面向橋梁結構狀態預測的ARMA-GM組合時序模型研究

李修云，黃 碩，楊文偉，譚超英

(1.重慶工程職業技術學院 信息工程學院，重慶 402260；2.信陽職業技術學院，河南 信陽 464000；3.鞍信托日信息技術有限公司，四川 成都 610081；4.重慶交通大學 信息科學與工程學院，重慶 400074)

面向橋梁結構狀態預測的ARMA-GM組合時序模型研究

李修云1，黃 碩2，楊文偉3，譚超英4

(1.重慶工程職業技術學院 信息工程學院，重慶 402260；2.信陽職業技術學院，河南 信陽 464000；3.鞍信托日信息技術有限公司，四川 成都 610081；4.重慶交通大學 信息科學與工程學院，重慶 400074)

橋梁健康監測數據中蘊含引起橋梁結構狀態變化的信息，通過分析其特征變化而實現結構狀態預測的方法已得到工程界和學術界的重視。為了克服單一時間序列模型ARMA和灰色關聯模型GM(1,1)在橋梁結構狀態預測中的不足，提出一種ARMA-GM組合時序預測模型，以描述監測數據序列前后之間的數學關系, 并對未來某一時間段內的監測值進行預測。實驗結果表明：組合模型在預測步長增大時預測的平穩性好，而且比單一模型的預測精度更高，能夠為橋梁結構安全狀態評估提供寶貴的預測數據。

橋梁工程；ARMA-GM組合模型；狀態預測

0 引 言

橋梁作為國家重要基礎設施之一，其安全性歷來受到工程領域的極大關注。社會經濟發展的同時使得交通流量急劇增加，橋梁的承載力面臨嚴峻的考驗，尤其是橋梁服役時間的增長，橋梁結構所暴露出來的安全問題會顯得日益突出。2010—2012 年間，全國共發生49起橋梁坍塌事故，共造成190多人死亡，180多人不同程度受傷[1]。近兩年的橋梁垮塌事故仍然令人擔憂。隨著傳感器、通信、計算機、人工智能等領域的迅速發展，自20世紀80年代，世界各國已開始就有關橋梁結構健康監測系統建設方面進行研究和探索，并陸續將其應用在一些橋梁上。近年來，把監測所得的數據進行分析處理，得出該橋的結構狀態己成為各國橋梁界的研究熱點。為此，人們提出了橋梁結構狀態的各種各樣的識別方法。例如統計模式識別法、模型修正法、動力指紋法、人工智能法等[2-5]。其中，作為統計模式識別法中的一種，時序分析方法ARMA因其具有較高的可操作性，并且在理論研究和實際應用上日趨成熟，因此近幾年在橋梁工程健康監測領域內得到了廣泛應用。

K.K.NAIR等[6]通過時序模型ARMA，首先計算結構未損傷狀態下的模型殘差，再依據結構的實際輸入輸出的觀測值，計算此時模型的殘差，并將兩個殘差進行比較，最后根據對比結果建立損傷因子從而進行損傷識別。A.CHEUNG等[7]利用時序模型的參數變化作為一種損傷判據。周瀟等[8]通過建立ARMA模型，分析自回顧系數，得到所需要的損傷敏感因子，通過敏感損傷因子的值判斷結構是否發生損傷。杜永峰等[9]利用自回歸模型殘差與待識別工況的殘差的方差之比作為結構損傷識別判據。ARMA方法存在的問題在于橋梁結構振動參數在實際應用中所受到的影響因素很多，導致其變化的非線性和非平穩性大大增強，影響結構評價結果的準確性。由文獻可知，時序模型ARMA對橋梁狀態的短期預報精度較高，相對誤差控制在5 %以內，但隨著預報步長增加，相對誤差呈現出逐漸變大的趨勢，預報效果不斷下降，變得不可接受。

為了在增加預測步長的同時，提高其預測精度，并更有效、更充分地利用橋梁健康監測信息，提前對橋梁結構狀態趨勢變化做出判斷，為橋梁未來安全評價提供有力的證材，研究一種更加實用的預測方法具有重要的現實意義。

