探究球入盒類型的排列組合題

華騰飛

排列組合中，有一類類似于球入盒問題，如何快速、準確地求解此類問題呢？求解此類問題的關鍵是要弄清楚：球的“同”與“不同”、盒子的“同”與“不同”. 下面分類例析，相信同學們定會從中受到啟示，掌握求解此類問題的技巧，從而提高分析問題和解決問題的能力.

將不同小球放入不同的盒中

1. 球少盒多型

求解此種類型的問題，通常利用分步計數原理或排列的方法.

例1 若將3個不同的小球放入4個不同的盒子里，有幾種不同的放法？

解析 可分三步完成，由于每一個球都有4種放法，所以共有[43=64]種不同的放法.

例2 若將3個不同的小球放入4個不同的盒子中，每盒至多放一個，有多少種不同的放法？

解析 將盒子看作元素，即從4個不同的盒子里任意取3個放入3個不同的小球，這顯然是排列問題. 因此共有[A34=24]種不同的放法.

2. 球多盒少且每盒至少放一球型

求解此類問題的方法是先分組，然后排列.

例3 把4本不同的書獎給3名同學，每個人至少得1本，共有多少種不同的獎勵方法？

解析 分配方案為“2，1，1”，即一個盒子放2個球，另兩個盒子各放一個球. 將某兩個球合為一體，球的搭配有[C24]種方法. 盒子的選擇則為三個數字的全排列，即[A33]. 綜上可得，[C24?A33=36]種不同的獎勵方法.

例4 將4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有多少種？

解析 “恰好型”問題實際上確定了分配方案. 本題的分配方案為“2，1，1，0”，共有[C24?A34=144]種不同的放法.

3. 球與盒個數相同

例5 若將4個不同的小球放入4個不同的盒子里，每盒至少放一個，有多少種不同的放法？……