2016年高考數學模擬試卷

鄭一平

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.本卷滿分150分，考試時間為120分鐘.

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.

1.已知全集U={1，2，3，4，5}， 集合M={3，4，5}，N={1，2，5}， 則集合{1，2}可以表示為（ ）.

A.M∩N B.（

2.已知i為虛數單位，a∈R，若2-ia+i為純虛數，則復數z=（2a+1）+2i的模為（ ）.

A.2 B.3 C.6 D. 11

3.已知平面向量a，b夾角為π6，且a·（a+b）=6，|a|=3，則|b|等于（ ）.

A.3 B.23 C.233 D. 2

4.已知等比數列{an}的各項都是正數，且a1，12a3，2a2成等差數列，則a9+a10a7+a8=（ ）.

A.2 B.3-22 C.3+22 D. 3

5.等比數列{an}中，a1=2，a8=4，函數f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），則f ′（0）=（ ）.

A.26 B.29 C.212 D.215

6.已知一個算法的程序框圖如圖1所示，當輸出的結果為0時，輸入的x的值為（ ）.

圖1

A.-1或1

B.-1或0

C.-2或0

D.-2或1

7.已知某錐體的正視圖和側視圖如圖2，其體積為233，則該錐體的俯視圖可以是（ ）.

圖28.已知圓（x+1）2+y2=4的圓心為C，點P是直線l：mx-y-5m+4=0上的點，若該圓上存在點Q使得∠CPQ=30°，則實數m的取值范圍為（ ）.

A.[-1，1] B.[-2，2]

C.[3-34，3+34]D. [0，125]

9.已知變量x，y滿足條件x-y≤0

3x-y-2≥0

x+y-6≥0，則目標函數z=2x+y（ ）.

A.有最小值3，最大值9

B.有最小值9，無最大值

C.有最小值8，無最大值

D.有最小值3，最大值8

10.已知函數f（x）是R上的偶函數，且f（1-x）=f（1+x），當x∈[0，1]時，f（x）=x2，則函數y=f（x）-log5x的零點個數是（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

11.已知函數f（x）=2x （x≥2）

（x-1）3（x<2）若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是（ ）.

A.（0，1） B.（1，+∞）

C.（-1，0） D.（-∞，-1）

12.在平面直角坐標系中，把橫、縱坐標均為有理數的點稱為有理點.若a為無理數，則在過點P（a，-1/2）的所有直線中（ ）.

A.有無窮多條直線，每條直線上至少存在兩個有理點

B.恰有n（n≥2）條直線，每條直線上至少存在兩個有理點

C.有且僅有一條直線至少過兩個有理點

D.每條直線至多過一個有理點

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22題～24題為選考題，考生根據要求做答.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.已知函數f（x）=2xx-1，則在點（2，f（2））處的切線方程為.

14. 已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與y軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓的標準方程為.

15.已知數列{an}滿足an+2-2an+1+an=0（n∈N*），且a2=6，a6=-2，則數列{an}的前9項和S9=

16.在△ABC中，若角A為銳角，且AB=（2，3），AC=（3，m），則實數m的取值范圍是

三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C所對的邊，且c=2，C=π3.

（Ⅰ） 若△ABC的面積等于3，求a，b；

（Ⅱ） 若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求A的值.

18.（本小題滿分12分）某班50名學生在一次數學測試中，成績全部介于50與100之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[50，60），第二組[60，70），…，第五組[90，100].圖3是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

圖3（Ⅰ）若成績大于或等于60且小于80，認為合格，求該班在這次數學測試中成績合格的人數；

（Ⅱ）從測試成績在[50，60）∪[90，100]內的所有學生中隨機抽取兩名同學，設其測試成績分別為m、n，求事件“|m-n|>10”的概率.

圖419.（本小題滿分12分）如圖4，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6.

（1）求證：AB⊥平面ADE；

（2）求凸多面體ABCDE的體積.

20.（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，它的頂點構成的四邊形面積為4.過點（m，0）做x2+y2=b2的切線l交橢圓C于A、B兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設O為坐標原點，求△OAB面積的最大值.

21. （本小題滿分12分）已知a∈R，函數f（x）=ax+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e為自然對數的底數）.

（Ⅰ）判斷函數f（x）在區間（0，e]上的單調性；

（Ⅱ）是否存在實數x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？ 若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由.

請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分.做答時請寫清題號.

圖522.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖5，已知PA與圓O相切于點A，半徑OB⊥OP，AB交PO于點C.

（1）求證：PA=PC；

（2）若圓O的半徑為3，PO=5，求線段AC的長度.

23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程 在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為：x=t

y=2+2t （t為參數），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ.

（1）求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程；

（2）將曲線C上各點的橫坐標縮短為原來的12，再將所得的曲線向左平移1個單位，得到曲線C1，求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值.

24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

設函數f（x）=|x-a|+1，a∈R

（1）當a=4時，解不等式f（x）<1+|2x+1|

（2）若f（x）≤2的解集為[0，2]，1m+1n=a（m>0，n>0）求證：m+2n≥3+22.