1 灰色預測模型

灰色預測模型[10-11]適應具有“小樣本、貧信息”特點的不確定系統，它通過增強部分已知信息的規律性，弱化其隨機性，進而實現對事物行為、演變規律的準確把握。該方法能夠有效用于處理波動范圍較小、趨勢項顯著的時間序列。

1.1 灰色預測相關理論

在眾多灰色模型中，GM(1,1)模型預測效果好、運用最廣泛，其建模基本原理如下：

設有原始數據列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，n為數據個數。

1)將原始數據累加，以達到增強規律性，弱化隨機波動性的目的，生成新的數據序列項：x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))，累加的過程是將x(1)(t)中各數據表示成對應前幾項的累加。其表達式如式(1)：

(1)

(2)

3)將生成數據做均值生成B與常數項向量Yn，即

(3)

Yn=(X(0)(2)+X(0)(3)),…,x(0)(n))T

(4)

(5)

x＾(1)(t+1)=(x(0)(1)-b/a)e-at+b/a

(6)

式中：x＾(1)(t+1)是x(1)(t+1)的預測值，將二者做差以便還原x(0)序列的預測值：

x＾(0)(t+1)=x＾(1)(t+1)-x＾(1)(t)

(7)

1.2GM(1,1)模型預測

根據不同原始數列長度所建立的灰色模型，對未來預測精度有較大影響。為此在確定合適灰色模型GM(1,1)前需確定原始數列的長度，即維數S。

表1為重慶馬桑溪大橋橋墩變形實測數據，對其建立GM(1,1)預測模型，利用前35期實測數據，對后5期變形數據進行預測。

表1 橋墩沉降變形實測數據Table 1 Measured data of settlement deformation of bridge piers/mm

通過反復試算，取不同維數S=30(去除1～5期，保留6～35期)，S=25，S=20，S=15時，分別對后5期(36～40期)變形數據進行預測，各自的預測相對誤差如圖1。

圖1 不同維數預測誤差百分比Fig.1 Percentage of prediction error of different dimension

由圖1可得，當維數S=20時，所建立的GM(1,1)更符合實際情況，所得預測誤差百分比最小，且在3%以內。表2給出真實值與預測值對照表，計算得灰色參數:

表2 真實值與預測值對照Table 2 Comparison of the true value and the predictive value

期數T3637383940真實值R/mm40.9541.0041.2041.3341.30預測值P/mm41.4041.6741.9542.2242.50相對誤差B/%0.0110.0160.0180.0220.029

由GM(1,1)預測模型在橋梁結構狀態趨勢預測中的應用分析可知：所分析的原始數列維數過長或太短都會對預測誤差造成較大的影響,且預測誤差會隨著預測步長的增加而加大；灰色預測模型短期預測精度較高，建立GM(1,1)模型只需少量的原始數據信息，就能夠實現對橋梁結構狀態趨勢的有效預測。

2 ARMA-GM組合預測模型

2.1 單一時序預測模型的不足

通過以上分析可知，在橋梁結構狀態趨勢短期預報中，ARMA,GM(1,1)模型都具有適用性、有效性，在短期預報中具有較高預測精度，但都隨著預測步長的增加預測誤差都以某種形式逐漸加大。利用表1前30期變形實測數據分別建立ARMA,GM(1,1)預測模型，對后10期監測數據進行預報。圖2給出預測步長L=10時，預測誤差的百分比。

圖2 ARMA，GM(1,1)預測相對誤差百分比(L=10)Fig.2 Forecast relative error percentage (L=10) of ARMA, GM (1,1)

由圖2可以看出，當預測步長L增加時，GM(1,1)在前5期預測誤差比ARMA模型小，比后5期要大。則GM(1,1)更適合短期預測，且只需少量信息就能建立模型進行預測。但其步長預測不如時間序列預測模型。

2.2 ARMA-GM組合時序預測模型

考慮到單一預測模型會丟失某些有用信息，致使預測誤差加大，將單一預測模型按照某種方式進行組合，以綜合利用各個模型優勢，達到提高組合模型的預報精度。將灰色模型GM(1,1)與時間序列模型ARMA(p,q)，按照組合預測模型的基本思想相互融合，形成組合時序預測模型。

(8)

(9)

