讓“設(shè)計(jì)”在課堂教學(xué)中綻放精彩

胡云山

余文森教授從專業(yè)角度提出：課堂教學(xué)的有效性是指通過課堂教學(xué)使學(xué)生獲得發(fā)展，最核心的一點(diǎn)是看學(xué)生是否愿意學(xué)、主動(dòng)學(xué)以及怎么學(xué)、會(huì)不會(huì)學(xué)。葉瀾教授認(rèn)為有效的課堂應(yīng)該是這樣的：教師在教學(xué)過程中，千方百計(jì)地讓學(xué)生之間相互學(xué)習(xí)，充分交流知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到資源共享；學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)不斷生成新的思想和認(rèn)識，在交流中認(rèn)識不斷升華，實(shí)現(xiàn)智慧共生。毫無疑問，要實(shí)現(xiàn)這一切，就必須把課堂教學(xué)設(shè)計(jì)好。“設(shè)計(jì)”讓你的課堂教學(xué)的質(zhì)量更高、更精彩。

一、在知識形成處設(shè)計(jì)， 體驗(yàn)知識形成歷程

【案例1】圓錐曲線的導(dǎo)入

（一）展示圖片，激發(fā)興趣

地球繞太陽的運(yùn)行軌跡；彗星的運(yùn)行軌跡；炮彈的飛行軌跡；噴泉的水柱……以這些圖片揭示橢圓、雙曲線、拋物線和圓錐曲線。

（二）再現(xiàn)歷史，重溫歷程

1.希臘著名學(xué)者梅內(nèi)克繆斯（公元前4世紀(jì)）企圖解決當(dāng)時(shí)的著名難題“倍立方問題”，他把等腰直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉(zhuǎn)三角形ABC一周，得到曲面ABECE'，（如圖1）。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲線EDE'，梅內(nèi)克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”。他想以此在理論上解決“倍立方問題”但未獲成功。而后，便拋開“倍立方問題”，用不同的平面去截此曲面，把圓錐曲線做為專有概念進(jìn)行研究。當(dāng)時(shí)，希臘人對平面曲線還缺乏認(rèn)識，上述三種曲線須以“圓錐曲面為媒介得到，因此被稱為圓錐曲線的“雛形”。

2.展示圓錐木塊經(jīng)過不同切割后產(chǎn)生的曲線。

3.經(jīng)過了約二百年的時(shí)間，希臘的兩位著名數(shù)學(xué)家奧波羅尼奧斯（公元前三世紀(jì)后半葉）和歐幾里得（公元前300-前275）。奧波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中，不僅系統(tǒng)地闡述了圓錐曲面的定義、利用圓錐曲面生成圓錐曲線的方法與構(gòu)成，而且還對圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行了深入的研究。歐幾里得在他的巨著《幾何原本》里描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，即平面內(nèi)一點(diǎn)F和一定直線AB，從平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M向AB引垂線，垂足為C，若|MF|：|MC|的值一定，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓錐曲線。只可惜對這一定理歐幾里得沒有給出證明。

4.又經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《匯篇》中，才完善了歐幾里得的關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定理進(jìn)行了證明。至此，圓錐曲線的定義和性質(zhì)才比較完整地建立起來了。17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（F.van.Schooten，1615～1660）利用橢圓的兩個(gè)焦半徑之和等于常數(shù)這一性質(zhì)，給出橢圓的畫法。直到1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林（G.P.Dandelin，1794～1847）才利用雙球模型總結(jié)出橢圓的定義。

（三）嚴(yán)格推理，建構(gòu)數(shù)學(xué)

由雙球模型及球外一點(diǎn)所作球的切線長都相等可得MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ （常數(shù)），也就是說，截線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1F2距離之和等于常數(shù)（如圖2）。

一般的，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1F2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)F1F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距。

類似可以得到雙曲線，拋物線的定義。

【設(shè)計(jì)意圖】努力通過數(shù)學(xué)情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史與文化。本節(jié)課是圓錐曲線這一章的第一課，設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)合教材加入了數(shù)學(xué)史材料，揭示數(shù)學(xué)知識形成的過程，同時(shí)揉入數(shù)學(xué)家的故事，讓原本枯燥、乏味的課堂煥發(fā)生機(jī)，學(xué)生不僅了解了數(shù)學(xué)發(fā)展史，增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且從故事中學(xué)到了數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度、鍥而不舍的探索精神。通過設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在主動(dòng)參與獲取知識的過程中獲得挫折和成功的體驗(yàn)，并在這一過程中培養(yǎng)耐挫力和探索的興趣，積累成功的經(jīng)驗(yàn)。

