一道課本例題的再思考
——靈活運用特殊平行四邊形的性質與判定

王金坤

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一道課本例題的再思考
——靈活運用特殊平行四邊形的性質與判定

王金坤

蘇科版八（下）80頁例4：

已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.

【評析】本例題在教材中安排在菱形的判定后.要證明菱形，可以先證明平行四邊形，再證對角線互相垂直即可.課本上的解法是：

∵AD∥BC，∴∠1=∠2.

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF.

∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.

∴四邊形AFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

又∵EF⊥AC，

∴?AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

【反思】還能不能用其它方法證明菱形呢？答案是肯定的，在證得四邊形AFCE是平行四邊形后，可以得到AE=CF，而題目中已知EF垂直平分AC，所以AE=CE，AF= CF，這樣就可以得到AE=CE=CF=AF.根據四邊相等的四邊形是菱形得到結論.當然我們也可以利用菱形的定義即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形來證明.

【深入探究】

變式1如圖2，矩形ABCD（AD>AB），對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點E、F，分別連接AF和CE.

（1）證明：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AB=4 cm，BC=8 cm，求BF的長.

圖2

【評析】菱形的性質和判定是在學習了矩形的相關知識之后，所以當題目中的條件由直接的AD∥BC換成矩形ABCD后，增加了難度.我們先要利用矩形的性質得到平行，再利用全等證平行四邊形，進而證得菱形.

【解答】證明：如圖3，設AC、EF相交于點O，

圖3

（1）矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠2.

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF.

∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.

∴四邊形AFCE是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

又∵EF⊥AC，

∴?AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.

（2）∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=CF.設BF=x，

則CF=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

∴42+x2=（8-x）2，

∴x=3.即BF=3 cm.

變式2數學實驗：你能用一張長方形紙片折疊出一個菱形嗎？試試看？

【評析】我們可以按照變式1的方法，先折出一條對角線，再折出這條對角線的垂直平分線，最后沿著一些折痕，可以得到一個菱形.

【解答】如圖4，先折出一條對角線AC，再折出AC的垂直平分線E，F，接著沿CE，AF折疊并剪開，得到一個四邊形AECF，則這個四邊形是菱形.（證明的方法同變式1）

圖4

變式3在?ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連接EG、GF、FH、HE.

（1）如圖5，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

圖5

（2）如圖6，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是_______；

圖6

（3）如圖7，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是_______；

圖7

（4）如圖8，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.

圖8

【評析】（1）由于平行四邊形對角線的交點是它的對稱中心，即可得到OE=OF，OG= OH，然后再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判斷EGFH的形狀.

（2）當EF⊥GH時，平行四邊形EGFH的對角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形.

（3）當AC=BD時，對四邊形EGFH的形狀不會產生影響，故結論同（2）；

（4）當AC=BD且AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形，則對角線相等且互相垂直平分；

可通過證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對角線相等，根據對角線相等的菱形是正方形即可判斷出四邊形EGFH的形狀.

【解答】（1）平行四邊形；（2）菱形；（3）菱形；（4）正方形.

解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形.

證明：∵?ABCD的對角線AC、BD交于點O.

∴點O是?ABCD的對稱中心.

∴EO=FO，GO=HO.

∴四邊形EGFH是平行四邊形.

（2）菱形.

（3）菱形.

（4）四邊形EGFH是正方形.∵AC=BD，

∴?ABCD是菱形.又∵AC⊥BD，

∴?ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO =45°. OB=OC.

∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°.

∴∠BOG=∠COF.∴△BOG≌△COF.

∴OG=OF，∴GH=EF.

由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，

又∵EF⊥GH，EF=GH.∴四邊形EGFH是正方形.

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校）