不等式在解物理問題中的應用

華峰

有些物理問題看起來似乎條件不足，難以入手求解.其實此類問題常常可以根據題意列出不等式，進而便可順利求解.下面舉例分析，希望學生能夠從中受到有益的啟示.

一、求解力學問題

圖1例1 如圖1所示，某人站在到公路垂直距離為d=50 m的A點，發現公路上B點有一輛客車以v=8.48 m/s的速度沿公路勻速前進，人與車相距s=100 m，人奔跑的速度v′=6 m/s.則人要趕上客車應朝哪個方向奔跑才行？

解析 由圖1示可知sinα=50100=12，所以α=30°.

設人奔跑的方向與AB連線夾角為θ，車和人到達D點所用的時間分別為t和t′，則有vtsinθ=v′t′sinα，即

tt′=v′sinθvsinα

①

人要能夠趕上汽車，應有t≥t′，即

tt′≥1

②

把②帶入①有：v′sinθvsinα≥1，即sinθ≥0.707，所以45°≤θ≤135°.

例2 在光滑的水平面上有兩個半徑都是r的小球A和B，質量分別為m和2m，當兩球心之間的距離大于2L（比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當兩球之間的距離等于或小于L時，兩球間存在相互作用的恒定斥力F.設A球從遠離B球處以速度v0沿兩球連線向原來靜止的B球運動，如圖2所示.欲使兩球不發生接觸，v0必須滿足什么條件？

圖2解析 A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐漸減小，B球從靜止開始加速運動，兩球間的距離繼續逐漸減小，當A、B的速度相等時，兩球的間距最小.若此距離大于2r，則兩球不會接觸，因而它們不接觸的條件是：

v1=v2

L+s2-s1>2r

其中v1、v2為當兩球間距離最小時，A、B兩球的速度，s1、s2為兩球間距離從L變到最小的過程中A、B兩球通過的路程.

設v0為A球的初速度，則由動量守恒定律有：

mv0=mv1+2mv2

由功能關系有：

Fs1=-12mv20-12mv21，Fs2=12（2m）v22

聯立以上各式科解得v0<3F（L-2r）m.

例3 從地面上以初速度2v0豎直向上拋出一小球A，經過Δt時間從同一點以初速度v0豎直向上拋出另一小球B.（1） 要使A、B兩球能在空中相遇，Δt應滿足什么條件？（2） 要使B球在上升時與A球相遇，Δt應滿足什么條件？（3） 要使B球在下降時與A球相遇，Δt應滿足什么條件？

解析 本題實際上是一個極值問題，但用極值求解相對困難和麻煩.若利用不等式求解則簡捷、方便得多.

根據題意設在B球拋出后t時刻與A球相遇，則它們相遇的條件為：

2v0（t+Δt）-12g（t+Δt）2=v0t-12gt2，化簡得

t=2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0

①

（1） 要求0

②

把①代入②，有0<2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0<2v0g，解之得2v0g<Δt<4v0g.

（2） 要滿足如下條件0

③

將①代入③可解得：（1+3）v0g<Δt<4v0g.

（3） 要滿足如下條件 v0g

④

把①代入④可解得：2v0g<Δt<（1+3）v0g.

當n=8時，車停止滑行，即在x<0一側第8個沙袋扔到車上后，車就停下來.故車上共有大小沙袋3+8=11個.

圖4例5 如圖4所示，斜面固定在水平面上，其傾角為θ，斜面上放一個質量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數為μ.現用一水平恒力F推物體，結果無論F多大都推不動，求μ應滿足的條件.

解析 由題意知不等式Fcosθ<μ （mgcosθ+Fsinθ）+mgsinθ恒成立，整理得F（cosθ-μ sinθ）

二、求解熱學問題

例6 如圖5所示，大小不等的兩個容器被一根細的玻璃管連通，玻璃管中有一段水銀柱將兩容器內氣體隔開（溫度相同）.當玻璃管豎直放置時，大容器在上，小容器在下，水銀柱剛好在玻璃管的正中間.現將兩容器同時降低同樣的溫度，若不考慮容積的變化，則細管中水銀柱的移動情況是（ ）.

A. 不動 B. 上升

C. 下降 D. 先上升后下降

解析 以液面C為研究對象，根據平衡條件有pA+ρgh=pB

假定溫度降低時水銀柱不移動，A、B減少的壓強分別為ΔpA、ΔpB，則液柱C受到向下的壓強p下=pA-ΔpA+ρgh，向上的p上=pB-ΔpB.

若ΔpA=ΔpB，則p上=p下，水銀柱不移動；若ΔpA<ΔpB，則p上>p下，水銀柱向下移動；若ΔpA>ΔpB，則p上

因此只要假定水銀柱不動，分析氣體壓強的變化情況，運用不等式就可判斷水銀柱怎樣移動.

圖5 圖6方法1 假定水銀柱不移動，根據查理定律有pT=p-ΔpT-ΔT，化簡得Δp=ΔTTp，則ΔpA=ΔTTpA，ΔpB=ΔTTpB.由于pA

方法2 假定水銀柱不移動，作A、B等容變化圖象，如圖6所示.降低相同溫度時，由圖可知ΔpB>ΔpA，水銀柱下降.應選C.

