基于功能截面分解的大型橫梁拓撲優化

吳鳳和　史紅亮　許曉鵬　范俊偉

燕山大學，秦皇島，066004

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吳鳳和史紅亮許曉鵬范俊偉

燕山大學，秦皇島，066004

摘要：針對復雜載荷工況下橫梁等大型三維結構件拓撲優化結果可讀性差、無法對結構優化提供有效指導的問題，提出基于功能截面分解的拓撲優化方法。基于力的分解與等效原理，將三維實體分解為三個平面內的二維功能截面，根據各功能截面的受力方式確定其抗彎或抗扭屬性；在此基礎上，分別對兩個主要承載的功能截面進行二維拓撲優化分析，并綜合二維功能截面分析結果完成三維實體的整體拓撲優化，實現了將三維實體拓撲優化問題轉化為二維功能截面的拓撲優化問題。以CXK5463車銑加工中心橫梁為例，對結構拓撲優化效果進行了驗證，仿真實驗結果表明，功能截面分解方法可以得到清晰的應力傳遞路徑，在保證橫梁靜動態特性基本穩定的基礎上，橫梁減重12.67%，優化效果較為明顯。提出的方法可為大型、重型復雜結構件的拓撲優化研究提供借鑒與參考。

關鍵詞：拓撲優化；橫梁；功能截面；有限元分析

0引言

橫梁是車銑加工中心等大型機床的重要部件，其上通常安裝主軸等關鍵功能部件，因此，其靜動態性能將直接影響機床精度。為提高橫梁的靜動態性能，可采用拓撲優化及尺寸優化等方法對其進行結構優化。近年來，國內外在結構優化方面取得了一系列成果。張氫等[1]提出了一種“整體層-局部層”的兩層優化模型，并對浮吊金屬結構的整體進行了結構優化；王欣等[2]采用材料變密度的方法對起重機臂截面結構進行了拓撲優化設計；饒柳生等[3]基于相對密度法對機床立柱的筋板進行了優化設計；隋允康等[4-7]提出ICM(獨立、連續、映射)方法，并基于此方法成功地對多工況下剛架及三維連續體進行了結構拓撲優化；滿佳等[8]提出了一種基于元結構的數控機床結構優化設計方法，并以內齒輪銑齒機床的立柱為例進行了優化設計；文獻[9-11]采用尺寸優化的方法對結構件進行優化設計。由于機床橫梁的內部壁板等呈復雜三維結構，且橫梁在工作時承受的是復雜空間載荷，故而采用上述傳統拓撲優化方法進行橫梁結構優化設計很難得到滿意的結果。

針對大型結構件的拓撲優化問題，王曉煜等[12]提出了一種結構拓撲優化新方法，根據受力情況將龍門加工中心橫梁部件分解為縱、橫截面，對兩個截面的筋肋分布形式分別進行拓撲優化，根據截面拓撲優化模型建立了橫梁的三維優化模型，但該方法僅優化了豎直截面上的筋肋布置形式，未將其他兩個截面的拓撲優化融入到優化模型中，優化結果不夠充分；Querin等[13]、榮見華等[14]發展了雙方向漸進結構優化法，通過應力靈敏度來考慮全局應力的影響，減緩了ESO法基于局部應力的限制，提高了探索全局優化解的能力，然而在實施過程中會出現少量孤立體的奇異結構，使得結構拓撲優化無法進行，因此，該方法僅適合一些簡單三維結構的拓撲優化設計；Chen等[15]將遺傳算法應用到連續體結構的拓撲優化中，為解決二維和三維連續體結構拓撲優化問題提供了較好的方法，但該算法需要大量的計算時間；榮見華等[16-19]對不同應力準則下連續體結構的拓撲優化方法進行了研究，并提出了一種基于人工材料的雙向漸進結構優化方法用來改善優化過程中的數值計算問題，將相應的漸進結構優化方法進一步推廣到了三維結構優化中；孔文秦[20]針對應力約束問題，提出了在優化迭代中允許大量添加單元的算法，增強了尋找優化傳力路徑、獲得優化拓撲和形狀的能力，避免了優化過早地收斂到局部最優解。上述研究雖然在多載荷工況下的三維機械結構的拓撲優化方面取得了一定的進展，但卻存在常常得到局部最優解而非全局最優解的缺點，使拓撲優化概念模型可讀性差，無法為結構優化設計提供有效指導。另外，現有研究大多局限于單一載荷工況下的拓撲優化或二維結構拓撲優化，而針對復雜載荷工況下的三維結構拓撲優化問題則研究得很少。

在上述背景下，本文以CXK5463型車銑加工中心的橫梁為研究對象，開展復雜載荷工況下大型結構件三維拓撲優化研究，根據力的分解及等效原理，提出基于功能截面分解的拓撲優化方法。

