高中生數學認知理解的過程研究

劉文蛟

[摘 要] 本文采用口語報告法與訪談法相結合的方式對部分高中生進行了調查，在對調查結果的分析與推理的基礎上，明確了影響學生數學認知理解的主要方面是知道新知識“是什么”和“如何生成”的. 根據上述結果分析整理出數學認知理解的內部心理過程是新知識納入原有認知結構中，與相關知識建立本質聯系，形成編碼系統；接下來認知主體自覺調用各種相關的舊知識將新知識推演出來，理順新舊知識之間的聯系，從而形成新舊知識之間廣泛和本質的聯系.

[關鍵詞] 高中生；數學認知理解；過程研究

問題提出

數學認知理解的研究一直受到專家學者的青睞，這些研究多集中在數學認知理解的內涵層次、數學認知理解的特點等方面. 對于數學認知理解的過程研究鮮有涉及，特別是對于數學認知理解的內部心理過程的研究一直是空白.弄清楚認知理解的內部心理過程無疑是有意義的. 為此，筆者在江西省贛州市第一中學抽取了部分高中生進行了調查，獲得了一些有意義的結果.

研究設計

1. 被試

隨機抽取江西省贛州市第一中學40名高三學生作為被試. 之所以選取高三學生作為被試，原因是我們認為高三的學生不僅具有較好的數學基礎知識，而且具有較好的表達能力.

2. 研究方法

口語報告法、訪談法.

3. 研究素材

采用在初步調查基礎上自編形成的數學認知材料，旨在了解對于一項數學知識而言哪些相關材料可以幫助學生對其實現理解. 通過調查，我們得到的結果是：數學知識的定義、例子、圖形解釋和操作方法與步驟是最有價值的，可以幫助學生實現理解. 另外，根據初步調查，這些材料又大體可以分為兩類，第一類是關于這項數學知識是什么的材料，第二類是關于這項數學知識是如何生成和操作的材料. 我們本次調查設計的認知材料主要是由上述一些材料構成的. 本調查采用的認知材料共分為三類數學知識，即數學概念、圖形和定理，每類知識中包含三套認知材料，即在本次調查中共使用九套認知材料.

4. 過程設計

①由筆者擔任主試，采取單獨調查的方式，對每名被試均使用三套不同數學知識類型的認知材料進行調查. 為調查方便，將認知材料中的解釋內容按條目制成卡片的形式.

②認知材料的使用方法采用循環交叉方法，以三名被試為一次循環.

③具體調查過程是：首先從材料中拿出標有數學概念（或定理、圖形）的一張卡片，問被試是否見過或理解，如果被試的回答是否定的則繼續進行下面的步驟，否則更換材料或是停止對其調查. 接下來呈現給被試關于這個知識的完整的認知材料，包括上述知識的定義、例子、圖形解釋、操作方法和步驟等，讓被試閱讀.之后問被試是否理解了這個新的數學概念（或定理、圖形）？是怎么理解的？哪些材料起到了關鍵的作用？之后讓被試根據自己的理解過程將材料進行排序，并解釋為什么要這樣排序.在這個過程中，凡是被試思考的過程都要求出聲思維. 接下來呈現給被試第二套、第三套材料，具體調查過程如上，只是不再要求被試將相應認知材料進行排序.

④整個過程中，請助手（共三名）詳細記錄被試使用的認知材料、在思維過程中的語言、表情、動作以及被試最后對認知材料的解釋和排序情況.

研究過程與結果

2015年4月筆者在江西省贛州市第一中學分兩次隨機抽取了40名高三學生參加此次調查，參與的學生中女生28名，男生12名. 每名學生調查時間約30分鐘. 調查之后，筆者對三名助手的記錄材料進行了綜合分析，并按照口語報告法的要求進一步整理與分析，最終得到如下結果：

1. 數學認知理解的開端是猜想

在此次研究中，每當主試只將某個新的數學概念的名稱或定理或圖形呈現給被試時，他們首先都會根據它的外部表現的某些特點展開猜想，猜想這個數學概念可能是什么，這個數學圖形可能是什么圖形等. 為了確定自己的猜想有些被試還嘗試與主試交流，詢問該知識是否是這個、是否是那個等等. 如，當主試出示給被試羅馬數字LLLMMMMMDCCXXXIV的時候，不少被試首先猜想它可能是一個英文單詞，還有的被試猜測它是一個廣告牌符號.