例7 如圖7所示，有一直立的汽缸，汽缸底到缸口的距離為L0，用一厚度和質量均不計的剛性活塞A把一定質量的空氣封在缸內，活塞與缸間摩擦可忽略，平衡時活塞在缸口，周圍大氣的壓強為H0 cmHg.現把一個盛有水銀的瓶子放在活塞上（瓶子的質量可以忽略不計），平衡時活塞到汽缸底的距離為L，若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶內水銀緩慢地倒在活塞上方，這時活塞下移，直到其不再下移.求此時氣柱的長以及與之相對應的條件（設氣體的溫度不變）

圖7 圖8解析 本題表面上看似乎與不等式沒有什么關系，然而如靈活運用不等式求解，不僅給人耳目一新的感覺，而且會收到事半功倍的效果.如圖8設有足夠量的水銀一直能夠把汽缸裝滿，裝滿時水銀柱長為x cm，則有

H0L0=（H0+x）（L0-x0），解之得：x=L0-H0

設瓶內水銀產生的總附加壓強為Δp，則有

H0L0=（H0+Δp）L，解之得：Δp=H0（L0-L）L

若0

則水銀沒能全部倒入缸中，解此式得：L0>H0，L

氣柱長L′=L0-x=H0.

若x≥Δp，即L≥H0，水銀能夠全部倒入缸中，因此氣柱長L′=L0.

若x≤0，即L0≤H0，水銀不能倒進缸中，一定滿足L0>H0.

所以最后結論為：當L 三、求解電磁學問題

例8 把一個“10 V 2.0 W”的用電器A（純電阻）接到某一電動勢與內阻都不變的電源上，用電器A實際消耗的功率是2.0 W；換上另一個“10 V 5.0 W”的用電器B（純電阻）接到這一電源上，用電器B實際消耗的功率有沒有可能反而小于2.0 W呢？如果認為不可能，試說明理由.如果認為可能，試求出用電器B實際消耗的功率小于2.0 W的條件（設電阻不隨溫度改變）.

解析 不可能.因為當電路的內、外電阻相等時，電源有最大輸出功率，在一般情況下，對電源同一輸出功率，外電阻有兩個值.由題意知

用電器A的電阻RA=U2APA=1022.0Ω=50 Ω，用電器B的電阻RB=U2BPB=1025Ω=20 Ω.

當A接到電源上時，消耗的概率P1為額定功率，所以有P1=（ERA+r）2RA=2.0 W.

換為用電器B時，B消耗的功率P2=（ERB+r）2RB<2.0 W.

由上述兩式可解得（取合理值）r>1010Ω，E>（10+21-） V.

圖9例9 如圖9所示，一個半徑為R的光滑半圓固定在磁感應強度為B的勻強磁場中，一個質量為m的帶正電小球，從半球頂由靜止沿左側滑下且始終未脫離球面，求其電量的最小值.

解析 小球始終未脫離球面的條件是N≥0恒成立.設某時刻小球重力與所受洛侖茲力之間夾角為θ，則根據題意可列方程：

mgR（1-cosθ）=12mv2

①

Bqv+mgcosθ-N=mv2R

②

由①得cosθ=1-v22gR，將其代入②可得N=-3mv22R+Bqv+mg

圖10

由于a=-3m2R<0，故拋物線開口向下，如圖10所示.要使N≥0恒成立，必須當v=0和v=2gR時，N≥0；當v=0時，N=mg>0；當

v=2gR時，N=-2mg+Bq2gR≥0，所以q≥m2gRBR.

圖11例10 如圖11所示的兩種電路中，電源相同，各電阻器阻值相等，各電流表的內阻相等且不能忽略不計.電流表A1、A2、A3和A4的示數分別為I1、I2、I3和I4，則下列關系式正確的是（ ）.

A. I1=I3 B. I1

C. I2=2I1 D. I2

解析 從電路圖和各選項可以看出，選項A比較的是對應電阻上的電流，只要A選項的比較結果能夠確定，則選項B就容易判斷了.選項C是比較同一電路中干路電流與支路電流之間的關系，顯然不正確；選項D是比較兩電路中的總電流，這是本題的關鍵所在.若不采用簡化的方法，比較兩電路的總電阻很復雜.下面通過不等簡化巧妙地進行比較.

假設A1電阻為零，并設每只電流表的內阻為rA，電源內阻為r，則由電阻串、并聯知識可知（甲）、（乙）兩電路的總電阻R甲>r+（rA+R2），R乙=r+R+r2，據此可知R甲>R乙.由閉合電路歐姆定律可知I2

由此可見，在求解物理問題時，常常會用到不等式.當然，不等式在求解物理問題中的應用還有很多，只要我們在學習的過程中，善于思考，勤于觀察，靈活運用，就會通過解題技巧，收到好的效果.（收稿日期：2015-11-10）