1復雜載荷工況下大型結構件拓撲優化存在的問題

圖1　CXK5463龍門移動式車銑加工中心外觀圖

圖2　橫梁結構模型圖

圖3　橫梁內部結構爆炸示意圖

本文以CXK5463車銑加工中心橫梁為例對復雜載荷工況下大型結構件拓撲優化問題進行說明。CXK5463車銑加工中心為重型金屬切削數控機床，主要用于核電關鍵零件水室封頭的特殊內外形的精確加工。如圖1所示，該機床采用動梁龍門移動布局，由左右床身、左右滑座、左右立柱、連接梁、橫梁、旋轉工作臺、溜板箱、轉盤、銑削主軸箱、滑枕等部件組成。橫梁部件(圖2)可在龍門架上沿導軌面實現垂直方向移動，主要由橫梁、滑鞍、滑動組件等組成。橫梁長度10.4 m，跨距7.5 m，寬1.28 m，高1.8 m，根據橫梁受力情況和傳統結構設計方法，內部設置以井字形為主的加強筋板，內部筋板設置情況如圖3所示。如圖4所示，機床橫梁部件受力結構為兩點簡支梁支承，橫梁部件在工作時所承受的復雜空間載荷包括加工時產生的切削力、自身重力、移動部件和固定部件相對運動時導軌面間的摩擦力、連接大件和移動部件間的連接力、慣性力、沖擊或振動干擾力以及溫度升高時產生的熱應力。除了橫梁結構本身自重造成穩定變形以外，當橫梁上的滑動部件從一端移動到其他位置時，也會引起橫梁不穩定的彎曲變形。此外，由于結構的原因，滑枕及主軸箱呈懸臂結構，其重力形成的彎矩也使橫梁產生扭轉變形，引起主軸箱前傾。橫梁在垂直方向上的剛度對機床總剛度影響很大。剛度小的橫梁其變形量有時可占到機床綜合變形量的20%～40%，其中，又以扭轉變形為主，約占60%。

圖4　橫梁約束與載荷設置示意圖

考慮到拓撲優化過程中應設置為機床常態下的負載條件，因此設置橫梁受到自身重力作用，移動部件的重力以遠端力的形式施加在橫梁與滑動部件接觸的導軌上表面，加載位置為移動部件的質心坐標處；將橫梁與立柱的兩個結合面設置為固定邊界條件。載荷施加情況如圖4所示。

根據退化原理，橫梁結構需要事先“填充”成實心作為退化計算的設計空間，如圖5所示。為了得到拓撲優化的合理筋板參數，橫梁實心模型的網格尺寸應盡可能地精細。經過多次試算，單元數量控制在40萬個以內，在設定目標質量為橫梁原型的60%時得到圖6所示的建議保留的結構。

圖5　橫梁實心體優化空間模型

圖6　橫梁三維實心模型的拓撲優化結果

從橫梁三維實心體拓撲優化結果來看，拓撲建議的橫梁內部結構過于單一，材料聚集嚴重，可讀性差，不能為橫梁內部筋板的合理設計提供指導。這也體現了復雜應力工況下大型結構件三維拓撲優化常常得到局部最優解而非全局最優解的問題。因此，有必要尋求拓撲優化新途徑，得到清晰的應力傳遞路徑，為大型結構件整體形貌和筋肋合理布置提供有效指導。

2功能截面分解法

2.1功能截面分解法原理

根據理論力學相關原理，承受復雜載荷物體的受力情況可簡化為圖7所示的情況，通過選取物體上的一點(例如結構件的質心，圖7為第一象限圖)作為原點建立直角坐標系Oxyz，將空間力系簡化到這一點，就可以將主矢與主矩分解到坐標系的三個坐標軸上。

圖7　功能截面分解法示意圖

以圖7所示的受力情況為例，本文將XY平面、XZ平面、YZ平面定義為二維功能截面，其中XY平面為分力Fz的抗彎功能截面以及分力矩Moz的抗扭功能截面；XZ平面為分力Fy的抗彎功能截面以及分力矩Moy的抗扭功能截面；YZ平面為分力Fx的抗彎功能截面以及分力矩Mox的抗扭功能截面，如表1所示。取Fx、Fy、Fz中最大分力所對應的平面為主要抗彎功能截面；取Mox、Moy、Moz中最大分力矩所對應的平面為主要抗扭功能截面。主要抗彎功能截面和主要抗扭功能截面作為兩個主要功能截面，第三個平面作為次要功能截面；當主要抗彎功能截面與主要抗扭功能截面為同一個截面時，此截面作為主要功能截面，而第二個主要功能截面根據分力影響較大還是分力矩影響較大，來選取第二大的分力或分力矩所對應的平面，最后一個平面作為次要功能截面。