2016年高考模擬試卷答案

一、選擇題

1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C

8.D 9.C 10.B 11.A 12.C

二、填空題

13.y=-2x+8 14.x2+（y-1）2=8

15.0 16.（-2，92）∪（92，+∞）

三、解答題

17. 解 （Ⅰ）根據三角形面積公式可知：S=3=12absinC=12ab32推得ab=4；

又根據余弦定理可知：cosC=12=a2+b2-c22ab=a2+b2-48推得a2+b2=8.

綜上可得a=b=2.

（Ⅱ）sinC+sin（B-A）=2sin2A，

∴sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA

sinBcosA=2sinAcosA

當cosA=0時，A=π2

當cosA≠0時，sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，

聯立a2+b2-ab=4

b=2a，得a=233，b=433，

∴b2=a2+c2，∵C=π3，∴A=π6，

綜上A=π2或A=π6.

解二 sinC+sin（B-A）=2sin2A，

∴sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA

即sinBcosA=2sinAcosA

當cosA=0時，A=π2

當cosA≠0時，

2sinA=sinB=sin（23π-A）=32cosA+12sinA，

∴32sinA-32cosA=0

∴3sin（A-π6）=0，

∵0∴A-π6=0即A=π6.

綜上A=π2或A=π6.

18. 解 （Ⅰ）由直方圖知，成績在[60，80）內的人數為：50×10×（0.018+0.040）=29.

所以該班在這次數學測試中成績合格的有29人.

（Ⅱ）由直方圖知，成績在[50，60）內的人數為：50×10×0.004=2，設成績為x、y，成績在[90，100]的人數為50×10×0.006=3，設成績為a、b、c，若m，n∈[50，60）時，只有xy一種情況， 若m，n∈[90，100]時，有ab，bc，ac三種情況， 若m，n分別在[50，60）和[90，100]內時，有

共有6種情況，所以基本事件總數為10種， 事件“|m-n|>10”所包含的基本事件個數有6種.

∴P（|m-n|>10）=610=35.

19.解答 （1）證明：∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，∴AE⊥CD.

在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE.

∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.

（2）解 在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，

∴DE=AD2-AE2=33.

過點E做EF⊥AD于點F，∵AB⊥平面ADE，EF平面ADE，∴EF⊥AB.

∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD.

∵AD·EF=AE·DE，

∴EF=AE·DEAD=3×336=332.

又正方形ABCD的面積SABCD=36，

∴VABCDE=VE-ABCD=13SABCD·EF=13×36×332=183.故所求凸多面體ABCDE的體積為183.

20. 解 （1）∵e=32，

∴e2=c2a2=34，c2=34a2

①

又∵它的頂點構成的四邊形面積為4，

∴12×a×b×4=4，∴ab=2

②

由①②解得a2=4，b2=1，∴橢圓方程為x24+y2=1.

（2）（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，當m=1時，切線l的方程為x=1，點A、B的坐標分別為（1，32），（1，-32），此時|AB|=3；

當m=-1時，同理可得|AB|=3；

當|m|>1時，設切線l的方程為y=k（x-m），

由y=k（x-m）

x24+y2=1，得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0，

設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），

則x1+x2=8k2m1+4k2，x1x2=4k2m2-41+4k2

又由l與圓x2+y2=1相切，得|km|k2+1=1，即m2k2=k2+1，

所以|AB|=（x2-x1）2+（y2-y1）2

= （1+k2）[64k4m2（1+4k2）2-4（4k2m2-4）1+4k2]=43|m|m2+3

由于當m=±1時，|AB|=3

所以，|AB|=43|m|m2+3，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）

因為|AB|=43|m|m2+3≤2且m=±3時|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

∴S△OAB的最大值為12×2×1=1.

21. 解 （1）∵f（x）=ax+lnx-1，∴f ′（x）=-ax2+1x=x-ax2.

令f ′（x）=0，得x=a.

①若a≤0，則f ′（x）>0，f（x）在區間（0，e]上單調遞增.

②若0

當x∈（a，e]時，f ′（x）>0，函數f（x）在區間（a，e]上單調遞增，

③若a≥e，則f ′（x）≤0，函數f（x）在區間（0，e]上單調遞減.

（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x，x∈（0，e]，g′（x）=（lnx-1）′ex+（lnx-1）（ex）′+1=exx+（lnx-1）ex+1=（1x+lnx-1）ex+1.由（1）可知，當a=1時，f（x）=1x+lnx-1.

此時f（x）在區間（0，e]上的最小值為ln1=0，即1x+lnx-1≥0.

當x0∈（0，e]，ex0>0，1x0+lnx0-1≥0，∴g′（x0）=（1x0+lnx0-1）ex0+1≥1>0.

曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直等價于方程g′（x0）=0有實數解. 而g′（x0）>0，即方程g′（x0）=0無實數解.

故不存在x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在x=x0處的切線與y軸垂直.