具次臨界擾動項的非線性Hartree方程駐波的存在性

陳 丹，陳 東

(1.成都大學信息科學與技術學院，四川成都 610106;2.成都大學工業制造學院，四川成都 610106)

具次臨界擾動項的非線性Hartree方程駐波的存在性

陳 丹1，陳 東2

(1.成都大學信息科學與技術學院，四川成都 610106;2.成都大學工業制造學院，四川成都 610106)

研究了一類具次臨界擾動項的非線性Hartree方程駐波解的存在性.根據2個非線性項的特征，分2類情形建立相應的約束變分問題，得到了該類Hartree方程在2種情形下駐波的存在性.

Hartree方程;駐波;存在性

0 引言

本研究考慮如下具非局部非線性項和次臨界擾動項的非線性Schr?dinger方程，

式中，△ 表示RN上Laplace算子，φ(t，x):R+×RN→C為復值函數，* 是RN上標準卷積.

本研究均定義C為任意正常數.為方便起見，不特別說明的情況下記·dx=∫·dx.

記式(2)的極小子構成的集合為Λ，則對任意u∈Λ，存在Lagrange乘子ζ∈R使得u是如下橢圓方程的解，

這里，φ(t，x)=eiζtu是方程(1)的一個駐波解.由于u是式(2)的極小子時，故eiζtu是u的軌道.

此外，定義Nehari流形，

約束變分問題，

駐波即是形如，φ(t，x)=eiωtu(x)，的方程(1)的解，其中，u是以下不動方程的基態解，

定理1(駐波的存在性) 在以下2種情況下，

方程(1)都存在如下形式，φ(t，x)=eiωtu(x)，的駐波.

1 預備知識

H1(RN)=W1，2(RN)是以 ‖φ‖2=∫(|▽φ|2+|φ|2)dx為范數的標準Sobolev空間.柯西問題(1)的局部適定性如下:

①質量守恒.

②能量守恒.

這里，常數C＞0.

引理3［5］設u*是u的Schwartz對稱函數，則對1＜p＜∞有下列4式成立，

引理 4 設 φ0∈H1(RN)，|·|φ0(·)∈L2(RN)，φ(t，x)是柯西問題(1)的解.令J(t):=∫|x|2|φ|2dx，則，

利用文獻［6］中的方法，引理3可方便得證.在這里省去證明過程.

2 駐波的存在性

首先考慮定理1的情況①.

證明 首先定義極小化問題，

式中，Ω-:={u∈H1RN):∫|u|2dx≤M}.

第一步.設{un}n∈N∈H1且，

顯然，un≠0.令是un是Schwartz對稱函數，由引理3有∈Ω-，且{}是的最小化序列.

由式(14)知，對任意n∈N，{}在H1(RN)是有界的.則存在它的子序列，仍記為{}n∈N，使得，

第二步.下證=d*.事實上，需要證明在Ω中可達到.注意到，這里的Ω是Ω-的子集.

①若1＜p＜3.

設uλ(x)=λu(x).如果不成立，則∫|u*|2dx＜M.從而存在λ0∈(1，+∞)，使得，

這與的定義矛盾.因此，∫|u*|2dx=M.

則，E()＜E(u*)=，這與的定義矛盾.因此，

注1 顯然，極小化問題的極小子是方程(3)的解.從而由命題2知定理1在條件①下成立.

這部分將討論定理1在情況②下成立.

引理5d＞0.

證明 由S(u)=0，得到，

根據引理2有，

由Sobolev不等式及2≤v＜min{N，4}，得，

因此，由式(14)有，

因此，d≥C＞0.

引理6 如果極小化問題(7)在N中達到，則u是式(8)的解.

證明 對任意v∈H1(RN)有，

假設u∈N是I限制在N上的極小子，則由標準極小化理論知，存在Euler-Lagrange乘子Λ∈R使得，

在＜▽I(u)+Λ▽S(u)，u＞=0中，取S(u)=＜▽I(u)，u＞=0，則，

從而，由u≠0，知Λ=0.

為了證明定理1，需要如下引理.定義，

引理7N-，N是非空的.

證明 首先證明N-≠0.任取u∈H1(RN)且u≠0.定義，uλ=(λx)，考慮，

接下來證明，N≠＞，取u∈H1(RN)使得，S(uλ)＜0.當λ=1，S(uλ)＜0;當λ=0，S(uλ)＞0.因此，存在λ*∈(0，1)使得，S(uλ)=0，i.e.∈N.

最后證明定理1在條件②下成立.

證明 為了證明定理1，只需要證明式(8)基態解的存在性.

第一步.考慮約束問題(21)，取d-的極小化序列{un}?N-，則，

按照引理5的證明方法可得，un≠0.令為un的Schwartz對稱函數，由引理3知，

且{}是d-的一個極小化序列.

易知，‖‖H1(RN)在n∈N上是有界的.則存在一個子序列{}(n∈N)使得在H1(RN)中有，?u*，n→∞.由緊嵌入引理［7-10］，對于2＜q＜Lq(RN)是緊的，其中)={f(x)∈H1(RN)，f(x)=f(|x|)}.因此，在Lp+1(RN)中有→u*.由H1范數的弱下半連續性知，u*∈N-，且，d-=I(u*).

進而由(23)有，u*≠0.

第二步.下證.

因此，u*∈N-，即u*是I(u)的內部極值點.進而，▽I(u*)=0，即u*是方程(8)的弱解.用u*乘式(8)并在RN上積分，則，

矛盾.

第三步.由第一步和第二步有，

根據引理6知u*是式(8)使得u≠0的解.從而式(8)的基態解的存在性得證.

:

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Existence of Standing Waves of Nonlinear Hartree Equations with Perturbations

CHEN Dan1，CHEN Dong2

(1.School of Information Science and Technology，Chengdu University，Chengdu 610106，China;2.School of Industrial Manufacturing，Chengdu University，Chengdu 610106，China)

In this paper，we discuss the existence of the standing waves of the nonlinear Hartree equations with perturbations.According to the properties of two nonlinear terms，we establish two constrained variational problems，and then get the existence of the standing waves of these equations in two cases respectively.

Hartree equation;standing waves;existence

O175.29

A

1004-5422(2013)03-0242-05

2013-06-27.

陳 丹(1984—)，女，碩士，從事偏微分方程研究.