2維聲學黑洞與1維流體的對應研究

楊曉煥, 顏 駿, 陳海霖, 余 毅

(四川師范大學 物理與電子工程學院， 四川 成都 610066)

2維聲學黑洞與1維流體的對應研究

楊曉煥, 顏 駿*, 陳海霖, 余 毅

(四川師范大學 物理與電子工程學院， 四川 成都 610066)

研究2維聲學黑洞與1維流體的對應關系，在流體力學方程的基礎上推導聲學度規的表達式,獲得了2維dilaton引力模型中的一些精確黑洞解.計算了1維流體中的能量密度ρ，速度ν和驅動勢f，還分析和討論了這些流體參量的物理性質．

2維引力； 聲學黑洞； 引力-流體對應

高維時空中的引力方程難以求解，2維引力中的場方程相對簡單，因此2維引力可以為研究高維空間中的廣義相對論提供理想實驗室.2維引力與理論物理中的弦理論和共形場論有密切關系,還與純數學理論中的幾何拓撲學和調和映照有一定的聯系.近年來,2維引力作為一種Toy模型,有助于人們對4維引力模型及其量子化深人理解,因此對它的研究具有積極的理論意義.在20世紀80年代初,物理學家已開始著手研究2維引力及其相關的量子Liouville理論,分別在光錐規范、共形規范下深入研究了2維引力問題,并在矩陣模型的框架下獲得了2維量子引力模型的一些精確解.這些解極大地豐富了人們對弦理論、共形場論甚至臨界現象的進一步理解,因此,從各個不同側面深入研究2維引力模型就顯得非常必要了.

2維引力的物理性質已經得到了充分研究[1-12].描述2維時空中黑洞的精確的共形場論是在WZW模型中發展起來的，2維dilation引力理論已經被廣泛地應用于研究黑洞的蒸發問題.此外，2維高階引力模型、2維引力的可積與可解性質已分別在共形規范和光錐規范下得到分析.另一方面，在平坦的2維時空中存在一種非線性標量場的作用模型,即sine-Gordon模型,這一模型中存在孤子解.因此,人們自然希望研究2維引力和sine-Gordon物質場的相互作用，通過CGHS模型的框架研究sine-Gordon物質場作用下的黑洞解.文獻[13-16]發現了2維引力模型中的sine-Gordon孤子解和sinh-Gordon時空帶解.

由于天體物理中黑洞表面溫度極低，其霍金輻射非常微弱，因此目前尚未觀察到這一物理效應.另外，無論在早期宇宙殘留物中尋找小型黑洞或者是在粒子物理對撞機中制造出微黑洞，在短期內這些探索的成功機率都很小.由于聲波在不均勻流體中的傳播性質和光波在彎曲空間中的傳播性質非常相似，所以在流體力學實驗中可較容易模擬黑洞的物理性質.

1 流體力學中的聲學度規

流體力學的基礎方程是連續性方程

?tρ+·(ρν)=0,

(1)

和Euler方程[17]

(2)

式中，ρ為流體密度，ν是流體速度，F=-P,P是壓力，F是壓力P產生的力密度，這時流體假定沒有粘滯性.根據速度矢量的關系式

引入速度式ν=-φ,那么Euler方程變為

?tν=ν×(×ν)-

(3)

(4)

在流體中當振動很小和速度很小時，那么流體中的壓強和密度相對變化也很小，這時p和ρ可以表示為p=p0+p1,ρ=ρ0+ρ1,p0和ρ0分別代表流體中平衡密度和平衡壓強，p1和ρ1表示圍繞平衡的微小漲落.當漲落的二階小量忽略后，那么線性化處理后的速度勢所滿足的波動方程為?t2φ=c22φ,這里c表示聲速.

根據連續性方程(1)式得到

?tρ0+·(ρ0ν)=0,

(5)

?tρ1+·(ρ1ν0+ρ0ν1)=0.

(6)

并且h(p)可展開為

h(p)=h(p0+ε1+O(ε2))=

(7)

如果忽略流體的牛頓引力勢和外力的驅動，那么只剩下流體壓強產生的作用力，這時利用(7)式對Euler方程(4)進行線性化處理后得到對方程

(8)

(9)

方程(9)式可以重新表示為

p1=ρ0(?tφ1+ν0·φ1).

