線性代數在實際生活中的應用

楊杰 韋俊 葛玉鳳 高僑 韓旭

摘要：線性代數是討論矩陣、線性組合、有限維向量空間及線性變換的一門科學，本文闡述了線性代數和實際生活聯系的密切性和廣泛應用性，通過豐富有趣的實例將線性代數模型應用到實際生活中，并給出求解過程，進一步說明線性代數應用的廣泛性。

關鍵詞：線性代數模型生活應用

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）06（a）-0000-00

線性代數與實際生活聯系緊密并具有廣泛的應用性，生活中一些難以解答的問題，如果能將之抽象成數學問題，且運用線性代數構造模型，這些問題將會得到較為簡單的解決方案。本文通過生活中的一些實例闡述了線性代數模型的應用，下面就幾個生活中的問題進行具體討論。

一、線性代數與通入產出模型

投入產出分析是20世紀30年代由俄羅斯籍美國經濟學家列昂惕夫（ 1906～1999）首先提出的，是經濟分析的一種方法。為了進行生產，每個產業部門必須要有投入，這些投入包括原料、半成品和從其他部門購置的設備等，還需要支付工商稅收、支付工資等。但在生產的過程中，既有物資方面（如原材料、設備、運輸、能源）又有人力等方面的消耗。投入的目的是為了生產，生產的結果必然是要創造新的價值。總之，在物資方面的消耗和新創造的價值等于他的總產品的價值，就是“投入”和“產出”之間總的平衡關系。

下面是一個將產業部門簡化為僅有農業、制造業和服務業構成的例子。假設沒有進口，也不考慮折舊等因素，給出投入產出表（表1-1）

解：表1-1中數字表示產值，單位為億元。每一行表示單位部門生產的用作各部門的投入的價值和提供給外部用戶的分配，沒一列表示一個部門需要投入的資源。用1，2，3分別表示農業、制造業和服務業；設 為部門 的總產值； 為部門 在生產中消耗部門 的產值（也稱部門間的流量）； 為部門的 外部需求（也稱部門的最終產品）。那么表1-1中行的基本關系為

將投入產出表1-1中的數字轉換成表示每個部門的單位產值產出需要的投入更為方便，這樣轉換所得的表稱為技術投入產出表，表中元素稱為投入系數或直接消耗系數。將表1-1中各部門的投入除以該部門的總產出可得技術投入產出表（表1-2）

令 表示生產一個單位產值的產品 需要消耗產品 的產值（稱為直接消耗系數）即

將它代入式（1-1）得

令T （稱為直接消耗系數矩陣），向量x ，d 分別表示總產出向量和外部需求向量，則式（2-2）可寫成矩陣形式

x = Tx + d或（E - T）x = d

（3-3）式稱為產出平衡方程，它是投入產出中的基本平衡關系式，是進行一系列數值計算和經濟分析的基礎。

若令A = E - T，則式（2-2）最終化為

Ax = d，

其中 ，

在本例中，若直接消耗系數矩陣T不變，社會外部需求確定，可求出各部門的總產出x；若社會最終需求改變，那么相應的總產出應如何改變呢？這就需要對d求解線性方程組（3-3）.如果對任何的外部需求d（其元素不會出現負值），方程組都有非負解x（每個元素非負），就稱此經濟系統是可行的。

對上述矩陣A，求其逆矩陣 ，可得

其元素全部非負.因此對任何外部需求向量d（元素全部非負）解得的總產出 的元素也是全部非負，即此經濟系統是可行的。

二、線性方程組在量綱分析模型中的運用

在力學中，任一物理量都可以表示為最基本的物理量—質量（M）、長度（L）和時間（T）的組合形式，這種組合形式稱為這一物理量的量綱.如面積的量綱是 ，密度的量綱是 （或者 ）。值得注意的是量綱是獨立于單位的例如，速度的量綱是 （或者 ），但它可以用英里每小時或米每秒為單位.通常用qim表示取量綱的運算，如面積A的量綱qimA ；速度v的量綱 qimv 等。

量綱齊次原則是指任一個有意義的方程必定是量綱一致的，即方程左右兩邊的量綱應保持一致。即有

qim左邊 = qim右邊.

同時，左邊或右邊的每一項也都必須有相同的量綱.只有量綱相同的項才可以相比較，相加減。

因此，我們來考慮下實際問題。

設長為l，吃水深度為h的船以速度v航行，若不考慮風的影響，那么航船受到的阻力f除依賴船的諸變量l，h，v以外，還與水的參數—密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g有關。下面用量綱分析法確定阻力與這些物理量之間的關系。

解：航船問題中涉及到的物理量有：阻力f，船長l ，吃水深度h ，船速v ，水的密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g.要尋求的物理關系記作：

這是一個力學問題，基本量綱選為L，M，T，上述各物理量的量綱表為

式中μ的量綱由基本關系 得到.這里p是壓強（單位面積受的力），所以 ；v是流速，x是尺度， ，代入可得μ的上述量綱.