二、在建構(gòu)新知處設(shè)計(jì)， 經(jīng)歷知識發(fā)展過程

【案例2】圓錐曲線第二定義的建構(gòu)

（一）回顧舊知，提出疑問

展示橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程：設(shè)點(diǎn)M（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是（-c，0）和（c，0）。由橢圓的定義可得： ，……（1）；將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得： ，……（2）；兩邊再平方，整理得 ……（3）

【問題1】我們?yōu)槭裁窗眩?）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

分析： （3）式簡潔，具有對稱美，容易求解，便于研究橢圓的幾何性質(zhì)，如范圍，對稱性，頂點(diǎn)等。

【問題2】大家說了（3）式的諸多優(yōu)點(diǎn)，它作為標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點(diǎn)？

分析：無法揭示橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于定長的幾何本質(zhì)。

（二）問題驅(qū)動(dòng)，建構(gòu)新知

【問題3】（1）式恰好有此優(yōu)點(diǎn)，但無法揭示橢圓的其他幾何性質(zhì)，是否存在一個(gè)方程能使兩方面完美結(jié)合？

分析：將（2）式變形： ……（4），即|MF2| =a-ex……（5）。

將（4）式變形得： 即 ……（6）。其幾何意義是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到右焦點(diǎn)的距離與它到定直線 的距離之比等于常數(shù)e。

（三）感知數(shù)學(xué)，引申發(fā)散

【問題4】（6）式正好揭示了橢圓的第二定義。（1）式還有其他變形嗎？又能有什么收獲？

分析：在（1）式兩邊乘以 ，整理可得：

，其幾何意義為：橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差與該點(diǎn)到垂直于焦點(diǎn)連線的對稱軸的距離之比為定值；若對（1）式兩邊平方，整理得： ，其幾何意義為橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積與它到原點(diǎn)的距離的平方之和為定值……

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生不是空著腦袋進(jìn)教室的，每一位學(xué)生都有許多數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)，這構(gòu)成學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特定世界，影響并制約著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。根據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。通過各個(gè)層次的問題的驅(qū)動(dòng)，鼓勵(lì)所有學(xué)生認(rèn)真思考，使不同層次的學(xué)生都有回答問題的愿望，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平。只有認(rèn)識到學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的重要性，才能實(shí)現(xiàn)真正意義上的有效探究。

三、在應(yīng)用知識處設(shè)計(jì)， 展望知識應(yīng)用價(jià)值

【案例3】橢圓性質(zhì)的運(yùn)用

【例題】我國發(fā)射的一顆通訊地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，是以地心C為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)A距地面為439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面為2384km，且A、C、B在同一直線上。地球半徑為6371km，求衛(wèi)星的運(yùn)行軌道方程（精確到1km）。

解：以AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立（如圖3）所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，則a-c=CA=6371+439=6810，a+c=BC=6371+2384=8755，解得：a=7782.5，c=972.5， ≈7721.5。所以橢圓軌道近似為 =1。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。圓錐曲線除了以上兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用外，在太陽系中天體運(yùn)動(dòng)軌道幾乎都是圓錐曲線，古代人們?yōu)榱苏疾芳邦A(yù)報(bào)日食、月食等需要，對圓錐曲線作了大量研究，不但使圓錐曲線成為最早認(rèn)識的非圓曲線，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。人造地球衛(wèi)星的軌道也是橢圓，人們在設(shè)定了一定的軌道參數(shù)之后，就能控制和預(yù)報(bào)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道。本題的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

教學(xué)設(shè)計(jì)作為教師對新課程實(shí)施的設(shè)想、計(jì)劃、方案，是教師將教育理念付諸實(shí)踐的起點(diǎn)，是教育理念與教學(xué)實(shí)踐的界面。為此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，一定要樹立正確的指導(dǎo)思想，樹立“為了每位學(xué)生的充分發(fā)展”的價(jià)值取向和以課改新理念為出發(fā)點(diǎn)的觀念，教學(xué)設(shè)計(jì)要有時(shí)代性、挑戰(zhàn)性，要新穎獨(dú)特、具有個(gè)性，要融入教師自己的科學(xué)精神和智慧。更要不斷進(jìn)行教學(xué)反思，努力做一名反思型教師，及時(shí)發(fā)現(xiàn)新問題，把教學(xué)實(shí)踐提升到新的高度，實(shí)現(xiàn)自我超越，提高自己駕馭課堂教學(xué)的能力。