妙用轉化法 巧解高考題

郭志祥

一、一般向特殊的轉化

有些數學命題條件與結論之間的聯系不很明顯，而其結論又是反映一般的情形，直接尋找解題途徑較為困難.不妨先將問題的一般性轉化為問題的特殊性來考慮.然后再探求出一般規律性的結論.

例1 設數列a1，a2，…，an，…的前n項之和Sn和an的關系是Sn=-ban+1-1（1+b）n，常數b≠-1且與n無關，寫出用n和b表示an的表達式.

分析 先求出a1，a2，a3，然后猜想并證明an，效果甚好，由an=Sn-Sn-1（n≥2）易得出an與an-1的關系式：

an=b1+ban-1+b（1+b）n+1（n≥2）

①

又a1=S1=-ba1+1-11+b，故a1=b（1+b）2

再由①得

a2=b2（1+b）3+b（1+b）3=b+b2（1+b）3

a3=b1+b·b+b2（1+b）3+b（1+b）4=b+b2+b3（1+b）4，…

于是猜想：an=b+b2+…+bn（1+b）n+1

然后用數學歸納法證明即可（證略）.

二、數式向圖形的轉化

例2 自點A（-3，3）發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線L所在的直線的方程.

分析 本題的反射問題一般用對稱原理來處理，要求光線L，則先求對稱圓的切線即可，若求反射后的光線，則先求A的對稱點A′，過A′做已知圓的切線即可.

解 已知圓x2+y2-4x-4y+7=0變形為

（x-2）2+（y-2）2=1

其圓關于x軸的對稱圓方程為

（x-2）2+（y+2）2=1

過點A給圓（x-2）2+（y+2）2=1所做的切線方程，即L的方程為：

3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

例3 不等式|x2-3x|>4的解集是

圖1解 做y=|x2-3x|與y=4的圖象.如圖1.

設|x2-3x|=4，有x2-3x=4

解得x1=-1，x2=4

x2-3x=-4無解

由圖易知，不等式的解集是：{x|x<-1或x>4}.

三、高維向低維的轉化

從高維向低維轉化的思維方法常用于解答立體幾何問題，由于立體幾何問題是三維空間的問題，它是二維平面問題的拓展與延伸，許多平面幾何的性質和定理可以移植到立體幾何中，反過來，立體幾何問題也可以轉化為平面幾何問題來處理與求解.

圖2例4 如圖2，三棱錐V-ABC，VA、VB、VC兩兩垂直，V在△ABC上的射影是H，求證：S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VCA.

證明 連CH延長交AB于D，連VD，則有：

∵VC⊥VB，VC⊥VA，

∴VC⊥平面VAB.

∴VC⊥AB，又CH是VC在平面ABC上的射影.

∴CD⊥AB.

又因VD在平面ABC上的射影是DH.

而DH⊥AB，則VD⊥AB.

圖3下面考察S△VAB、S△AHB、S△ABC之間的關系，不難發現這三個三角形公共底邊為AB，而它們的高VD、DH、DC又都在平面VDC中，于是將這一高維問題得以向低維轉化（圖3）.在Rt△VDC中VH⊥CD，則由直角三角形射影定理得：

VD2=DH·DC.

（12AB·VD）2=（12AB·DH）（12AB·DC）

∴S2△ABV=S△HAB·S△ABC

①

同理可證：

S2△VBC=S△HBC·S△ABC

②

S2△VCA=S△HCA·S△ABC

③

由①+②+③得：

S2△ABC=S2△VAB+S2△VBC+S2△VCA

四、復雜向簡單的轉化

例5 設a，b是兩個實數，A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m∈Z}，C={（x，y）|x2+y2≤144}是平面xOy內點的集合，討論是否存在a和b使得：

①A∩B≠與②（a，b）∈C同時成立.

分析 ①A∩B≠等價于存在整數n，使得：na+b=3n2+15，②（a，b）∈C等價于a2+b2≤144.于是原題即可轉化為新命題：討論關于a，b的混合組：

na+b=3n2+15

a2+b2≤144（n∈Z）

是否有實數解（解略）.

假設存在實數a和b滿足以上混合組，由假設及柯西不等式得：

（3n2+15）2=（na+b）2

≤（n2+1）（a2+b2）≤（n2+1）·144

由此即可得：（n2-3）2≤0

即有n2=3，n=±3.這與n是整數矛盾.

故不存在實數a，b，使得①和②同時成立.

五、含蓄向明朗的轉化

解數學題必須充分利用題設條件，并將隱含條件轉化為明朗的條件，則有利于提高解題的準確性，敏捷性和靈活性.

例6 設a≥0，在復數集C中，解方程z2+2|z|=a.

解 ∵|z|∈R，由z2+2|z|=a

∴z2=a-2|z|∈R

∴z為實數或純虛數.

①當z∈R時，

∴z2+2|z|=a

|z|2+2|z|=a

∴|z|=-1±1+a（舍去負值）

∴z=±（-1+1+a）

②當z為純虛數時，設z=±ri（r>0）

∴|z|=r，則-r2+2r=a

∴r=1±1-a（0≤a≤1）

∴z=±ri=±（1±1-a）i

六、綜合向單一的轉化

例7 如圖4，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a，b，c，且c=10，cosAcosB=ba=43，P為△ABC的內切圓上的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值與最小值.

圖4分析 這是一道涉及解三角形、建系、解析幾何及求幾何最值的綜合問題，可將綜合問題轉化為如下單一的簡單題：

解 （1）解三角形問題

cosAcosB=ba=2RsinB2RsinA=sinBsinA

∴sinA·cosA=sinB·cosB，

即sin2A=sin2B

①

由cosAcosB=43，可知A≠B，所以由①得

2A=π-2B，即A+B=π2.

∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.

（2）求三角形內切圓半徑的問題：

由c=10，ba=43，

a2+b2=c2，a>0，b>0.

可得a=6，b=8.

則內切圓半徑r=12（8+6-10）=2.

（3）建系求圓方程問題：如圖4建立直角坐標系，則內切圓的方程為：（x-2）2+（y-2）2=4.

（4）解析法求幾何最值問題

設內切圓上任意一點P的坐標為（x，y），則P點到△ABC的各頂點的距離的平方和為

S=|PA|2+|PB|2+|PC|2

=[（x-8）2+y2]+[x2+（y-6）2]+（x2+y2）

=3x2+3y2-16x-12y+100

=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76

=3×4-4x+76=88-4x

因為點P在內切圓上，所以0≤x≤4，于是

Smax=88-4×0=88 Smin=88-4×4=72.

（收稿日期：2015-07-12）