由式（2-2）可寫出量綱矩陣

經計算知矩陣A的秩R（A）=3.

解齊次線性方程組Ay=0 可得基礎解系為

式（2-4）給出4個相互獨立的量綱為1的量

而式（2-1）與

等價，Φ是未定的函數，式（2-5）和式（2-6）表達了航船問題中各物理量之間的全部關系.為得出阻力的顯示表達式，由式（2-6）及式（2-5）中 的式子可寫出

式中Ψ是一個未定函數，在流體力學中量綱為1的量 稱為Froude數， 稱為Reynold數，分別記作

式（2-7）又表示為

式（2-9）就是用量綱分析法確定的航船阻力與各物理量之間的關系.這個結果用通常的機理分析法是難以得到的.雖然函數Ψ的形式無從知道，但它的表達式在物理模擬問題中很有用途.

基本量綱的作用有些類似于線性代數中有限維空間中基的作用.基本量綱選擇過少，無法表示各物理量；選擇過多則會使問題復雜化.還應注意的是齊次線性方程組，雖然基本的基礎解系可以有無窮多組，雖然基本解組能相互線性表示，但為了特定的建模目的恰當的構造基本解，能夠更直接的得到期望的結果。

三、向量組的線性相關性在魔方中的應用

德國著名藝術家AlbrechtDurer（1471-1521）于1514年曾鑄造一枚銅幣.令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了符號、數字及幾何圖形.這里僅研究數字問題.

下面是一個由自然數組成的方塊，稱之為Dürer魔方.為什么稱之為魔方？這種數字排列有什么性質？從方塊的數字排列可以看出：

每行數字之和為34；每列數字之和也是34；對角線上的數字之和是34；若用水平線和垂直線把它平均分成四個小方塊，每個小方塊的數字之和也是34；若把四個角上的數字相加，其和還是34.

Dürer魔方定義：如果存在一個4×4數字方，它的每一行、每一列、每一對角線及每一小方塊上的數字和均相等且為一確定數，稱這個數字方為Dürer魔方.

現在思考有多少個符合上述定義的魔方？是否存在構建所有魔方的方法？這個問題初看給人變幻莫測的感覺，但如果借助于向量空間，這個問題就很容易解答.

定義“0-方”和“1-方”如下

，

分別計算得，0—方中R=C=D=S=0， 1—方中R=C=D=S=4，其中R為行和，C為列和，D為對角線和，S為小方塊和.

下面通過用0，1兩個數字組合的方法構成R=C=S=1的所有魔方，稱之為基本魔方

假設把一個Dürer魔方堪稱一個向量，那么根據向量運算規則，對Dürer魔方可施行數乘、加減運算.

記

易驗證：D對上述定義的數乘運算、向量加法運算封閉；D中元素的線性組合構成新的魔方D構成向量空間，稱為Dürer魔方空間.

D是向量空間，存在基向量，基向量是線性無關的，并且D中任一元素都可以由基向量線性表示.

等式兩邊對應比較得： ，所以 線性無關.因此 是D的一組基，D中任一元素都可由 線性組合生成， 可以這樣認為： 是D的生成集，但不是最小的生成集，而 是D的最小生成集.

現在回到AlbrechtDurer鑄造的銅幣.用 的線性組合表示銅幣上的魔方， ，即解方程組

解得 .

改變對Dürer魔方數字和的要求，可以利用線性子空間的定義，構造D的子空間或D空間的擴展.1967年，Botsch證明了可以構造大量的D子空間或D的擴展空間.對于1至16之間的每一個數k，都存在k維類似 方的向量空間.

四、小結

線性代數在實際中的應用往往是綜合性的，單單某個章節在某些方面的具體應用很難找到.如矩陣的特征值與特征向量問題，在控制論中討論系統（機械振動、彈性震動、電磁震蕩等）的穩定性以及生物物種存在的狀態和趨勢中有著廣泛應用，但要牽涉到微分方程組的建立和其他的相關知識內容，以上幾例僅僅說明了一小部分線性代數在某些生活領域中的應用。實際上，線性代數在實際生活中的應用相當廣泛，在這里筆者不再一一列舉。

參考文獻

[1]陳東升.線性代數與空間解析幾何.北京：機械工業出版社，2008

[2]丘維聲.高等代數（第二版）上冊.北京：高等教育出版社，2004

[3]丘維聲.高等代數（第二版）下冊.北京：高等教育出版社，2004