高中三角函數(shù)教學常見問題探析

王威

三角函數(shù)是目前高中數(shù)學課程中較為傳統(tǒng)的內(nèi)容，也是高考數(shù)學中的重要考點，學好三角函數(shù)不僅是高中階段的重要任務，也是為大學數(shù)學打好基礎的重要前提.學生進入高中后，在數(shù)學學習方法上大都還是采用初中數(shù)學的學習方法，這樣的學習方法對于更注重抽象思維的高中數(shù)學來說不再適用，導致很多學生在學習上會面臨學習困境.因此研究高中三角函數(shù)的教學問題，對于解決學習和教學中的困難，提高教學效率具有重要意義.

一、高中三角函數(shù)教學中常見的問題

1.缺少預習和復習，一旦遇到困難就打退堂鼓

受初中階段的學習習慣的影響，上高中后很多學生依然采用初中的學習方式.在初中階段的數(shù)學課程，每堂課的教學任務較少，在上完課后都會留下充足的時間讓學生去回顧和總結.但是到了高中以后，課堂容量加大，學生能夠獨立支配的時間減少，在教學內(nèi)容上不再是單純的計算，更注重學生抽象思維的訓練.由于養(yǎng)成了當堂預習和復習的習慣，進入高中后這樣的方法不再適用，阻礙了三角函數(shù)的有效學習.

由于初中階段三角函數(shù)相對簡單，學起來不費勁，養(yǎng)成了學習不刻苦的習慣，在高中階段一旦遇到困難的題目就打退堂鼓，看答案.有的學生一遇到一知半解的問題就求助于參考書和同學，并沒有對詳細的解題過程進行推敲.

2.公式學習不求甚解

高中三角函數(shù)這一章節(jié)的公式相對較多，很多學生面對這些公式無從下手，有時候在解題過程中不知道該用哪個公式.例如，三角函數(shù)的誘導公式一的應用，sin（390°）=sin（30°+360°）=sin30°=1/2.已知tanβ=3/4，求sinβ，cosβ.很多學生一看到這個問題就會想到同角的正切值就等于它的正余弦比，卻忽略了同角正弦平方加余弦平方的和等于一的特點.還有，在進行簡化求值方面的解題時，很多學生不知道該用哪個公式，具體的步驟應該如何去做，其實只需要將角化成誘導公式左邊角的形式就可以利用公式進行簡化了.導致這一問題產(chǎn)生的根本原因就是不理解公式的內(nèi)涵和公示的運用條件，也缺乏對公式的練習.

3.易忽略有字母的三角函數(shù)值的符號

在三角函數(shù)的運算過程中很多學生會忽略三角函數(shù)值的符號.例如，已知sinα=-3/5，求cosα，tanα的值.很多學生出現(xiàn)在求解cosα時，直接利用sin2α+cos2α=1的變式cosα=1-sin2α進行求解的錯誤解法.再如，已知tanα=-3，求sinα，cosα的值，可以利用三角函數(shù)的基本關系式組成sinα，cosα的二元一次方程組，根據(jù)給出的條件可以看出α是第一象限或第三象限角，然后根據(jù)不同的象限分開討論.很多學生在解題的過程中，往往忽略了條件的設定，在使用運算公式時也容易忽略符號.

4.在運用誘導公式時，對符號的把握不到位

在三角函數(shù)整個知識章節(jié)中，總共有16個公式用于問題的解答.在運用這些公式時，往往難以確定符號，從而造成解題錯誤.弄錯符號容易分不清主體和部分，在利用誘導公式二sin（π+α）=-sinα時，將α看做是一個銳角，而π+α就是第三象限角，根據(jù)正弦值在第三象限是負值，所以得出了公式中的“-”.但是學生在做題過程中卻是直接根據(jù)角的終邊落在第幾象限來確定公式后的符號，這樣一來就用錯了三角函數(shù)的解題公式.

5.用幾何語言表示終邊相同的角不夠準確

在直角坐標系中，經(jīng)過原點的一條射線，終邊落在這條射線上的角的集合有很多種表示方式，但是這些終邊相同的角的集合都是相同的，都可以表示為S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.但是很多學生卻不知道如何選擇終邊相同的角α.在求終邊落在經(jīng)過原點的直線上的角的集合的時候，應先將直線分成兩條經(jīng)過原點的射線，根據(jù)定義的要求，將終邊落在兩條射線上的角的集合寫出，最后將這兩個角的集合并集就得到了結果.但是學生往往在求并集的時候出現(xiàn)問題，他們對式子中的k·360°不會進行化簡，還有學生合并完了，但是在書寫上出現(xiàn)錯誤.