(10)

這時有

φ1+ν0·φ1),

(11)

現將(11)式代入(6)式可以得到如下波動方程

φ1+ν0·φ1))+·(-ρ0φ1+

(12)

這一二階偏微分方程可以描述線性化標量勢φ1的傳播規律，即這一方程確定了聲學擾動的傳播形式.為了將流體方程和引力理論聯系起來首先定義如下的局域聲速

(13)

再構造一個4×4矩陣

根據(13)式和(14)式那么波動方程(12)式可以重新寫成

?μ(fμν?νφ1)=0,

(15)

這時定義彎曲時空上的達朗貝爾算符為

(16)

式中

(17)

這里g=det(gμν)是度規的行列式，并且有

(18)

根據矩陣(14)式的行列式可以得到

det(fμν)=

(19)

因此有

(20)

所以得到了如下形式的逆聲學度規

那么聲學度規應為

(22)

這時聲學度規的間隔形式可以表示為

ds2≡gμνdxμdxν=

(23)

2 2維引力中dilaton黑洞解

2維dilaton引力模型的作用量[18-20]為

(24)

式中，ψ是輔助場，φ是dilaton場，V(φ)是勢函數，G是牛頓常數，b、Λ為常數作用量(24)式對應的輔助場方程為

2ψ-R=0,

(25)

引力場方程為

gμν2ψ-μνψ=8πGTμν,

(26)

φ)-

(27)

dilaton場方程為

-4b2φ

(28)

這時2維靜態度規選擇為[21-29]

ds2=-α(x)dt2+α-1(x)dx2，

(29)

其中，α(x)是度規因子.此時引力物質系統方程組化為

αψ′=-α′,

(30)

α″=-8πGΛV(φ),

(31)

(32)

命題 1 dilaton場φ和度規α有如下關系：

(33)

式中，X0是積分常數，下面證明這一關系式.

用αφ′乘以(32)式兩邊得

(34)

對(31)式兩邊求導得

(35)

將(34)式與(35)式聯立消去dV/dx后得

(36)

即

(37)

又因為

(38)

并且

(39)

由(37)～(39)式可得

φ′)2]=

即

(40)

所以命題1證畢.

命題 2 當標量場勢能V(φ)=e-2aφ時有

(41)

式中a是勢能常數，下面證明這一關系式成立.當標量場勢能取為V(φ)=e-2aφ時,(31)式變為

α″=-8πGΛe-2aφ,

(42)

將上式整理得

(43)

又因為

(44)

并且

φ′)2]=

(45)

所以

(46)

即

(47)

那么(47)式變為

(48)

式中β=b/a2.化簡上式得

(49)

所以命題2證畢.

命題 3 當β=p/(p+2)=1(p→∞)，場方程有如下的黑洞度規和dilaton場解

(50)

(51)

式中A、C、E是積分常數，下面證明這一命題成立.由(50)式得

(52)

α″=-8πGΛe-2aEe-Cx,

(53)

α?=8πGΛCe-2aEe-Cx.

(54)

將α′、α″、α?帶入式命題2中的(41)式的左端得

(55)

同理，將α″帶入(43)式得

(56)

所以命題3證畢.

下面說明命題3得到的2維度規可以描述一種黑洞，取B=8GΛπe-2aE/C2則度規(50)式化為

α=A-Be-Cx.

(57)

當C>0,x→-∞或C<0,x→+∞時，可知黑洞度規出現奇異性質；當xC=-ln(A/B)/C，同樣可知黑洞度規也出現奇異性質，根據曲率R=-α″可計算出不同時空奇點處的曲率分別為

R(x→±∞)=-BC2e-Cx→±∞,

(58)

(59)

所以xC表示黑洞的視界位置，可以為正值或負值.標量場φ(x)在奇點處的性質為

(60)

(61)

因此，這個解可以描寫2維黑洞，此黑洞的真正奇點位于x→±∞處.黑洞的ADM質量定義為

(62)

K是積分常數，可以證明解析解(50)式和(51)式對應的2維黑洞質量為

(63)

這里，A、C>0,當a>0,由(51)式知系數C越大，φ(x)越強，那么對應的黑洞質量越大.

3 1維流體中的能量密度、速度和驅動勢

取C=1，E=0，8πG=1，Λ=1，則(50)和(51)式化為

(64)

命題 4 對(29)式中黑洞度規和時空坐標做如下變換，則黑洞度規可化為聲學度規的形式,下面證明這一命題成立.

