工程力學(xué)參數(shù)符號的確定

劉小妹 李培超 潘穎

摘要：工程力學(xué)靜力學(xué)中的力，運動學(xué)中的速度和加速度等都是矢量，在求解時運用較多的是矢量在軸上投影的代數(shù)量；材料力學(xué)中拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲的軸力、扭矩和彎矩等內(nèi)力也都是代數(shù)量。投影的代數(shù)量與內(nèi)力的代數(shù)量正負號的規(guī)定有所不同，在學(xué)習(xí)的過程中容易混淆。本文介紹了兩種類型代數(shù)量正負號的確定方法，為工程力學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：工程力學(xué)；矢量；代數(shù)量；正負號

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）30-0210-02

工程力學(xué)是我校近機類如機械、汽車、軌道和航空等工科專業(yè)開設(shè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。分為工程力學(xué)一也就是理論力學(xué)[1]內(nèi)容以及工程力學(xué)二材料力學(xué)[2]內(nèi)容，分在兩個學(xué)期教學(xué)。在理論力學(xué)中一些重要的參數(shù)諸如力、速度以及加速度等都是矢量，求解時均列代數(shù)方程，是關(guān)于這些矢量在軸上投影的代數(shù)量。在材料力學(xué)中，其中重要的參數(shù)有三種內(nèi)力：軸力、扭矩和彎矩以及兩種應(yīng)力：正應(yīng)力和剪應(yīng)力等也都是代數(shù)量。但是，矢量投影的代數(shù)量正負號以及內(nèi)力、應(yīng)力的代數(shù)量正負號的規(guī)定是完全不同的，掌握它們的方法，是正確求解題目的前提。據(jù)此，本文對工程力學(xué)中參數(shù)的正負號問題進行探討，對理論力學(xué)和材料力學(xué)的相關(guān)問題進行比較，為學(xué)生的學(xué)習(xí)建立夯實的基礎(chǔ)。

一、理論力學(xué)中的參數(shù)

在理論力學(xué)教學(xué)中，靜力學(xué)中的力、空間力矩以及空間力偶，運動學(xué)中的速度以及加速度均為矢量，為了方便求解，都是求矢量在軸上的投影，即代數(shù)量。如圖1所示，力在x軸上的投影X=Fcosα，顯然當夾角小于九十度，投影為正；反之為負。力矩以及力偶在平面問題中，為代數(shù)量，規(guī)定了逆時針為正；相反順時針為負。其他矢量的投影的正負可以依次類推。由此可知：矢量在軸上投影的正負取決與矢量的方向以及建立的坐標軸的方向的夾角。這樣我們在靜力學(xué)中列力在坐標軸上的投影方程、運動學(xué)中速度和加速度合成的投影的表達式就會迎刃而解。

二、材料力學(xué)中的力

內(nèi)力圖的繪制是材料力學(xué)中非常重要的基本知識，與理論力學(xué)不同，材料力學(xué)中內(nèi)力不再是矢量，不要求標注矢量符號，它們?yōu)榇鷶?shù)量，有正有負。確定內(nèi)力的正負號是繪制內(nèi)力圖的根本問題，與矢量在坐標軸上的投影的正負號有所不同。矢量的投影，一般向上的方向為正，則向下的方向為負；逆時針方向為正，則順時針方向為負。而材料力學(xué)中內(nèi)力正負號的規(guī)定比較特殊，與大家所熟知的思維有區(qū)別。通過以往的教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生在學(xué)習(xí)中很容易混淆，在教學(xué)時應(yīng)予以重視。當學(xué)生一開始接觸這門課程，就要著重強調(diào)該知識點，把問題講清楚透徹，改變他們傳統(tǒng)的思維方式，為學(xué)生學(xué)習(xí)掃除障礙。材料力學(xué)是研究構(gòu)件在外力作用下變形、破壞或失效的規(guī)律，因此依據(jù)變形的效果來規(guī)定內(nèi)力的正負號。只要內(nèi)力產(chǎn)生的變形效果一致，則它們的正負號相同，這是材料力學(xué)所特有的。比如說拉伸，規(guī)定凡是產(chǎn)生拉伸變形的內(nèi)力為正、相反產(chǎn)生壓縮變形的內(nèi)力為負。當然內(nèi)力是外力引起的，是一側(cè)所有外力的代數(shù)和確定，外力的正負與內(nèi)力的正負完全一致。如圖2所示，雖然桿件在兩端承受力P方向相反，扭矩m■、m■在軸的兩端旋轉(zhuǎn)方向相反，但是它們對桿件的變形效果是一致的，因此它們的正負號是相同的，教材上均假設(shè)為正，與此相反的情況，兩端的力或力矩均為負。彎曲中假設(shè)剪力F■左側(cè)向上右側(cè)向下和彎矩M左側(cè)順時針，右側(cè)逆時針，產(chǎn)生的變形來規(guī)定為正。但是在理論力學(xué)中，這些兩端的力或力矩的投影的正負是相反的，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易按照原來固有的思維方式來考慮就會出錯。

同樣在材料力學(xué)中由內(nèi)力產(chǎn)生的應(yīng)力也是代數(shù)量，與內(nèi)力類似。如圖3所示，單元體左右、上下面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力雖然指向或方向是相反的，但是按照變形的效果規(guī)定拉伸的正應(yīng)力都是為正的，而順時針的剪應(yīng)力為正，逆時針的剪應(yīng)力為負。

三、結(jié)語

理論力學(xué)中矢量在坐標軸上的投影其正負號與數(shù)學(xué)上的規(guī)定是一致的，只要矢量的方向或力矩的旋轉(zhuǎn)方向相反，理所當然，投影的正負號也相反，學(xué)習(xí)時比較簡單。而到材料力學(xué)中，內(nèi)力和應(yīng)力的正負號規(guī)定比較特殊，與常規(guī)的思維不同，雖然在桿的兩端力和力矩的方向或旋轉(zhuǎn)方向相反，但是只要它們所產(chǎn)生的變形效果是一致的，那么它們同時為正或是同時為負。應(yīng)力類似，雖然在單元體相對的兩個面上方向相反，也同為正或同為負。只有有了清晰的概念和正確的思維方法，才能正確地求解問題。

參考文獻：

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002

[2]劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1992.