關于串聯彈簧振子的研究

黃建博，蘇　壯，王四海

(北京郵電大學a.信息與通信工程學院；b.理學院，北京100876)

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關于串聯彈簧振子的研究

黃建博a，蘇壯a，王四海b

(北京郵電大學a.信息與通信工程學院；b.理學院，北京100876)

摘要：利用微分方程和拉普拉斯變換研究串聯彈簧振子系統的運動規律，推導其運動方程，分析頻率分量以及波峰-波谷比的極值條件. 串聯彈簧振子系統運動是若干正弦運動的疊加，頻率分量的個數等于串聯的彈簧個數，在某些條件下這些頻率分量還會趨于相等.

關鍵詞：串聯彈簧振子；胡克定律；拉普拉斯變換；傅里葉變換

振子在彈簧的回復力作用下做正弦運動，其動力學方程為

F=-kx=ma,

(1)

運動學方程為

(2)

由以上兩式可得

mx″+kx=0 ,

(3)

或

(4)

x(t)=Acos (ωt).

單個振子在彈簧回復力作用下做離平衡點的位移隨時間成正弦變化的運動，位移對時間求導可以得到其速度隨時間的變化也是正弦變化，速度對時間求導又可得到其加速度隨時間成正弦變化. 那么這一系列性質對串聯的雙彈簧系統是否適用呢？各個彈簧的位移隨時間怎樣變化呢？進而，當有n個彈簧振子串聯時它們的運動規律又是怎樣的呢？基于這些問題，本文推導了多彈簧振子的位移表達式，并使用Matlab軟件仿真表現出振子的位移波形，進而提出一種可能的教學演示模具.

1二元串聯彈簧振子的運動

1.1方程求解

2個彈簧振子串聯(如圖1所示)，研究m2的運動. 輕彈簧勁度系數分別為k1和k2，原長分別為l1和l2，物體質量分別為m1和m2，水平面光滑. 初態，彈簧k1伸長量為A1，k2伸長量為A2，即x1(0)=A1，x2(0)=A1+A2. 設m1相對其平衡位置(l1處)位移為x1，m2相對自身平衡位置(l1+l2處)位移為x2.

動力學(微分)方程：

-k1x1+k2(x2-x1)=m1x1″,

(5)

-k2(x2-x1)=m2x2″.

(6)

圖1　二元串聯彈簧振子

聯立方程組消去x1得：

(7)

特征方程：

m1m2r4+(m1k2+k1m2+k2m2)r2+k1k2=0.

(8)

解得特征根：

其中，

(13)

(14)

方程的解：

其中

(17)

(18)

2個串聯彈簧振子的運動最終趨向等幅振蕩. 函數x2(t)只含Ω1和Ω2頻率分量，設

x2(t)=C11cos (Ω1t)+C12sin (Ω1t)+

C21cos (Ω2t)+C22sin (Ω2t),

(19)

其中C11，C12，C21，C22為待定常量.

初值：

代入(19)式有

C12=C22=0.

于是，改設

x2(t)=C1cos (Ω1t)+C2cos (Ω2t)，

(20)

C1和C2為待定常量. 再次代入初值有

解得

該系統中，外側小球的運動是2個簡諧振動的疊加，2個簡諧振動的頻率和振幅都不等于彈簧的本征頻率和形變量，而是后者的變換.

1.2解的討論

因為第2個小球的運動更易于觀察，所以這里只對第2個小球的運動方程進行討論. 聯立式(13)，(14),(17),(18),(20),(23),(24)可知，改變m1與m2之比或k1與k2之比就會改變x2(t). 設kr=k1/k2，mr=m1/m2，取A1=A2，則x2(t)隨kr和mr而變化. 取kr=mr=1，運動方程圖形如圖2.

圖2　k1=k2,m1=m2時系統位移函數圖像

該波形具有以下缺點：

a.波形缺乏規律性；

b.波峰參差不齊；

c.如果連接波峰得到一條包絡線的話，包絡線的起伏非常小.

以上缺點都給觀測帶來困難. 現在從連接波峰的包絡線入手，以期獲得一條起伏盡可能大的包絡線. 借助Matlab工具[1]，研究方法如下：

1)kr和mr從1∶10到10∶1各取若干個值，兩兩組合后得到取值組合的二維矩陣.

2)每個取值組合用表達式計算1個運動方程，獲取該波形的所有峰值并取絕對值得到絕對幅值向量f.

3)取出f中的最大值fmax和最小值fmin，計算兩者之比R=fmax/fmin.

4)重復2)和3)得到二維矩陣R，以lgkr和lgmr為自變量(既保留單調性又獲得對稱性)，R為因變量作二元函數圖像，觀察獲取使r盡可能大的組合(kr，mr).

如上方法得到圖像如圖3所示，圖中有明顯的尖鋒，這意味著，2個彈簧振子的勁度系數比和質量比在某些組合下串聯后的效果最佳. (圖中大多數地方并不平坦，只是峰值太大，起伏不明顯.)

圖3　波峰-波谷比與勁度系數比和質量比的關系

取kr=1，波峰-波谷比與質量比的關系如圖4所示. 由圖4可知，kr=1，mr=5時現象顯著，在該處x2(t)仿真波形如圖5所示.

圖4　波峰-波谷比與質量比的關系(相同勁度系數)

圖5　k1=k2，m1=5m2時系統位移函數圖像

該圖像可觀察到振幅周期性變化.

