非線性微分方程三階三點邊值問題一個正解的存在性

郭麗君

(蘭州交通大學博文學院 電信工程系, 甘肅 蘭州 730101)

非線性微分方程三階三點邊值問題一個正解的存在性

郭麗君

(蘭州交通大學博文學院 電信工程系, 甘肅 蘭州 730101)

格林函數在三階三點邊值問題的正解存在性理論中有著重要作用.考慮以下三階三點邊值問題

三階三點邊值問題; 正解; 存在性; 錐; 格林函數; 不動點定理

三階微分方程起源于應用數學和物理學等各種不同領域,有著廣泛的應用背景和重要的理論價值.近年來,三階三點邊值問題受到了廣泛的關注(見文獻[1-8]).本文運用Guo-Krasnoselskii不動點理論研究了下列邊值問題至少有一個正解的存在性準則

其中0<η<1,0<α<1/η,參數λ∈(0,∞).值得一提的是,文獻[1]討論了當邊值問題(1)和(2)中參數λ=0時的特殊情況,通過運用Leggett-Williams不動點定理得到了邊值問題(1)和(2)的3個正解的存在性.但文獻[1]及文獻[2-8]中相關的格林函數形式較復雜,沒有得到更好的性質.本文的目的是進一步研究參數λ>0時的邊值問題(1)和(2)正解的存在性,構造了新的格林函數,且形式上較簡單,得到了新的性質,通過運用Guo-Krasnoselskii不動點定理,在非線性項f滿足一定條件的情況下得到了邊值問題(1)和(2)至少一個正解的存在性準則.

是全連續算子且下列條件之一滿足:

(i) 當u∈K∩?Ω1時,‖Au‖≤‖u‖且當u∈K∩?Ω2時,‖Au‖≥‖u‖,

(ii) 當u∈K∩?Ω1時,‖Au‖≥‖u‖且當u∈K∩?Ω2時,‖Au‖≤‖u‖;

假設以下條件始終成立：

(C1)f∈C([0,+∞),[0,+∞));

(C2)a∈C([0,1],[0,+∞))且在[τ,1]上a(t)不恒為零,其中τ為(0,1)上的任意常數.

1 預備引理

為了得到本文的主要結果,需要以下3個重要引理.

引理 1 設0<α<1/η,則對于任意給定的y∈C[0,1],邊值問題

u?(t)+y(t)=0,t∈(0,1),

(3)u(0)=u″(0)=0,u′(1)-αu(η)=λ, (4)

有唯一解

其中

(5)

稱為Green函數.

證明 事實上,如果u(t)是邊值問題(3)和(4)的解,則可令

由u(0)=u″(0)=0,可得A=C=0.再由

u′(1)-αu(η)=λ,

可得

因此,邊值問題(3)和(4)有唯一解

引理成立.

而在文獻[1]中，當λ=0時邊值問題(3)和(4)的格林函數為

形式上較復雜,且沒有得到以下2個有用引理.

對本文格林函數(5),有如下2個引理:

引理 2 對任意(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.

證明 首先考慮0≤s≤t的情況.此時

t(1-s)≤1-s.

如果t≤s≤1,顯然有

0≤G(t,s)=t(1-s)≤1-s.

因此

0≤G(t,s)≤1-s, (t,s)∈[0,1]×[0,1].

引理成立.

引理 3 令0<η<1,0<α<1/η,則對任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中0<γ=τ/2<1,τ為(0,1)上的任意常數.

證明 如果0≤s≤t,則有

如果t≤s≤1,則有

因此,對任意(t,s)∈[0,1]×[0,1],均有

可令γ=τ/2,τ∈(0,1)為任意常數,則對任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1]有

引理成立.

2 主要結果

在本文的剩余部分總是假定0<α<1/η,參數λ>0且條件(C1)和(C2)滿足.標記

定理 2 假設下述條件成立：

(i)f0=0且f∞=∞(超線性);或者

(ii)f0=∞且f∞=0(次線性),

則邊值問題(1)和(2)至少存在一個正解.

