有界區(qū)間上的隨機廣義非局部Burgers方程鞅解的存在性

何 興， 陳光淦， 楊 歡

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

有界區(qū)間上的隨機廣義非局部Burgers方程鞅解的存在性

何 興， 陳光淦*， 楊 歡

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

研究有界區(qū)域上隨機廣義非局部Burgers方程.通過在適當?shù)募訖嗫臻g上考慮,克服了有界區(qū)域上非局部Laplace算子帶來的困難.運用一系列精致估計獲得了系統(tǒng)的某些有界性.利用胎緊代替噪聲給系統(tǒng)帶來的通常意義下的緊性問題,最終獲得系統(tǒng)鞅解的存在性.

隨機廣義Burgers方程; 有界區(qū)域; 非局部Laplace算子; 鞅解

Burgers方程首先由H. Bateman[1]給出,并把這個方程作為湍流模型研究,成為流體力學中一類非常重要和基本的非線性偏微分方程,并被廣泛地應用于空氣動力學、湍流、熱傳導、交通流、地下水污染等眾多領域[2-4].

本文考慮如下隨機廣義非局部Burgers方程

(1)

其中D=(-1,1),Dc=RD,非線性項冪指數(shù)p滿足2

(-△)su(x)=

其中Cs是與s有關的常數(shù).

對于方程(1),當g(u)=0時為確定系統(tǒng),當s=1,p=2,即為經(jīng)典的Burgers方程[1];當s=1,p>2,即為廣義的Burgers方程[5];當0

本文研究有界區(qū)間上的隨機廣義非局部Burgers方程(1)的鞅解.由于在有界區(qū)間上通常的Laplace算子和非局部Laplace算子有明顯不同[9],通常的分數(shù)階Sobolev空間不再適用,因此引入加權的Sobolev空間,再利用胎緊代替噪聲給系統(tǒng)帶來的通常意義下的緊性不成立,最終獲得該系統(tǒng)鞅解的存在性.

1 預備知識

引理 1.1[10]設D?R,1≤p1

如果f∈Lp1(D)∩Lp3(D),則f∈Lp2(D),進一步有

引理1.2[11]設B0、B、B1均為Banach空間,且B0和B1是自反的,B0?B?B1,同時B0緊嵌入到B,γ∈(0,1),X=L2(0,T;B0)∩Wγ,2(0,T;B1),則X緊嵌入到L2(0,T;B).

定義 1.1[12]設s∈(0,1),D?R,定義分數(shù)階Sobolev空間

Ws,2(D)=

其范數(shù)為

‖u‖Ws,2(D)=

這里

被稱為u的半范數(shù).

本文考慮D=(-1,1)?R,由文獻[12]有

).

再根據(jù)文獻[13],設ν(x,y),β(x,y):R×R→Rk,其中β滿足β(x,y)=-β(y,x),且

y.x))·β(x,y)dy.

顯然D(ν):R→R.給定映射u(x):R→R,D表示D的伴隨算子,則

顯然D(u):R×R→Rk.用Θ(x,y)=Θ(y,x)表示二階張量,且滿足Θ=ΘT,那么有

D(Θ·Du)(x)=

其中x∈R,D(Θ·Du):R→R.當Θ為單位矩陣,同時β滿足2|則

D(Θ·D

其中D從而有

D(Θ·Du)(x).

〈(-△)su,u〉L2(D)=〈D(Du)(x),u(x)〉L2(D)=

〈D(Du)(x),u(x)〉L2(R)=

(5)

上述計算用到了u|Dc=0.由(5)知經(jīng)典的分數(shù)階Sobolev空間Ws,2(D)在這里不適用,因為不能保證

如果定義

則

在RD}.

其范數(shù)為

由(5)式知

‖Du‖L2(D)=‖

(6)

結合(5)和(6)式可得

本文記

則有V?H=H?V?V1.

定義 1.2 如果存在一個隨機基(Ω,F,{Ft},P),一個在空間U上的維納過程W以及一個逐漸可測過程u:Ω×[0,T]×D→H,在幾乎必然的意義下,函數(shù)

u∈L∞(0,T;H)∩L2(0,T;V)∩C([0,T];V1),

且使得對任意的t∈[0,T],υ∈V有

則稱方程(1)存在一個鞅解,并稱滿足上述的序列(Ω,F,P,{Ft},W,u)為方程(1)的鞅解.

2 鞅解的存在性

設W(t)是一個完備概率空間(Ω,F,P)上的維納過程,且在可分的Hilbert空間U上取值.算子Q是定義在U上的非負對稱算子,滿足TrQ<+∞,則在U上存在一個完備的標準正交集{ei}i≥1和非負的有界實值序列λi,使得Qei=λiei且

進一步假設

(A)g:H→L2(U,H)是連續(xù)的,且滿足

其中u,v∈H,參數(shù)C、λ為正實數(shù).

證明 第一步,有限維近似.

假設{η1,η2....}?V是空間H中的一組標準正交基.令Hn:=span{η1,η2，…,ηn},定義線性算子Pn:V→Hn,

顯然Pn|H是H到Hn的正交投影,且對?u∈V,υ∈Hn可得

V〈Pn(-△)su,υ〉V=〈Pn(-△)su,υ〉H,

其中V〈·,·〉V表示V和它的對偶空間V的對偶積.取U上的一組標準正交基{e1,e2,…},且

由于在有限維空間上的隨機微分方程(7)滿足局部Lipschitz和線性增長條件,則方程(7)有唯一強解un(t)∈L2(Ω;C([0,T];Hn)).