二、高中數(shù)學三角函數(shù)教學策略

1.利用口訣熟記公式和符號

在高中數(shù)學三角函數(shù)部分有眾多公式，這些公式對于學生來說非常不容易背誦，有時候死記硬背下來，但在用的時候還會出現(xiàn)偏差，利用口訣能夠記得既準又牢固.例如，可以根據(jù)公式一到公式四的特點，把它的性質歸納為“函數(shù)名不變，象限定正負”，公式五和公式六可以歸納為“函數(shù)名改變，象限定正負”，還有些學者將誘導公式匯總成了兩句話“奇變偶不變，象限定正負”.另外記憶三角函數(shù)四個象限符號的口訣可以定義為：“上正、右余、對角切”這樣一來學生就可以準確的判定出函數(shù)的符號.

有些學生雖然能夠準確無誤的寫出誘導公式，但是對于解題還是沒有頭緒，不知道從何處下手，為此，有些人總結出了化簡題的口訣“負化正，大化小，化到銳角求解值”這樣一來，對于大部分的題目都可以通過口訣的形式完成解答.

在對誘導公式的掌握中可以進行如下教學設計：

首先通過預設情景引出誘導公式，通過引導學生觀察誘導公式，讓他們說出誘導公式的結構特征.（終邊相同的角的三角函數(shù)值相同，把任意角的三角函數(shù)值的問題都縮小到0°～360°角的范圍內(nèi)進行解答）通過練習題，練習三角函數(shù)中角的變換.（將sin1110°簡化成公式的形式），通過觀察210°與30°角的終邊的關系來進一步理解三角函數(shù)之間的轉化關系.

其次，通過引入問題，觀察sinα與sin（π+α）的圖像位置關系，引導學生進行猜測.

（1）角α與角（π+α）的終邊的關系是什么？

（2）α與（π+α）的終邊分別交以O為圓心的圓于P和Q兩點，那這兩點的關系如何？

（3）如果P點的坐標為（x，y），那么Q點的坐標是多少？

根據(jù)上述問題提出sinα與sin（π+α），cosα與cos（π+α），tanα與tan（π+α）之間的關系如何？通過對這些式子的觀察，總結規(guī)律，嘗試用一個式子表示出來，并在黑板上板書.再用相同的方法歸納出其他的公式.

然后，通過例題的講解，熟悉對公式的運用.最后結合教師總結的口訣，學生通過練習題，加以理解和鞏固.

2.利用多媒體，形象演示函數(shù)變化的難點

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，很多高三年級的學生會在函數(shù)的基本變化上出現(xiàn)問題，經(jīng)過詢問才知道，他們根本沒有掌握好函數(shù)變化的過程和內(nèi)容.在進行三角函數(shù)教學時，教師如果僅僅是利用傳統(tǒng)的“粉筆+黑板”模式進行教學，很難體現(xiàn)函數(shù)的變化特性，不利于學生的理解，甚至還會產(chǎn)生厭煩情緒.

在函數(shù)變換教學中重點需要解決的問題有三個，第一，單個變量對函數(shù)的影響；第二，三個變量之間的聯(lián)系；第三，對y=Asin（ωx+φ）函數(shù)圖象的理解和應用.如果利用多媒體，可以將抽象的函數(shù)問題具體化，由靜態(tài)轉為動態(tài)，使學生通過形象思維和抽象思維相結合的方式理解內(nèi)容，提高學生的興趣，優(yōu)化課堂教學.

首先選取A=3，ω=2，φ=π3，利用計算機做出如圖1所示各圖像，通過由y=sinx向y=sin（x+π3）過渡，由y=sinx向y=sin2x過渡，y=sinx向y=3sinx過渡，教學中通過問題引導，幫助學生觀察.例如：讓學生通過小組合作的形式，討論函數(shù)在運動過程中發(fā)生變形了嗎？發(fā)生了什么變化？來讓學生了解單個變量對函數(shù)的影響，通過圖形的演示，讓學生充分理解函數(shù)圖象的這些問題，進而自己總結函數(shù)圖象的基本變換理念.

圖1學生在了解了函數(shù)圖象的變化過程后，再在做題過程當中遇到一些未曾見過的問題，學生就會對這一部分的知識靈活運用了.例如函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B怎么變化？首先可以通過換元的方式，令G=Asin（ωx+φ），這樣一來就可以轉化為y=G的圖像，然后將該圖像向上或向下平移B個單位，得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+B的圖像.

3.通過變式練習，提高學生對三角函數(shù)的應用能力

在三角函數(shù)章節(jié)中，不僅要熟練掌握三角函數(shù)的各個公式，還要掌握應對各種題型的解題技巧，這樣才能夠在解題過程中，更加方便快捷地利用公式進行解題.教師可以尋找一些具有代表性的題目，保持題目本質的前提下不斷變換形式來考察學生，培養(yǎng)學生的解題思維，提高學生對三角函數(shù)的應用能力，提高解題效率.

（收稿日期：2015-10-12）