2. 完整的數學認知材料是被試理解新知識

在研究中筆者發現當被試在閱讀過完整的解釋材料后，都能完全理解相應的數學知識，都表現出豁然開朗的神情，都能夠輕松地回答主試的詢問，并能夠自如地、毫無障礙地敘述他所理解的數學知識. 有的被試還能夠按照材料中的說法給出其他的例子或者是進行簡單的應用. 例如在理解了半正多面體這個知識后很多學生都可以獨立地自己構造出一個新的半正多面體；在理解了楔形文字后可以隨意地寫出一個楔形文字或者是輕松地認讀某個楔形文字.

3. 對于數學認知理解最重要的材料是概念定義和定理敘述與解釋

當被試理解了主試呈現給他的新知識之后問及哪些材料對其理解幫助最大時，多數被試均表示是概念的定義和定理的解釋與敘述作用最大. 其次是概念形成材料和數學證明材料.

4. 概念定義和定理解釋的作用

當問及被試概念的定義和定理的解釋在他們理解相應的數學知識過程中所起的作用時，被試一致反映：概念的定義幫助他們知道了概念的特點，知道了此概念和以前哪些數學概念有關系，有什么關系，由此幫助他們知道了此概念屬于哪一類數學概念，應該與哪些數學概念相結合進行掌握；定理的解釋幫助他們知道了該定理的含義，知道了此定理與相關其他定理的差別，也由此知道了此定理屬于一個什么結論.

5. 形成材料和定理證明的作用

當問及形成材料和定理證明的作用時，被試的回答是：形成材料使他們知道了數學概念的構成、表達和符號的寫法等，也就是知道了如何操作；定理證明使他們知道了數學定理是怎么得來的，利用了哪些以前學習過的數學知識，是怎么由已知條件推理出來的，由此理順了新舊知識之間的關系，解除了心頭疑惑.

6. 被試在只獲得“是什么”的材料情況下不能完全理解新知識

在研究過程中，當主試呈現給被試只說明該數學知識“是什么”的材料后，被試均表示對其不能完全理解，總會存有疑問. 他們表示雖然知道了一些關于這項數學知識的一些信息，了解了他們是什么了，但是不知道它們是如何得來的，更不知道在什么情況下如何來應用這個數學知識，因此仍感到一些疑惑，甚至有個別被試當時還表現出了一定程度的焦躁.

7. 被試在只獲得“如何生成”的材料情況下也不能完全理解新知識

研究發現，當主試呈現給被試只是說明某個數學知識是“如何生成”的材料后，其也都表示不能完全理解該知識，并且有很大的疑問. 他們表示雖然知道了怎么來構造這個知識，卻不知道構造的是什么，為什么要構造這個知識，它有什么用處，疑問一個接著一個. 甚至有的學生表示對這個說明“如何生成”的材料根本無法理解，無法想象，不知道它要說的是什么.

結論與思考

通過對以上結果的分析可以發現，學生對新的數學知識的理解一般是由對新知識的猜測開始的；在理解過程中，概念的定義和定理的解釋等能讓學生知道該數學知識“是什么”的材料與能使學生知道該數學知識是“如何生成”的材料起了關鍵作用，二者缺一不可；關于新知識“是什么”的材料幫助學生發現了新知識的特點，找到了新舊知識之間的聯系；關于“如何生成”的材料幫助學生了解了新知識的生成方法和過程，知道了如何操作才能寫出相關的符號、公式和畫出圖形等. 學生對新數學知識的理解可以分兩步：先是理解其是什么，然后再是理解其是怎么生成的，也就是如何操作和如何由相關的知識推演出來的.