第二步,先驗估計.

注意到

〈(-△)su,u〉L2(D)=‖

再利用It公式和假設(A)可得

于是由Gronwall不等式可得

(8)

其中C1、C2是正常數(shù).同理q≥2時有

再利用Burkholder-Davis-Gundy不等,Young不等式以及Gronwall不等式可得

(9)

其中C與n無關.由(8)式有

{un}n∈N在L2(Ω,L2(0,T;V))

un(t)=Pnu0+

記

‖u‖L2(D)‖(-△)sφ(x)‖L2(D),

則可得‖(-△)sφ(x)‖L2(D)≤C,進一步有

‖

‖

因為2δ>4+4s,由嵌入不等式得

‖φx‖L∞(D)≤C‖φ

所以

令2

因此第一部分

(10)

下面來看第二部分

類似計算可得

(11)

(12)

下面來證I2(t)在L2(Ω,Wγ,2(0,T;H))上一致有界.同理先來看第一部分

(13)

再來看第二部分

(14)

由(13)和(14)式可得

(15)

上一致有界.

記

Mn(t):=un(t)-Pnu0+

則Mn(·)是一個鞅,其二階變差為

〈〈Mn(t)〉〉=

則由E([Mn(t)-Mn(τ)]φ(un(·)))=0,從而

且對?a,b∈H,有

相應的濾子為

二階變差為

二階變差為

因此對任意的t∈[0,T],υ∈V有

[1] BATEMAN H. Some recent researches on the motion of fluids[J]. Monthly Weather Rev,1915,43(4):163-170.

[2] CATUOGNO P, OLIVERA C. Strong solution of the stochastic Burgers equation[J]. Applicable Analysis,2014,93(3):646-652.

[3] TIAN C. New strong symmetry, symmetries and lie algebra of burgers equation[J]. Scientia Sinica,1988,31(2):141-151.

[4] 胡勁松,王玉蘭,鄭茂波. Rosenau-Burgers方程的一個新的差分格式[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2010,33(4):455-457.

[5] VANEEVA O O, SOPHOCLEOUS C, LEACH P G L. Lie symmetries of generalized Burgers equations: application to boundary-value problems[J]. J Engineering Math,2015,91(1):165-176.

[6] BILER P, FUNAKI T, WOYCZYNSKI W A. Fractal Burgers equation[J]. J Diff Eqns,1998,148(1):9-46.

[7] BERTINI L, CANCRINI N, JONA-LASINIO G. The stochastic Burgers equation[J]. Commun Math Phys,1994,165(2):211-232.

[8] HAIRER M, VOSS J. Approximations to the Stochastic Burgers Equation[J]. J Nonlinear Sci,2011,21(6):879-920.

[9] DU Q, GUNZBURGER M, LEHOUCQ R B, et al. Analysis and approximation of nonlocal diffusion problems with volume constraints[J]. SIAM Rev,2012,54(4):667-696.

[10] 陳國旺. 索伯列夫空間導論[M]. 北京:科學出版社,2013.

[11] FLANDOLI F, GATAREK D. Maitingale and stationary solutions for stochastic Navier-Stokes equations[J]. Probab Theory Realt Fields,1995,102(3):367-391.

[12] NEZZA E D, PALATUCCI G, VALDINOCI E.Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces[J]. Bull Sci Math,2012,136(5):521-573.

[13] DU Q, GUNZBURGER M, LEHOUCQ R B, et al. A nonlocal vector calculus, nonlocal volume-constrained problems, and nonlocal balance laws[J]. Math Models Methods Appl Sci,2013,23(3):493-540.

[14] DA PRATO G, ZABCZYK J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1992.

[15] BRZEZNIAK Z, MOTYL E. Existence of a martingale solution of the stochastic Navier-Stokes equations in unbounded 2D and 3D domains[J]. J Diff Eqns,2013,254(4):1627-1685.

2010 MSC：60H15; 60G46; 35Q53

(編輯 陶志寧)

The Existence of Martingale Solution for a Stochastic Generalized Nonlocal Burgers Equation on Bounded Intervals

HE Xing, CHEN Guanggan, YANG Huan

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

This paper is concerned with the stochastic generalized nonlocal Burgers equation on bounded intervals. Introducing a weighted sobolev space, it overcomes the difficulties which are caused by the nonlocal Laplacian operator on bounded domains. By using a series of precise estimates, the boundedness of the system is established. Using the tightness to solve the general compact problem which is caused by noise, it finally obtains the existence of martingale solutions for the system.

Stochastic generalized burgers equation; bounded intervals; Nonlocal laplacian operator; Martingale solution

2015-11-08

國家自然科學基金(11571245和11401409)及四川省教育廳重點科研項目(15ZA0031)

O175.2

A

1001-8395(2016)06-0809-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.005

*通信作者簡介：陳光淦(1978—),男,教授,主要從事隨機偏微分方程的研究,E-mail:chenguanggan@hotmail.com