一類二階Sturm-Liouville邊值問題的多解性

霍 梅, 韓曉玲

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

一類二階Sturm-Liouville邊值問題的多解性

霍 梅, 韓曉玲*

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

研究了一類二階Sturm-Liouville邊值問題

Sturm-Liouville邊值問題; 多解性; 不動點指數定理

二階常微分方程在力學、電學和熱學等領域有著重要的實際應用背景,比如力學中牛頓加速度定律和胡克定律、電學中的基爾霍夫定律及熱學中的熱傳播方程的求解,均會聯系到線性常微分方程

u″+w2u=0.

(1)

近年來，對于(1)式及其相應的非線性方程邊值問題的研究出現大量而深入的結果，參見文獻[1-3]及其所列參考文獻.特別地,自在文獻[1]中利用錐拉伸和壓縮不動點定理研究問題

(2)

正解的存在性和多解性結果起,出現過大量的研究問題(2)及其推廣形式的工作;但這些工作一般沒有論及非線性項零點的個數與問題(2)解的個數之間的關系.

本文將在非線性項具有多個零點的前提下,討論零點個數與問題(2)解的個數之間的聯系.確切地,假定:

(H1)f:[0,∞)→[0,∞)連續,存在2列正的點列{ai}、{bi},i=1,2,…,n,ai

f(ai)=0,f(bi)=0,

并且在(ai,bi)上f(u)>0;

(H2)α>0,β>0,γ≥0,δ≥0并且

ρ:=γβ+αγ+αδ>0.

文獻[1-7]均在f≥0及超線性和次線性條件下,獲得1個或2個正解的存在性結果.本文將運用錐上的不動點定理證明n個正解的存在性結果,參見后面的定理1.1.

1 預備知識

設C=C[0,1],其在范數

‖

下構成Banach空間;設集合K?C,并且

‖u‖},

其中

容易驗證K是C中的錐.

還需要條件:

定理 1.1 若(H1)～(H3)成立,則存在λ0,使得對任意的λ≥λ0,問題(2)有n個解u1,u2,…,un,且

對于任意的r>0,定義Ωr={u∈K:‖u‖

定義算子Tλ:K→K,

其中K(t,s)表示邊值問題

(3)

的Green函數

(4)

則問題(2)的解等價于算子方程Tλu=u的不動點.容易驗證Tλ(K)?K且Tλ(K):K→K全連續.

引理 1.1[3]E為一Banach空間,K為E中的一個錐.對于任意的r>0,定義

Kr={v∈K:‖x‖

x∈?Kr={v∈K:‖x‖=r},Tx≠x.

(i) 如果對于x∈?Kr,有‖Tx‖≥‖x‖成立,則i(T,Kr,K)=0;

(ii) 如果對于x∈?Kr,有‖Tx‖≤‖x‖成立,則i(T,Kr,K)=1.

對于任意的i=1,2,…,n,定義fi如下

(5)

證明 由于u∈K是(5)式的解,則u滿足

(6)

注意A≠?.

現在,根據(6)式不難推出

u″(t)≡0,t∈A.

這表明u(t)在A上為線性函數.

若t0∈(0,1),則u′(t0)=0,進而u(t0)≡bi,t∈A;這與u(t0)>bi相矛盾.

綜上所述可得

u(t)≤bi,t∈[0,1].

進而,u是問題(2)的解.

引理 1.3 假設條件(H1)～(H3)成立.令

則?i∈{1,2,…,n},存在ri,使得[εri,ri]?(ai,bi).且對于任意的u∈?Ωri,存在M>0,使得

證明 由ε的選取方式可知ri的存在性是顯然的.由于對于任意的u∈K,存在t0,使得u(t0)=‖u‖,則?t∈[1/4,3/4]有

u(t0)≥u(t)≥Du(t0)≥

εu(t0),t∈[1/4,3/4].

現在對u∈?Ωri,根據條件(H3)可知

取

2 主要結果的證明

定理1.1的證明 取

對于任意的i=1,2,…,n和λ>λ0,由引理1.3可知,在?Ωri上

另一方面,對于λ>λ0,由fi(u)的有界性可知,存在Ri>ri,使得

由引理1.1可知

由不動點指數的性質可知

ai

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2010 MSC:34B15； 34B18； 34B27

(編輯 余 毅)

Solvability of a Class of Second Order Sturm-Liouville Boundary Value Problem

HUO Mei, HAN Xiaoling

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu)

Sturm-Liouville boundary value problem; multiple solutions; fixed point index theorem

2016-05-16

國家自然科學基金(11561063)

O

A

1001-8395(2016)06-0843-03

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.012

*通信作者簡介:韓曉玲(1978—),女,教授,主要從事常微分方程邊值問題的研究,E-mail:hanxiaoling9@163.com

的多解性,其中f:[0,∞)→[0,∞)連續,并存在2列正的點列{ai}、{bi},i=1,2,…,n,ai0.