10]：

(1)

(2)

(3)

通過引入目標結構的邊界條件和激勵源可對式(1)～式(3)進行求解，從而獲得結構各點的位移時程。通常情況下，結構形式越復雜，幾何形狀越不規則，波動方程邊界條件越難以確定。目前獲得的解析解主要是平板、圓柱、空心圓管等規則構件。

橋梁拉索內部高強鋼絲可考慮為細長圓柱體，通過將笛卡爾坐標系下運動方程(1)～運動方程(3)轉換到柱坐標系，可得：

(4)

(5)

(6)

式中：φ是柱坐標下的體積不變量；ωr,ωθ,ωz代表旋轉矢量的3個分量。

式(4)～式(6)的求解需要給定邊界條件和激勵輸入，對于高強鋼絲這類細長圓柱體而言，其傳播模式包含縱波、扭轉波和彎曲波，假設鋼絲表面應力分量為σrr,σrz,σrθ，以應力表示的邊界條件為

縱波：σrr=σrz=0 (r=a)

(7)

扭轉波：σrr=σrz=σrθ=0 (r=a)

(8)

彎曲波：σrr=σrz=σrθ=0 (r=a)

(9)

根據邊界條件式(7)～(9)可求得3種不同模式波的特征方程如式(10)～(12)，而位移場的求解則還需要附加特定的激勵源。

(10)

(βa)J0(βa)-2J1(βa)=0

(11)

(12)

3個頻率方程均為超越方程，采用牛頓下山法由MATLAB編程求解可得到f-k曲線，如圖1。

圖1 不同模式波理論頻率-波數曲線Fig.1 Theoretical frequency-wave number curve of different wave patterns

2 有限元模擬

如上文所言，波動方程的求解需要確定的激勵源，并且包含有多個模式。實測信號通常均是多模式的耦合結果，為能夠更清晰地分析波傳播過程特征，實現復雜問題簡單化，可進行多模式耦合時程波形的模式分離。

采用有限元模擬三角形脈沖激勵源，通過提取鋼絲長度方向多點時程波形進行二維傅立葉變換，得到頻率-波數域關系曲線，并與理論值進行對比，最終由被分離的單一模式進行二維傅里葉逆變換，從而實現復雜波形的信號解耦。

有限元模型中鋼絲長度L=300 mm、直徑D=5 mm，一端固定，一端自由，不考慮阻尼的影響，物理參數見表1。

表1 高強鋼絲材料參數Table 1 Parameters of high strength steel wire

彈性波在高強鋼絲中傳播包含3種模式，各模式及其不同階模態所包含的能量比例取決于激勵荷載的位置、方向及頻率。文中采用自由端截面中心激勵三角形脈沖模擬聲發射源，荷載表達式為F(t)=Fx(t)i+Fy(t)j+Fz(t)k，其中Fx(t)=Fy(t)=Fz(t)。脈沖荷載持續時間為2 μs，荷載結束后持續198 μs以模擬彈性波在鋼絲中的傳播過程，如圖3。

圖2 高強鋼絲有限元計算模型Fig.2 Finite element calculation model of high strength steel wire

圖3 激勵荷載Fig.3 Excitation load

根據有限元計算結果，提取不同時刻鋼絲應力云圖如圖4。

圖4 高強鋼絲應力云圖Fig.4 Stress contour of high strength steel wire

從圖中可以看到，彈性波從自由端傳播到固定端經歷60 μs，之后開始出現反射波，并與之前的波形發生重疊，最終在鋼絲內部形成多次反射的疊加，形成穩定的導波。高強鋼絲的Mises應力云圖疏密相間，體現的是縱波模態，而產生不均勻的疏密相間，是由于彎曲波的耦合影響。

3 基于二維傅立葉變換的模式分離

通過單根鋼絲彈性波傳播有限元計算應力云圖，可以清晰看到波的傳播過程，但各節點時程波形均是多模式耦合的復雜波形，無法知道其中包含有哪些模式波。

因此，考慮采用二維傅立葉變換，將由沿鋼絲縱向一系列節點振動波形組成的時域-空間域二維矩陣轉換到頻率-波數域，從而獲得與理論頻率方程相對應的頻率-波數圖。

二維傅立葉變換可按式(13)進行：

H(k,f)=?u(x,t)e-i(ωt+kz)dxdt

(13)

式中：u(x,t)為鋼絲表面各點加速度時程信號，

離散二維傅立葉變換的定義與Newland[12]給出的一維離散傅立葉變換相似，其變換的結果是各個離散的頻率點和波數點的二維幅值序列。二維傅立葉變換的實現過程是對每一個監測位置時程信號進行傅立葉變換，得到每一位置的頻率譜。在這個階段，每一位置的譜信息用列矩陣表示，將這些列矩陣組成一個陣列，則給定頻率處的元素形成的行向量的空間傅立葉變換給出了頻率-波數-幅值信息。將幅值投影在頻率-波數平面上，就可以得到頻率-波數圖。