如果使用如下變換[30]

(65)

則有

(66)

dx2=ρ02dx2,

(67)

于是有

ds2=-α(r)dt2+α-1(r)dr2=

(68)

這時聲學度規的表達式為

2v0dxdt+dx2].

(69)

這一度規恰好對應于(23)式中i=j=1的特殊情況.由(65)式可以看出當2M=J時，黑洞的視界為于xc=-ln2M處，這時其對應的聲學視界位于c=v0處.

命題 5 1維流體力學中的Euler方程和連續方程為

(70)

ρ0(x)v0(x)A(x)=常數,

(71)

式中，ρ0是流體密度，p是流體壓強，v0是流體速度，f是驅動外力的勢，A(x)通量截面，下面證明這一命題.

引入如下變換

(72)

則(70)和(71)式等價于如下方程組

(73)

(74)

這時討論一種特殊情況，當聲速c=常數時有如下關系式

(75)

并且

(76)

另外

(77)

以及

(78)

將(75)～(78)式代入(73)式命題即可得這一等式成立.另外有(70)式容易得到(71)式，所以命題5成立,再根據Euler方程(70)式和連續性方程(71)式可求出1維流體中的能量密度ρ0(x)、速度v0(x)和驅動勢f(x)的如下表達式

ρ0(x)=

(79)

(80)

(81)

式中，s是與流體通量A有關的常數，f0是積分常數.當黑洞質量取為M=1/2,聲速取為c=1，常數取為s=1，f0=1時，那么可以作出黑洞視界外流體參量，如圖1～3所示.

當黑洞質量取定時，計算結果表明流體密度隨空間坐標增大而增大，而流體速度隨空間坐標增大而減小.另外，流體驅動勢也隨空間坐標增大而減小.根據流體方程組解可以直接看出，當空間坐標不變時，隨著黑洞質量的增大，流體密度變大，對應的流體速度變小.

4 結論與討論

本文首先根據流體力學中的連續方程和Euler方程分析了流體中的微小振動，這種振動所對應的速度勢滿足的方程可以描述聲波現象，對流體方程組進行線性化處理后得到密度、壓強和速度勢漲落滿足的波動方程，這一方程也可描述標量勢的傳播規律.當定義適當的度規張量后，那么波動方程就可化為一個彎曲時空下的標量場方程，由此可以導出聲學度規的表達式.

其次，本文推導了2維dilaon引力模型中的場方程組，根據3個命題進一步獲得了2維度規的解析解，通過物理分析后表明這一解可以描述2維時空中的黑洞，其時空奇點為無窮遠處，而視界的位置由勢能強度Λ和a所決定.經過適當的坐標變換后發現2維黑洞度規可以變化為對應的聲學度規，這時2維引力場方程可與1維流體中的Euler方程發生聯系,因此可以求出聲學黑洞中的流體密度、壓強和驅動勢的解析解.當黑洞質量取為定值時，本文對流體速度和驅動勢作出了數值圖形，并討論了這些流體參量在空間中的變化規律.另外，2維定態時空中霍金溫度定義為4πTH=(dα/dx)|x=xc,代入視界坐標xc=-ln 2M便可求出霍金溫度為TH=M/2π,因此2維時空中黑洞質量越大，霍金溫度越高，最近，W. G. Unruh進一步分析了在實驗室測量霍金輻射的可能性[31-32]，所以通過流體力學中的一個小型平臺可以模擬黑洞中的各種比較復雜的物理現象[33-35].

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(編輯 陶志寧)

The Study of Correspondence Relationship between Two-dimensional Acoustic Black Hole and One-dimensional Fluid

YANG Xiaohuan, YAN Jun, CHEN Hailin, YU Yi

(College of Physics and Electronic Engineering, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

The correspondence relationship between two-dimensional black holes and one-dimensional fluid is studied in this paper. The expression of acoustic metric is derived according to the hydromechanics equations, and we obtain some exact black hole solutions in two-dimensional dilaton gravity model. Moreover, the energy densityρ, speedνand drive potentialfin one-dimension fluid are calculated and the physical properties of these fluid parameters are also analyzed and discussed.

two-dimensional gravity； acoustic black hole； gravity-fluid correspondence

2015-06-12

四川省教育廳自然科學重點基金(11ZA100)

O351.2

A

1001-8395(2016)06-0875-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.019

*通信作者簡介：顏 駿(1965—),男，教授，主要從事量子場論和引力理論的研究，E-mail:yanjun5@sina.com