在上述討論中，采用的指標為R=fmax/fmin，下面嘗試使用指標r=fmin/fmax，得到圖6. 可以看出0

圖6　波谷-波峰比與勁度系數比和質量比的關系

圖7　fmin(kr,mr)=fmax(kr,mr)真值分布

k1∶k2m1∶m2Ω1Ω2C1C26∶110∶10.711.202.00→011∶29∶10.711.112.00→05∶18∶10.711.122.00→09∶27∶10.711.132.00→04∶16∶10.711.152.00→07∶25∶10.711.182.00→03∶14∶10.711.222.00→05∶23∶10.711.292.00→02∶12∶10.711.412.00→03∶21∶10.711.732.00→01∶31∶80.302.071.950.05

前10個取值得到的運動方程都近似為：

(25)

串聯的彈簧振子在kr=0.5mr+1(mr≥1)時，其振動接近于1個彈簧振子.

2n元彈簧振子串聯的運動

2.1特殊情況

如圖8所示，n個相同的彈簧振子串聯，彈簧勁度系數均為k，小球質量均為m，初態下每根彈簧有相同伸長量A.

圖8　n元串聯彈簧振子

設小球相對平衡位置位移為x1,x2,…,xn，

對第1個小球有

mx1″=-kx1+k(x2-x1) ,

對第2個小球有

mx2″=-k(x2-x1)+k(x3-x2)，

同理對第n個小球有

mxn″=-k(xn-xn-1),

為方便計算，令x0=0，xn+1=xn，整理得：

通式為

mxi″=-k(xi-xi-1)+k(xi+1-xi),(1≤i≤n)

(29)

將通式進行拉普拉斯變換得

-ω2Xi-1(s)+(s2+2ω2)xi(s)-ω2Xi+1(s)=iA.

(1≤i≤n)

(30)

2.2一般情況

受特殊情況系數矩陣的啟發，下面再討論更一般化的情況：設n個相同的彈簧振子串聯，彈簧勁度系數為k1,k2,…,kn，小球質量為m1,m2,…,mn，初態下彈簧伸長量A1,A2,…,An.

令x0=0，xn+1=xn，kn+1=0，類似前述分析可得方程組如下：

通式為

mixi″=-ki(xi-xi-1)+ki+1(xi+1-xi),

(1≤i≤n)

(34)

將通式進行拉普拉斯變換[2]得

-kiXi-1(s)+(mis2+ki+ki+1)xi(s)-

(35)

該方程組有n個解，分別是位移x1(t),x2(t),…,xn(t)的拉普拉斯變換式X1(s),X2(s),…,Xn(s). 每個解的分母均為方程系數矩陣的行列式，因此有相同的極點，對應的位移函數也包含著相同的頻率分量.

計算|D|=0即可得到極點[3]. 有幾個彈簧振子串聯，就會有幾對極點，最終的運動方程就會有幾個頻率分量[2].

3應用前景

國內眾多高校都設有信息與通信類以及電子信息類院系，傅里葉變換是這些專業的學生必須掌握的基礎理論，然而思維方式由時域到頻域的轉換是很多學生學習這一理論的難點. 本文的研究成果，可以憑借簡單的物理器件(圖9)演示出不同頻率正弦波疊加的效果，再結合相關的電子測量設備[4-5]，就可以直觀表現出頻率疊加在時域和頻域的不同表現形式，讓學生深刻地體會傅里葉變換的內涵和精妙.

圖9　測量儀器

參考文獻：

[1]沈昊. 利用手機研究簡諧運動[J]. 物理實驗，2014,34(4)：15-18.

[2]鄭君里，應啟珩，楊為理. 信號與系統引論[M]. 北京：高等教育出版社，2009：174-266.

[3]劉吉佑，莫驕. 線性代數與幾何[M]. 北京：北京郵電大學出版社，2004：26-29.

[4]門愛東，蘇菲. 數字信號處理[M]. 北京：科學出版社,2009：106-122.

[5]鄒振春. MSC51系列單片機原理及接口技術[M]. 北京：機械工業出版社，2006：93-103.

[責任編輯：郭偉]

Research on spring oscillator chain

HUANG Jian-boa, SU ZHUANGa, WANG Si-haib

(a. School of Information and Communication Engineering; b. School of Science,Beijing University of Postal and Telecommunication， Beijing 100876, China)

Abstract:By the method of differential equation and Laplace transformation, the motion equations of spring oscillator chain were figured out, and its frequency components as well as the extreme conditions of peak-to-trough ratio was researched. The movement of the system was consisted as the combination of several sinusoidal motions, and these frequency components, which tend to be equal in some conditions, were as many as the springs in the chain. With the assistance of electronic measuring technology, it was likely that a new teaching demonstration instrument of Fourier transform would be developed based on this theory.

Key words:series spring oscillator; Hooke law; Laplace transformation; Fourier transformation

中圖分類號：O321

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)04-0032-05

作者簡介：黃建博(1994-)，男，廣東廉江人，北京郵電大學信息與通信工程學院通信工程專業2013級本科生.指導教師：王四海(1966-)，男，四川大邑人，北京郵電大學理學院物理系高級工程師，碩士，從事大學物理演示實驗教學工作。

基金項目：北京郵電大學大學生研究創新基金(No.X-201510013008)；北京市共建項目專項

收稿日期：2015-11-01；修改日期：2015-12-20

“第12屆全國高等院校物理演示實驗教學研討會”論文