Tikhonov非線性算法在ECT圖像重建中的應(yīng)用

陳玲　程琳

摘 要：傳統(tǒng)ECT算法受到分辨率低、邊界模糊等問題的限制，文章提出基于有限元正演模型的Tikhonov非線性迭代算法。首先分析了ECT圖像重建基本原理，并建立空間模型。然后以線性反投影（LBP）算法的圖像重建結(jié)果作為初始狀態(tài)，利用最優(yōu)正則化參數(shù)求解靈敏度逆矩陣，根據(jù)正演模型測量極板間電容值，運(yùn)用Tikhonov正則化算法校正圖像。最后根據(jù)經(jīng)典流行進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文方法重建的圖像相關(guān)系數(shù)平均值為0.8644，可見本文算法是一種有效的ECT算法。

關(guān)鍵詞：電容層析成像；Tikhonov算法；正則化參數(shù)；FEM

中圖分類號：TP317.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-8937（2016）05-0053-02

電容層析成像技術(shù)（ECT）是用于工業(yè)生產(chǎn)過程中多相流參數(shù)檢測的成像技術(shù)。由于其可視化、響應(yīng)快、易于安裝維護(hù)，迅速發(fā)展成為層析成像技術(shù)的典型代表[1]。傳統(tǒng)圖像重建算法主要有：LBP算法、Landweber算法、奇異值分解法（SVD）等。由于ECT技術(shù)的病態(tài)逆問題，使得許多線性化圖像重建算法無法獲得失真較少的圖像，并且過分依賴于先驗(yàn)信息， 無法應(yīng)用于一些多濃度兩相流的復(fù)雜存儲空間的求解。

為此，本文提出改進(jìn)的Tikhonov正則化算法[2]，該算法基于有限元法[3]正演模型，運(yùn)用最優(yōu)正則化參數(shù)求解靈敏度逆矩陣，獲得更加精確的管道內(nèi)介電常數(shù)分布信息，可以提高圖像分辨率和清晰度。

1 ECT圖像重建基本原理

ECT基本原理是在系統(tǒng)中通過低頻率的交流電信號， 當(dāng)內(nèi)部介質(zhì)發(fā)生變化時(shí)就會造成電極對間的電容值發(fā)生變化，通過實(shí)時(shí)檢測極板間電容值，利用靈敏度場可以獲得管道內(nèi)介質(zhì)分布的數(shù)據(jù)信息，完成ECT成像。由于使用的交流電頻率足夠小，使準(zhǔn)靜態(tài)近似有效，電磁場可以被忽視。整個(gè)系統(tǒng)中電荷將只在電極和管壁上積累，在測量極板間電容值的過程中，通過設(shè)定時(shí)間使各極板依次作為激勵(lì)電極進(jìn)行測量。

S為經(jīng)歸一化后的靈敏度矩陣，靈敏度矩陣的每一行是從像素到一個(gè)特定電容值貢獻(xiàn)的權(quán)重，權(quán)重分布也稱為靈敏度地圖，靈敏度地圖是ECT系統(tǒng)的基本特征，直接決定成像的效果。

2 改進(jìn)的ECT圖像重建算法

2.1 有限元正演模型

有限元法（FEM）依據(jù)變分原理，將待研究像素的求解區(qū)域劃分為有限個(gè)且按一定規(guī)則聯(lián)系在一起的個(gè)體，把各單元模擬成不同形式的求解小區(qū)域，然后對每個(gè)單元進(jìn)行數(shù)值分析，最后再將這些單元重建原系統(tǒng)來研究其綜合性態(tài)。

在ECT技術(shù)中主要利用有限元法將偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問題。首先離散化處理求解區(qū)域，將連續(xù)問題的求解近似轉(zhuǎn)化為有限元子空間中多元函數(shù)的極值問題。然后建立單元方程對每個(gè)單元進(jìn)行分析，同時(shí)組合單元方程構(gòu)成整體方程，對其進(jìn)行求解獲得連續(xù)求解區(qū)域的離散解。

2.2 正則化參數(shù)

在Tikhonov算法求解靈敏度矩陣的逆矩陣過程中，由于電容測量值的數(shù)量M通常比未知像素點(diǎn)的數(shù)量小得多，所以無法進(jìn)行靈敏度矩陣的直接反演， 因此本文采用（3）式引入正則化參數(shù)求解廣義逆矩陣，其中，I表示一個(gè)單位矩陣。

根據(jù)（4）式選擇的正則化參數(shù)可以在收斂性和穩(wěn)定性之間達(dá)到良好的平衡。

3 Tikhonov非線性迭代算法成像

利用本文介紹的改進(jìn)Tikhonov非線性迭代算法進(jìn)行圖像重建的具體步驟如下：

①利用空場、滿場的電容值對靈敏度場矩陣S和測量電容向量C進(jìn)行歸一化處理。

②運(yùn)用LBP算法求解圖像灰度值作為初值？著i，LBP算法的計(jì)算公式為：

？著=ST·C （5）

③輸入圖像的初值？著i到FEM正演模型，并獲得對應(yīng)的模擬電容值Ci。

⑥歸一化與濾波。

⑦計(jì)算重建圖像的誤差和相關(guān)系數(shù)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，選取典型流型，分別利用LBP算法、Landweber算法、本文算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。有重建圖像可以看出，本文算法重建圖像分辨率更高、邊界更加清晰。為了評價(jià)本文算法的優(yōu)劣引入圖像誤差和相關(guān)系數(shù)[4]作為評價(jià)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)指重建圖像灰度向量與原始圖像灰度向量之間的線性相關(guān)程度。圖像誤差是指重建圖像灰度向量與原始圖像灰度向量之間的差異程度，它的計(jì)算公式如下：

計(jì)算不同流型的圖像誤差可以看出，本文算法重建圖像的誤差平均值可以達(dá)到0.4571，而LBP算法、Landweber算法圖像誤差的平均值分別為1.3295、0.6715。計(jì)算不同流型的相關(guān)系數(shù)可以看出，本文算法重建圖像的相關(guān)系數(shù)平均值可以達(dá)到0.8644，而LBP算法、Landweber算法相關(guān)系數(shù)的平均值分別為0.4639、0.7381。

5 結(jié) 語

本文算法基于保持模型誤差和測量誤差之間的平衡原則選擇最優(yōu)正則化參數(shù)，求解靈敏度矩陣的廣義逆陣。利用FEM正演模型估計(jì)初始值，逐步迭代得到最優(yōu)解。同時(shí)整合可用的先驗(yàn)知識作為約束條件盡量提高算法各方面的性能。通過仿真實(shí)驗(yàn)可以看出本文算法在圖像清晰度、邊緣效果、迭代次數(shù)上都有明顯改善，是一種有效的ECT圖像重建算法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙玉磊，郭寶龍，閆允一.電容層析成像技術(shù)的研究進(jìn)展與分析[J].儀器 儀表學(xué)報(bào)，2012，（8）.

[2] Lei J， Shi L， Li Z H， et al. An image reconstruction algorithm based

on the extended Tikhonov regularization method for electrical capaci

tance tomography [J]. Measurement，2009，（3）.

[3] 陳錫棟，楊婕，趙曉棟，等.有限元法的發(fā)展現(xiàn)狀及應(yīng)用[J].中國制造業(yè)信 息化，2012，（11）.

[4] 彭黎輝，陸耿，楊五強(qiáng).電容成像圖像重建算法原理及評價(jià)[J].清華大學(xué) 學(xué)報(bào)，2004，（4）.