通過ABAQUS/Explicit的有限元計算結果，可以得到高強鋼絲任意節點各個方向的位移、速度和加速度等時程信號。首先提取高強鋼絲外表面節點的加速度時程a(z,t)，然后選用中間500個節點(距離聲發射源25～275mm，相鄰節點間隔0.5mm)的時程信號，通過2D-FFT，得到高強鋼絲有限元分析頻率-波數圖，如圖5。圖5(a)、圖5(b)和圖5(c)分別為 x，y 和z方向加速度的2D-FFT變換結果。

圖5 加速度的2D-FFTFig.5 The 2D-FFT of acceleration

前文已通過數值方法求解頻率方程，獲得了不同模式波的理論頻率-波數圖。圖1為頻率0～1 MHz和波數0～200 m-1范圍的各階模態的理論頻率-波數曲線，由于激勵源沒有激發圓周方向的扭轉波，此處只給出縱波(L)和彎曲波(F)前3階的理論頻率-波數曲線。比較5 mm直徑高強鋼絲的理論頻率-波數曲線與二維傅立葉變換結果如圖6，其中，圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)分別為x，y和z3個方向。

圖6 有限元解與理論曲線比較Fig.6 Comparison between finite element solution and theoretical curve

從圖6可看到，由節點3個方向的加速度時程所計算的頻率-波數圖，均與理論頻率-波數圖存在對應曲線，且二者吻合良好。這說明采用有限元模擬彈性波傳播過程是可行的，同時也說明采用二維傅立葉變換可以實現耦合波形的模式識別和分離。

彈性波在3個方向均只被激起低階模式，均包含有1階和2階彎曲波，差異在于x方向激起了3階彎曲波，而y,z方向激起了1階縱波，這取決于激勵荷載的方向、頻率等參數。

圖6可以在頻率-波數域進行不同模式波的識別和分離，而時域-空間域波形的分離則需要進一步借助二維濾波方法，通過提取圖6中某一模式波的二維頻率-波數矩陣，簡單進行二維傅立葉逆變換即可得到單一模式的時域波形。

4 結 論

采用有限元模擬了彈性波在高強鋼絲中的傳播過程。通過提取鋼絲長度方向一系列空間節點時程波形，由二維傅立葉變換實現了耦合波形的模式分離，從而實現了復雜問題簡單化，有如下結論：

1)采用有限元能夠準確地模擬彈性波在高強鋼絲中的傳播過程。不同時刻應力云圖清晰反映了波在鋼絲內的反射及疊加效應。基于有限元計算結果的頻率-波數圖與理論值完全吻合。

2)通過提取不同空間位置節點的振動時程曲線，進行時間-空間域二維傅立葉變換，可以獲得清晰的頻率-波數圖，且均在理論頻率-波數圖中存在對應曲線。說明采用二維傅立葉變換可以有效的進行圓桿彈性波模式識別及分離。

3)彈性波在節點3個方向所表現的模式存在差異，取決于激勵荷載的方向、頻率等參數，通常情況下，只能激起有限的幾次低階波。

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Pattern Recognition and Separation of Elastic Wave Propagating in Circular Rod Based on Two-dimension Fourier Transform

QIAN Ji1，CHEN Xin1，ZHU Hanrong2

(1.School of Civil Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China；2. Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China)

The process of sound-transmitted elastic wave propagating in high strength steel wire was simulated by finite element method. By picking the vibration time history curves of different position nodes to form a two-dimensional amplitude sequence, the contour map of frequency-wave number was obtained by the two-dimension Fourier transform, and compared with the theoretical value finally. The results show that the finite element method can accurately simulate the propagation of elastic wave in high strength steel wire, and the stress cloud images at different propagation time clearly reflect the reflection and superposition effect. Frequency-wave number map based on the two-dimensional Fourier transform is in good agreement with the theoretical value, which can be used to effectively recognize and separate the coupled waveform pattern, and thus simplify the complex problems.

bridge engineering;acoustic emission(AE)；round bar；elastic wave；pattern separation；two-dimension Fourier transform

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.04.01

2016-01-25；

2016-03-21

國家自然科學基金項目(51408090, 51478347)；重慶市基礎與前沿研究計劃項目(cstc2014jcyjA0947)

錢 驥(1983—)，男，湖北浠水人，講師，博士，主要從事橋梁健康監測與振動控制方面的研究。E-mail：jiqian228@126.com。

U446.1

A

1674-0696(2016)04-001-05