由此，我們認為：

1. 學生對新數學知識的理解是一個積極的主動的過程. 學生從接觸到新知識的那一刻起就積極地調動原認知結構中的有關知識不斷嘗試來認知該項知識. 在整個過程中也始終保持這種態度，否則其在了解了新知識的部分材料時就不會再有疑惑. 但是當學生仍有疑惑，說明其在獲得了部分信息之后還想獲得更多的更全面的信息.

2. 學生對新數學知識的理解是將新知識與舊知識進行聯系的過程. 這個聯系不僅包括新知識與相關的舊知識之間的聯系，也包括新知識與整個數學認知結構中知識的聯系，還包括與學生整個認知結構內知識的聯系. 這可以從學生在理解新數學知識的過程中對上述兩類材料都需要的情況下可以看出來. 從學生對第一類材料的需要可以看出其在理解的過程中建立了新知識與原認知結構中相關知識的聯系，從對第二類材料的需要可以看出學生在理解過程中建立了新知識與原有認知結構中多方面知識的聯系.

3. 學生對新數學知識的理解也是一個用舊知識推演新知識的過程. 這里的推演不僅包括演繹推理、類比推理，還包括各種變化和操作等. 這可以從學生在完全理解新知識的過程中需要第二類材料的幫助可以看出來. 第二類材料主要是展示一個概念是如何表示的、數學符號是如何寫成的、一個圖形是如何畫出來的和一個數學定理是如何證明出來的一些材料. 這些材料理順了學生心中雜亂的頭緒，剔除了存留的疑惑，這充分說明學生在積極理解新數學知識時頭腦中有一個由舊知導新知的過程.

由此，學生對新數學知識的理解過程最終是一個建立新舊知識之間實質聯系的過程，也就是一個非人為的新舊知識之間有恰當邏輯順序關系的過程. 這個關系一旦建立，則新知識與原有知識之間就有了多方面的聯結，這種聯結不僅有新數學知識與舊數學知識之間的聯系，而且還有新數學知識與原認知結構中其他方面知識的聯結；這種聯結不僅牢固而且順暢，學生完全可以利用原來的舊知識將新知識寫出來、說出來、畫出來、類比出來或是演繹出來等等.

結合以上結論我們認為學生理解一項新的數學知識的內部心理過程應當是如下一個過程：當學生接觸到一項不理解的數學知識時，首先是分析這項數學知識的特點，然后根據這個特點，迅速在原有認知結構的眾多圖式中進行搜索，當搜索到相似的知識時進行比較時，看二者是不是相同，看新知識是不是能納入這項知識的圖式中，與其建立上位或下位關系，也就是建立編碼系統. 這里的搜索空間不僅有數學認知結構而且也包括其他的認知結構. 但如果學生提前知道這項新的知識是數學知識，則學生就會主要在數學認知結構中搜索. 這種搜索一直在迅速而不停地進行著，直到找到一項恰當的或比較恰當的知識來與新知識建立聯系. 如果不能做到，學生就不能產生理解. 然后，大腦再進行下一步工作，即是充分調用大腦中認知結構中的眾多知識，嘗試用舊知識將新知識推演出來. 推演的方法有很多，學生在這里嘗試的主要是推理、變化、構造等. 這里需要調用許多舊知識，不僅有數學的舊知識而且還有其他方面的知識，比如文字方面的、符號方面的、操作方法方面的等等. 如果學生能利用原有的知識將新知識推演出來，學生就達到了徹底理解；如果不能，就仍存有疑惑，不能完全理解.

綜上所述，我們認為高中生數學認知理解的過程實際上是一個基于新知識的特點在頭腦中進行雙向操作的過程，第一個方向的操作是將新知識納入認知結構中，與相關知識建立本質聯系，形成編碼系統；第二個方向的操作是主體自覺調用各種相關的舊知識將新知識推演出來，理順新舊知識之間的聯系，從而形成新舊知識之間廣泛的和本質的聯系.