有序探尋 優(yōu)化思維
——以《包裝的學(xué)問(wèn)》教學(xué)為例

●謝輝蘭

有序探尋 優(yōu)化思維
——以《包裝的學(xué)問(wèn)》教學(xué)為例

●謝輝蘭

包裝的學(xué)問(wèn)》是北師大版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”領(lǐng)域的內(nèi)容，如何遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生有序探尋，讓學(xué)生經(jīng)歷多樣化的包裝方法，體驗(yàn)策略的多樣化，然后有效對(duì)比，發(fā)現(xiàn)“重疊面積越大越節(jié)約包裝紙”的規(guī)律，發(fā)展優(yōu)化思想呢？

一、活用經(jīng)驗(yàn)

一盒糖果的成功包裝是后續(xù)包裝多盒的基礎(chǔ)。教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：兒童節(jié)快到了，班上的玲玲同學(xué)想用一張精美的包裝紙把一盒糖果（長(zhǎng)是20厘米、寬是15厘米、高是5厘米）包裝起來(lái)，當(dāng)作神秘的禮物送給“手拉手”欄目線下的一個(gè)小朋友，你能幫忙算算需要多少包裝紙嗎？有學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)算出該長(zhǎng)方體的表面積是（20×15+ 20×5+15×5）×2=950平方厘米，得出需要950平方厘米的包裝紙。這時(shí)有學(xué)生提出質(zhì)疑，因?yàn)閷?shí)際包裝過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生接頭，所用的包裝紙的表面積會(huì)大于950平方厘米。經(jīng)過(guò)討論，師生達(dá)成一致意見(jiàn)：為方便計(jì)算，所需包裝紙的面積一律按長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算，且根據(jù)同一長(zhǎng)方體中各個(gè)面的面積大小，將三個(gè)面依次命名為大面（20×15）、中面（20×5）、小面（15×5）。

此處，教師有意識(shí)將解決生活中需要多少包裝紙與長(zhǎng)方體的表面積聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生意識(shí)到所用包裝紙的實(shí)際面積比糖果盒的表面積大，在接口處不計(jì)的前提下，包裝紙的面積就是糖果盒的表面積。這不僅為探尋怎樣包裝最節(jié)約包裝紙掃清了認(rèn)知障礙，而且為后面交流包裝方式（重疊了哪個(gè)面）做了必要的鋪墊。

二、操作演算

通過(guò)以上鋪墊，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：如果將這樣的兩盒糖果包成一包（接口處不計(jì)），怎樣包裝才能節(jié)約包裝紙？學(xué)生運(yùn)用學(xué)具，分組合作探究?jī)珊刑枪梢话陌b方法，發(fā)現(xiàn)共有三種方法：大面重疊；中面重疊；小面重疊。筆者讓學(xué)生猜想：哪種方法最節(jié)約包裝紙呢？為什么？學(xué)生指出大面重疊最節(jié)約包裝紙，因?yàn)檫@種方法被遮住的面積最大。如何驗(yàn)證這一猜想呢？學(xué)生想到了計(jì)算兩盒疊放后長(zhǎng)方體的表面積，要么先求出每個(gè)新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，再計(jì)算出它的表面積；要么利用露在外面的面求出它的表面積，比如大面重疊，露在外面的就有4個(gè)中面，4個(gè)小面和2個(gè)大面，把這些面的面積加起來(lái)就是大面重疊后新的長(zhǎng)方體的表面積；要么用兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和減去兩個(gè)重疊面的面積之和。計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第三種算法最簡(jiǎn)便，并列式計(jì)算出大面重疊后新長(zhǎng)方體的表面積是1300平方厘米（950×2-20×15×2）；中面重疊是1700平方厘米（950×2-20× 5×2）；小面重疊是1750平方厘米（950×2-15×5×2）。計(jì)算比較后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)確實(shí)是大面重疊最節(jié)省包裝紙。究其原因，是因?yàn)榇竺嬷丿B減去的面積多，剩下的面積少，而小面重疊減去的面積少，剩下的面積多，所以大面重疊最節(jié)約包裝紙。要知道怎樣最節(jié)約包裝紙，只要看重疊的面積。

