高考二項式中特定項的求解兩策略

王聯新 黃信璋

二項式定理的考查在現在高考是?？汲Ｐ?，但是萬變不離其宗，歸納起來主要有兩種題型： 一個二項展開式問題； 兩個或兩個以上二項式問題.解決這類問題的基本方法是用好二項展開式的通項公式和方程思想，以及組合數，二項式原理.下面從兩個方面進行分析.

一、一個二項展開式問題

例1 已知（x-2x2）n （n∈N*）的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10∶1.

（1）求展開式中各項系數的和；

（2）求展開式中含x3/2的項；

（3）求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.

分析 （1）審條件，構建關于n的方程求n.

（2）審要求，可利用“賦值法”求各項系數之和；利用通項公式確定含x3/2的項數；確定系數最大的項數和二項式系數最大項的項數，再求項.

解析 由題意知，第五項系數為C4n·（-2）4，第三項的系數為C2n·（-2）2，則有C4n·（-2）4C2n·（-2）2=101，化簡得n2-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）.

（1）令x=1得各項系數的和為（1-2）8=1.

（2）通項公式Tr+1=Cr8·（x）8-r·（-2x2）r=Cr8·（-2）r·x（8-r）/2-2r，

令8-r2-2r=32，則r=1，故展開式中含x3/2的項為T2=-16x3/2.

（3）設展開式中的第r項，第r+1項，第r+2項的系數絕對值分別為Cr-18·2r-1，Cr8·2r，Cr+18·2r+1，若第r+1項的系數絕對值最大，則Cr-18·2r-1≤Cr8·2r，

Cr+18·2r+1≤Cr8·2r，解得5≤r≤6.

又T6的系數為負，∴系數最大的項為T7=1792x-11.由n=8知第五項二項式系數最大，此時T5=1120x-6.

點評 本題重點考查了二項式的通項公式，二項式系數、項的系數以及項數和項的有關概念.解題時要注意區別二項式系數和項的系數的不同.項數和項的不同；本題的易錯點是混淆項與項數，二項式系數和項的系數的區別.這類問題還有一個難點就是這些特定項是哪一項，這一項如何計算，化解的基本方法就是根據題目的要求和二項式展開式的通項公式列出方程，通過方程找到是哪一項，然后再根據二項式展開式的通項公式進行計算.在有些問題中還需要根據題目的具體要求列不等式等找到特定項是哪一項.當然，解決問題的思想方法也是非常重要的.

二、兩個或兩個以上二項式問題

求解兩個或者兩個以上二項式中一些特定項或特定項的系數是高考中的一個難點，化解這個難點的方法是用好多項式的乘法規則，以及搞清二項式定理的原理，根據相乘的兩個二項展開式和多項式的乘法規則，弄清楚這些特定的項的構成規律，然后進行具體計算.

例2 （1+2x）3（1-x）4展開式中x項的系數為.

分析 求多個二項式積的某項系數，要會轉化成二項式定理的形式.

解析 （1+2x）3（1-x）4展開式中的x項的系數為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數項，它為C03（2x）0·C14（-x）1+C13（2x）1·C0414（-x）0，其系數為C03·C14（-1）+C13·2=-4+6=2.

點評 本題的難點是兩個多項式相乘時x項的構成規律，這只要按照多項式的乘法規則進行即可，其系數就是這些相應項的系數乘積之和.這種方法是化解兩個多項式相乘時，求展開式中某一項的系數的主要方法.

例3 求式子（|x|+1|x|-2）3的展開式中的常數項.

分析 這種類型和我們課本上的不同是它里面為三項，把它從三項轉化為二項是關鍵.

解法一 （|x|+1|x|-2）3=（|x|+1|x|-2）（|x|+1|x|-2）（|x|+1|x|-2）得到常數項的情況有：

①三個括號中全取-2，得（-2）3；

②一個括號取|x|，一個括號取1|x|，一個括號取-2，得C13C12（-2）=-12，∴常數項為（-2）3+（-12）=-20.

解法二 （|x|+1|x|-2）3=（|x|-1|x|）6.

設第r+1項為常數項，

則Tr+1=Cr6·（-1）r·（1|x|）r·（|x|）6-r=（-1）6·Cr6·|x|（6-2r）/2，得6-2r2=0，r=3

∴T3+1=（-1）3·C36=-20.

點評 本題用的較多的方法是第一種方法，因為它簡便快捷，同時也是二項定理的核心和靈魂，如果這個問題都能領悟，二項式的所有東西都將解決.

總之，求二項展開式中的特定項或特定項系數，主要是以上兩種類型，第一種類型主要通過通項，第二種類型要么是轉化成二項，要么是利用二項式定理的原理.

（收稿日期：2015-07-12）