隨機(jī)事件的概率

１． 重點(diǎn)

①了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；理解并掌握兩個(gè)互斥事件的概率加法公式；

②通過(guò)實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；能初步運(yùn)用排列、組合的公式計(jì)算一些等可能性事件的概率．

③理解幾何概型及其概率計(jì)算公式，能準(zhǔn)確構(gòu)造出某一隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率．

２． 難點(diǎn)

①如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是古典概型，分清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)；

②如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)不同“測(cè)度”（長(zhǎng)度、面積、體積）幾何概型的區(qū)分．

1． 解決古典概型問(wèn)題的一般思路．

①判斷模型：基本事件只有有限個(gè)，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

②正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，一般用列舉法，有時(shí)可用到計(jì)數(shù)原理的相關(guān)知識(shí)．

③對(duì)于某些稍復(fù)雜的事件要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，通常有兩種處理的方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率求解．求解時(shí)一定要注意正確分類，并保證分類時(shí)不重不漏．

2． 當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解；利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是尋找試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時(shí)還需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．

從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）

A． 至少有1個(gè)白球，都是白球

B． 至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球

C． 恰有1個(gè)白球，恰有2個(gè)白球

D． 至少有1個(gè)白球，都是紅球

思索 根據(jù)事件的互斥與對(duì)立的關(guān)系判定．

破解 A、B不互斥，當(dāng)然也不對(duì)立，C互斥而不對(duì)立，D不但互斥而且對(duì)立，所以選C．

（1）抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；

（2）抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率；

（3）抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率．

思索 第1問(wèn)要求“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”，可分為“3張卡片中只有一張為4”和“3張卡片中有兩張為4”兩類彼此互斥的事件，則可運(yùn)用概率的加法公式求解．第3問(wèn)要求“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”，若采用直接分類可能會(huì)造成重漏事件，則考慮用間接法求解．

如圖1，兩人到達(dá)約見地點(diǎn)的所有時(shí)刻（x，y）的可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來(lái)表示；兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻（x，y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）的點(diǎn)來(lái)表示，因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率， 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b=0．

（1）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

（2）若a是從區(qū)間［0，3］任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間［0，2］任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

思索 古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：所有可能出現(xiàn)的基本事件是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)． 本題第1問(wèn)基本事件數(shù)為有限個(gè)，屬于古典概型問(wèn)題；第2問(wèn)中a，b兩個(gè)數(shù)都在連續(xù)的區(qū)間內(nèi)取，基本事件數(shù)為無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型問(wèn)題．

破解 設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b=0有實(shí)根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2+2ax+b=0有實(shí)根的充要條件為a2≥b．

（1）強(qiáng)化概念的理解，可結(jié)合具體問(wèn)題辨析各個(gè)概念，特別是互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件是三個(gè)核心概率事件，它貫穿于概率問(wèn)題的始終，一定要認(rèn)真掌握．

（2）要立足于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，應(yīng)恰當(dāng)選取典型例題，構(gòu)建思維模式，特別是古典概型、幾何概型的基本問(wèn)題的練習(xí)要多做，還可適當(dāng)整理歸納．

（3）概率試題通常是通過(guò)對(duì)課本原題進(jìn)行改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧并賦予時(shí)代氣息的元素，復(fù)習(xí)時(shí)要多方面感受新的設(shè)計(jì)理念．