證明 設Banach空間E=C[0,1],賦予其范數

令

K={u∈E:u(t)≥0,t∈[0,1]且

顯然K?E是錐.對u∈K,t∈[0,1]定義

(6)

由引理2可知,對任意t∈[0,1]都有

(7)

故

(8)

由引理3和(8)式可得,當t∈[τ,1]時有

因此

這表明AK?K.更進一步,容易驗證A:K→K是全連續的且A的不動點即為邊值問題(1)和(2)的解.

首先,考慮超線性情況:f0=0,f∞=∞,此時參數λ可足夠小.

(9)

令Ω1={u∈E:‖u‖

(10)

因此由(10)式可知

‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1.

另一方面,由于f∞=∞,則存在H2>H1,使得u≥γH2時有f(u)≥ρu,其中ρ>0且滿足

(11)

令

Ω2={u∈E:‖u‖

則當u∈K,‖u‖=H2時有

u(t)≥γ‖u‖=γH2,t∈[τ,1],

因此由(11)式可得

所以

‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2.

下面考慮對任意參數λ∈(0,∞)時的次線性情況:f0=∞,f∞=0.

由于f0=∞,則存在H3>0,使得0≤u≤H3時f(u)≥Mu,其中M>0且滿足

(12)

則當u∈K,‖u‖=H3時,由(12)式可得

令Ω3={u∈E:‖u‖

‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω3.

由于f∞=0,則存在H>0,使得u≥H時,f(u)≤μu,其中μ>0滿足

(13)

分以下2種情況考慮:

1) 假設f是有界的,即u∈[0,∞)時,f(u)≤N.此時可令

使得對任意u∈K,當‖u‖=H4時有

H4,t∈[0,1],

所以

‖Au‖≤‖u‖.

2) 如果f是無界的,可令

使得

f(u)≤f(H4), 0≤u≤H4.

(14)

則對任意u∈K,當‖u‖=H4時,由(13)和(14)式可得

因此

‖Au‖≤‖u‖.

所以,無論在哪種情況下,都可令

Ω4={u∈E:‖u‖

則對任意u∈K∩?Ω4,都有‖Au‖≤‖u‖.由定理1的(ii)可知,邊值問題(1)和(2)至少有一個正解.定理成立.

[1] SUN J P, GUO L J, PENG J G. Multiple nondecreasing positive solutions for a singular third order three point BVP[J]. Commun Appl Anal,2008,12:91-100.

[2] 孫建平,張小麗. 非線性三階三點邊值問題正解的存在性[J]. 西北師范大學學報(自然科學版),2012,48(3):29-31.

[3] 吳紅萍. 一類非線性三階三點邊值問題的多個正解[J]. 貴州大學學報(自然科學版),2014,31(2):4-6.

[4] 張立新. 三階邊值問題的3個正解的存在性[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2011,34(4):466-470.

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[7] 張立新,孫博,張洪. 三階三點邊值問題的兩個正解的存在性[J]. 西南師范大學學報(自然科學版),2013,38(10):30-33.

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[9] GUO D, LAKSHMIKANTHAM V. Nonlinear Problems in Abstract Cones[M]. New York:Academic Press,1988.

2010 MSC:34B15

(編輯 余 毅)

Existence of a Positive Solution for a Third-order Three-pointBoundary Value Problem of Nonlinear Differential Equations

GUO Lijun

(Department of Electronic and Information Engineering, Lanzhou Jiaotong University Bowen College, Lanzhou 730101, Gansu)

third-order three-point boundary value problem; positive solution; existence; cone; Green function; fixed point theorem

2016-01-22

甘肅省高等學校科研項目(2015B-214)

郭麗君(1980—),女,講師,主要從事微分方程邊值問題的研究,E-mail:5148806@qq.com

O

A

1001-8395(2016)06-0846-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.013

其中,0<η<1,0<α<1/η,參數λ∈(0,∞).通過建立相關線性邊值問題的格林函數得到解的形式,運用Guo-Krasnoselskii不動點定理建立上述邊值問題至少一個正解的存在性準則.