組合預測就是將GM(1,1)預測模型與ARMA(p,q)時序預測模型按照公式(8)進行融合，賦予2種預測模型合理的權系數，即形成ARMA-GM組合時序預測模型。

2.3 權重計算方法

建立組合預測模型時，合理選擇權系數會大大提高組合預測的精度，求解權系數的方法有：標準差法、算術平均法、方差倒數法、最優加權法、德爾菲法、AHP法等。筆者提出一種誤差(相對)平方和倒數法。其主要思想是為了使組合預測模型的誤差平方和盡可能的小。將誤差平方和較大的預測模型賦予較小的權系數，誤差平方和較大的預測模型賦予較大的權系數。權系數表達式為

(10)

(11)

按照公式(10)和公式(11)各單項預測方法的誤差平方和計算出對應的權系數，再乘以各單項預測值，可以得到組合預測結果。

3 實驗仿真

利用表1橋梁健康監測實測數據的前30期數據為原始數列，先用ARMA模型、GM(1,1)灰色模型分別進行步長L=10預測，然后再通過組合預測模型對第31～40期的數據進行預測與分析。由公式(10)和公式(11)計算得組合預測模型中ARMA的權系數W1=0.765，灰色時序模型的權系數W2=0.235。

表3 各模型預測結果及相對誤差Table 3 Prediction results and relative error of each model

由表3分析可知，灰色時序組合模型能夠有效對橋梁結構監測數據進行分析和處理，在中短期能夠將相對誤差控制在5%以內；組合預測模型的預測值及相對誤差變化的變化幅度要比單一的時序模型、灰色模型平穩。為了進一步說明預測效果，表4給出各模型的預測評價指標。

表4 各模型的預測評價指標Table 4 Forecast evaluation index of each model

其中

通過表4可以得到如下結論：由均方根誤差比較，組合模型的E值最小，表明組合模型的預測值與實測值之間的離散程度最小，進而說明組合模型的預測效果最好；而希爾不等系數一般介于0～1之間，其值越小擬合程度越高。從表4可以看出，各個預測模型的希爾不等系數均遠<1，說明單一模型的預測精度較高，組合之后的預測精度更高。

4 結 語

為了提高橋梁狀態預測的準確度，針對ARMA預測模型、GM(1,1)預測模型的不足，提出ARMA-GM組合時序預測模型及其調整權系數分配的誤差平方倒數算法。經試驗證明，組合時序預測模型能夠充分發揮各單一預測模型的優勢，在增加預報長度時，依然能夠保證較高的準確度和穩定性。可見，利用所建模型在預測橋梁結構未來狀態趨勢變化的實際運用中，具有有效性和適用性。

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Study on ARMA-GM Combined Time-series Model for Structural State Prediction of Bridges

LI Xiuyun1，HUANG Shuo2，YANG Wenwei3,TAN Chaoying4

(1. Department of Information Engineering,Chongqing Vocational Institute of Engineering, Chongqing 402260, P.R.China；2.Xingyang Vocational & Technical College , Xingyang 464000, Henan, P.R.China；3. Anxin-Tuori Information Technology Co.,Ltd.,610081, Chengdu 610081, Sichuan,P.R.China;4. School of Information Science and Engineering,Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074,P.R.China)

The bridge health monitored data contained the information indicating the structural state changes of bridges. The method for structural state prediction by analyzing the data feature variations has drawn the attention in engineering and academic field. To overcome the weakness of single time-series model of ARMA and Grey-relation model of GM(1,1) in the structural state prediction, a combined time-series model of ARMA-GM was proposed to describe the mathematical relationship between the former and later monitored data series, and to achieve the prediction of the values monitored in a future period. The experiment results show that the proposed combined model demonstrated better stability and higher prediction accuracy than the single model when the prediction step is lengthened.Consequently the proposed combined model can provide the valuable predicting data for structural safety assessment of bridges.

bridge engineering;combined model of ARMA-GM；state predict

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.04.02

2016-01-13；

2016-03-30

國家自然科學基金項目(11372366，51508059)；重慶市教委自然科學基金項目(KJ1403209)

李修云(1968—)，男，四川廣安人，副教授,高級工程師，碩士，主要從事電子信息、智能交通、智能算法方面的研究。E-mail：973736111@qq.com。

U449.7;TP312

A

1674-0696(2016)04-006-04