面對(duì)三種包裝策略，從節(jié)約包裝紙的角度來(lái)尋求最優(yōu)的方法，需要學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)合理猜測(cè)，然后通過(guò)計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)比。而計(jì)算的方法是多樣化的，教師引導(dǎo)學(xué)生側(cè)重關(guān)注了“總面積減去重疊面積”這種方法，采用追問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算結(jié)果，然后反觀其過(guò)程，使學(xué)生聚焦重疊面積的大小與表面積大小之間的關(guān)系，體驗(yàn)到重疊大面最節(jié)約包裝紙，由表及里地把學(xué)生的思維引向深入，優(yōu)化了思考問(wèn)題的途徑，發(fā)展了推理能力和反思能力，為后續(xù)探究道路指明了方向。

三、破除定勢(shì)

學(xué)生知道包裝兩盒重疊大面最節(jié)約后，筆者讓學(xué)生思考，包裝三盒怎樣最節(jié)約呢？根據(jù)先前的經(jīng)驗(yàn)，剛開(kāi)始學(xué)生發(fā)現(xiàn)共有三種方法：4個(gè)大面重疊、4個(gè)中面重疊和4個(gè)小面重疊，其中，4個(gè)大面重疊最節(jié)約包裝紙。之后，為了讓學(xué)生意識(shí)到兩個(gè)中面之和與一個(gè)大面相等的情況下還可以有另外包裝的方式，于是拿出事先準(zhǔn)備好的大面（20× 10）、中面（20×5）、小面（10×5）相同的3個(gè)盒子，詢問(wèn)學(xué)生除了大家想到三種方式，還可以怎樣擺？學(xué)生很快意識(shí)到還可以先重疊其中2個(gè)大面，再讓另1個(gè)大面與2個(gè)中面重合的包裝方式。這樣看起來(lái)就重疊了3個(gè)大面，2個(gè)中面，不同于前三種包裝方式，那么是不是這種方法比前面三種方法更節(jié)約包裝紙呢？再讓學(xué)生想一想、算一算，學(xué)生在觀察、思考、演算中發(fā)現(xiàn)2個(gè)中面之和與1個(gè)大面正好重合，相當(dāng)于還是重疊了4個(gè)大面。這樣，大面重疊最節(jié)約包裝紙的經(jīng)驗(yàn)對(duì)于包裝盒個(gè)數(shù)多的情況不是唯一的，有些情況下還可能不成立。

把重疊大面最節(jié)約包裝紙的經(jīng)驗(yàn)和方法遷移到解決三個(gè)糖果盒包一包的問(wèn)題上來(lái)，具有一定的可取性，但也是片面的。如何讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到重疊面積越大越節(jié)約包裝紙而不是重疊大面最節(jié)約包裝紙呢？教師設(shè)計(jì)了三個(gè)特殊包裝盒包成一包，演示了常見(jiàn)的三種方式和特殊的包裝方式（重疊3個(gè)大面，2個(gè)中面），打破了學(xué)生既有的“重疊大面最節(jié)約包裝紙”的思維定勢(shì)，讓學(xué)生不斷調(diào)整思路，逐層深入，優(yōu)化方法，把握問(wèn)題的核心，關(guān)注重疊面積的大小。

四、分析推理

在探討四盒糖果的包裝方案時(shí)，學(xué)生分析出六種方案（如下圖）：①6個(gè)大面重疊；②6個(gè)中面重疊；③6個(gè)小面重疊；④4個(gè)大面4個(gè)中面重疊；⑤4個(gè)中面4個(gè)小面重疊；⑥4個(gè)大面4個(gè)小面重疊。

根據(jù)圖示和先前經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)最先排除的是方案②③⑤⑥，方案1中重疊了6個(gè)大面，方案4中重疊了4個(gè)大面和4個(gè)中面，不好判斷哪種方案更合理。經(jīng)過(guò)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)方案①和方案④中都有四個(gè)大面，只需比較剩下的2個(gè)大面和4個(gè)中面，最終可轉(zhuǎn)化成比較1個(gè)大面和2個(gè)中面的面積大小。如果1個(gè)大面的面積大于2個(gè)中面的面積，那么方案①最佳；如果1個(gè)大面的面積等于2個(gè)中面的面積，這兩種方案都可行；如果1個(gè)大面的面積小于2個(gè)中面的面積，那么方案④最佳。筆者讓學(xué)生結(jié)合以上操作經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勛约涸诠?jié)約包裝方面的體會(huì)。經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：重疊面積越大越節(jié)約包裝紙，首先考慮大面的多次重疊，其次是重疊的面數(shù)盡量多。

（作者單位：宜都市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯 孫愛(ài)蓉