例析電磁學(xué)中的等效處理

曾明

在一些物理問題中，一個(gè)過程的發(fā)展，一個(gè)狀態(tài)的確定，往往是由多個(gè)因素決定的，在這些因素中，若某些因素所起的作用和物理學(xué)中另一個(gè)因素所起的作用相同，則這些因素與這一個(gè)因素是等效的，它們便可以互相代替，且對(duì)過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不受影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法.

等效思維的實(shí)質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實(shí)際問題變換為簡(jiǎn)單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中的規(guī)律.因此應(yīng)用等效法時(shí)往往是用較簡(jiǎn)單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡(jiǎn)化而便于求解.

實(shí)際上，高中物理課本中在很多地方都采用了這種方法.如力的合成和分解、運(yùn)動(dòng)的合成和分解、復(fù)雜電路的簡(jiǎn)化等，都采用了等效思維法.下面舉例分析用等效法處理電磁學(xué)中的一些常見問題.

例1 氫原子的核外電子質(zhì)量為m，帶電量為e，最小的軌道半徑為r，試計(jì)算電子在軌道上運(yùn)動(dòng)的等效電流強(qiáng)度.

解析 氫原子的核外電子在庫侖力作用下繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其定向移動(dòng)形成的電流可等效為環(huán)形電流.要求電子運(yùn)動(dòng)的電流強(qiáng)度，根據(jù)電流強(qiáng)度定義式知，只要求出單位時(shí)間內(nèi)通過某一截面的電量即可.氫原子的核外電子在一個(gè)周期內(nèi)，旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)周期為T，則

T=2πrv

①

又因?yàn)殡娮永@核旋轉(zhuǎn)所需的向心力為庫侖力，則有

ke2r2=mv2r

②

由①②式解得：

v=ke2mr=ekmr

由此可得電流強(qiáng)度

I=eT=e22πrkmr.

圖1例2 半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一質(zhì)量為m、帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖1所示.珠子所受電場(chǎng)力是重力的34倍.將珠子從環(huán)上最低位置A點(diǎn)由靜止釋放，則：

（1）珠子所能獲得的最大動(dòng)能是多少？

（2）珠子對(duì)圓環(huán)的最大壓力是多少？

圖2解析 珠子從A點(diǎn)靜止釋放后，在電場(chǎng)力和重力作用下向右運(yùn)動(dòng)，如果按常規(guī)方法直接求珠子獲得的最大動(dòng)能及對(duì)圓環(huán)的最大壓力，比較麻煩.為此，可把珠子受到恒定的電場(chǎng)力與重力的合力求出，作為珠子處在等效重力場(chǎng)中的等效重力G′，如圖2甲所示，其等效重力為G′=（mg）2+（34mg）2=54mg，等效重力加速度g′=G′m=54g.與豎直方向的夾角θ=37°.

所以B點(diǎn)為等效重力場(chǎng)中圓周的最高點(diǎn)，C為最低點(diǎn).如圖2乙所示.珠子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)相當(dāng)于只受等效重力和環(huán)對(duì)它的彈力作用.由此可知，珠子在C點(diǎn)時(shí)獲得的動(dòng)能最大，相應(yīng)的壓力最大.

（1）在等效重力場(chǎng)中應(yīng)用能量守恒定律得：珠子獲得的最大動(dòng)能為：

Ekm=mg′r（1-cosθ）=54mgr（1-cos37°）

=14mgr.

（2）在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：

Nm-mg′=mv2r，Nm=54mg+12mg=74mg

由牛頓第三定律可知，珠子對(duì)圓環(huán)的壓力為74mg.

例3 如圖3所示，R1、R2、R3為定值電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱.當(dāng)Rx為Rx1=10Ω時(shí)，通過它的電流Ix1=1A；當(dāng)Rx2=18Ω時(shí)，通過它的電流Ix2=0.6A，則當(dāng)Ix3=0.1A時(shí)，求電阻Rx3.

圖3 圖4解析 電源電動(dòng)勢(shì)E、內(nèi)阻r，電阻R1、R2、R3均未知，按題目給的電路模型列式求解，方程數(shù)將少于未知數(shù).于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法，作等效處理.

把圖中Rx左邊部分的整個(gè)電路看成新的電源，則等效電路如圖4所示，設(shè)此時(shí)新電原電動(dòng)勢(shì)為E′、內(nèi)電阻為r′，根據(jù)電學(xué)知識(shí)，新電路不改變Rx和Ix的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有

E′=Ix1（Rx1+r′）

①

E′=Ix2（Rx2+r′）

②

E′=Ix3（Rx3+r′）

③

由①②兩式得：

E′=12V，r′=2Ω.

代入（3）式可得：

Rx3=118Ω.

例4 如圖5所示，把輕質(zhì)線圈用細(xì)線掛在磁鐵N極附近，磁鐵的軸線穿過線圈的圓心且垂直于線圈平面.當(dāng)線圈內(nèi)通過圖示方向的電流時(shí)，線圈怎樣運(yùn)動(dòng)？

圖5 圖6解析 如果直接畫出磁鐵產(chǎn)生的磁場(chǎng)，然后研究線圈的受力情況，必須采用微元分析法，較麻煩.為此可將線圈等效為一個(gè)條形磁鐵，如圖6所示，再由磁極間的相互作用判斷出相互吸引.所以線圈將向磁鐵方向運(yùn)動(dòng).

圖7例5 在豎直放置的光滑、絕緣圓環(huán)上，有一帶負(fù)電、可以滑動(dòng)的小球m套在環(huán)的頂端，整個(gè)裝置放在如圖7所示的正交勻強(qiáng)電、磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與環(huán)的圓面垂直.若小球所受的電場(chǎng)力和重力的大小相等，則當(dāng)小球沿環(huán)相對(duì)于圓心滑過多大角度時(shí)，它所受的洛侖茲力最大（ ）.

A.π4 B.π2 C. 3π4 D. π

解析 小球從A點(diǎn)開始，在重力和電場(chǎng)力作用下向左運(yùn)動(dòng).要使它所受洛侖茲力最大，速度必為最大，但要討論小球運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)速度最大，比較麻煩.為此，可把小球受到不變的重力和電場(chǎng)力的合力求出，作為等效重力G′，其方向與豎直方向成45°角斜向左下方，如圖8甲所示，其做圓周運(yùn)動(dòng)的等效最高點(diǎn)和等效最低點(diǎn)分別為C和D，如圖8乙所示.由動(dòng)能定理知小球在D點(diǎn)速度達(dá)到最大.即小球從最高點(diǎn)A逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，所受洛侖茲力最大，滑過的角度為3π4.故C正確.

圖8例6 如圖9所示表示置于同一水平面內(nèi)的兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)軌相距L=0.3m，兩導(dǎo)軌間接有一固定電阻R=5Ω和一個(gè)內(nèi)阻為零、電動(dòng)勢(shì)E1=6V的電原，兩導(dǎo)軌間還有如圖示的豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng).兩導(dǎo)軌上置有一根導(dǎo)體棒MN，棒與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦力大小為f=0.1N，棒及導(dǎo)軌電阻均不計(jì).當(dāng)接通開關(guān)S時(shí)，棒由靜止開始在導(dǎo)軌上滑動(dòng)直至獲得穩(wěn)定速度v.為使v最大，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多大？此時(shí)v值為多少？

圖9 圖10解析 接通開關(guān)S時(shí)，棒中通有從M至N方向的電流，受水平向右的安培力作用，向右做加速

運(yùn)動(dòng).同時(shí)MN切割磁感線又產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其電路可等效為圖10所示，隨著速度v增大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E增大，電流減小，安培力減小，當(dāng)棒MN做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，棒MN的速度v最大，若將R作為電源E1的內(nèi)阻看待，等效為一個(gè)新的電源，當(dāng)MN中速度最大時(shí)，動(dòng)能最大，則等效電源有最大的輸出功率.即fvm=E214R.最大速度vm=E214Rf=18m/s.根據(jù)直流電路的輸出功率最大時(shí)，內(nèi)外電壓相等得E12=BLvm，此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=E12Lvm=59T.

例7 如圖11甲所示的直流電通過圖11乙中的電阻R，則交變電流表的示數(shù)為多少？

解析 當(dāng)圖11甲的電流通過圖11乙時(shí)，直流電的大小是變化的，它不屬于恒定電流，而交流電流表的示數(shù)為電流的有效值，但這個(gè)電流有效值不是52A.顯然應(yīng)從電流有效值定義來求解.

圖11圖11甲中的i-t圖象是正弦曲線，在半個(gè)周期內(nèi)，它的有效值與正弦交變電流的有效值相同，再根據(jù)直流電在一個(gè)周期內(nèi)所做的功和其有效值做功等效的關(guān)系，就可以求出通過電流表的示數(shù).由圖11甲知Im=5A，

I=12Im=2.52A.

由I2R·T2=I2ART 得IA=I2=2.5 A.

所以電流表的示數(shù)為2.5A.

（收稿日期：2015-05-16）