表1　功能截面與分力及分力矩關系

2.2基于功能截面分解的拓撲優化步驟

基于功能截面分解的拓撲優化步驟如下：①假設物體分別受力F及力矩M(圖7中未標出)作用，受力分析結果如圖7所示；②假設Fx≥Fy≥Fz且Moz≥Moy≥Mox，則YZ截面為主要抗彎功能截面，XY截面為主要抗扭功能截面，XZ截面為次要功能截面；③分別對YZ截面和XY截面進行截面拓撲優化；④根據XY、YZ兩個主要二維功能截面的拓撲優化結果，綜合建立三維初始原型，再針對先前未考慮的XZ次要功能截面進行整體三維拓撲優化，最終完成大型機械結構件的三維拓撲優化并校驗優化效果。

應用該方法可解決復雜載荷工況下零部件三維結構拓撲優化模型可讀性差的問題，在結構設計初期可提供有效的指導。

3基于二維功能截面分解的橫梁拓撲優化過程

3.1基于功能截面分解的機床橫梁拓撲優化步驟

本文以機床橫梁為例開展基于功能截面分解的大型結構件拓撲優化研究，具體步驟如下(圖8)：

圖8　基于功能截面分解的橫梁拓撲優化設計技術路線

(1)受力分析。以橫梁的質心為原點建立圖7所示的坐標系，根據力的平移原理，橫梁常態下的多個復雜載荷可以等效為兩個負載，即垂直向下的壓力和作用在接觸面上的轉矩。

(2)確定主要、次要功能截面。垂直向下的壓力導致橫梁的彎曲變形，轉矩導致橫梁的扭轉變形，因此可以認為，在靜載荷作用下橫梁的主要功能為抵抗整體彎曲變形和扭轉變形。從三維空間解耦的角度看，YZ平面上的材料主要承擔抵抗整體彎曲變形的功能，XZ平面上的材料主要承擔抵抗扭轉變形的功能，而XY平面雖然擁有抵抗整體彎曲變形和扭轉變形的能力，但不承擔主要的等效負載，為次要功能截面，可暫不考慮。

(3)對主要功能截面進行拓撲優化。因為簡單應力下二維平面拓撲優化可以得到清晰的符合工程實際的拓撲概念模型，所以可以近似地將YZ平面(抗彎功能截面)與垂直向下的負載相對應，進行抗彎功能截面上的二維拓撲優化；再將XZ平面(抗扭功能截面)與扭矩負載相對應，進行抗扭功能截面上的二維拓撲優化，以尋找最優的截面形狀。

(4) 綜合主要、次要功能截面的拓撲優化。將抗彎功能截面和抗扭功能截面的拓撲模型綜合起來，并針對先前未考慮的XY功能截面，進行整體三維拓撲優化，最終完成橫梁三維形貌優化構型。

為了使截面厚度尺寸不影響求解效果，本文對橫梁厚度取較小尺寸。經過數次拓撲優化試算，擬定截面設置方案如下：

(1)圖9所示為抗彎功能截面，即YZ拓撲截面，其截面尺寸為6850mm×1580mm，截面厚度取10mm。

(2)圖10所示為抗扭功能截面，即XZ拓撲截面，其截面形狀按原橫梁外形建模，截面厚度取10mm，并按立柱導軌面分割為Ⅰ、Ⅱ兩個截面。

圖9　抗彎功能截面(YZ拓撲截面)

圖10　抗扭功能截面(XZ拓撲截面)

3.2二維拓撲概念模型

二維截面的拓撲優化采用實體單元Solid186網格劃分，單元尺寸控制在10mm以內。對截面施加相同的約束，并分別施加彎曲載荷(重力)、扭轉載荷(遠端力)。拓撲優化材料去除率設置為60%～80%，拓撲優化建議保留的結構如圖11、圖12所示，其中，小圓圈出部分為建議去除的材料。

(a)材料去除率為75%

(b)材料去除率為65%圖11　抗彎功能截面(YZ截面)的拓撲優化建議結構

(a)XZ-Ⅰ截面拓撲結果　(b)XZ-Ⅱ截面拓撲結果(c)Ⅰ、Ⅱ截面疊加后的拓撲結果圖12　抗扭功能截面(XZ截面)的拓撲優化建議結構(隱去上下導軌)

3.3橫梁三維概念設計模型的建立

對二維功能截面拓撲優化的結果進行分析和討論，得到如下結論：

(1)抗彎功能截面拓撲優化結果(圖11)顯示了橫梁YZ截面的建議筋板布置形式。左右支撐部位由X形筋板構成，支撐部位需要加強筋；中部由形狀為“八”字形的筋板構成，且在中部的橫梁的上下頂板較厚。

(2)抗扭功能截面拓撲優化結果(圖12)顯示了橫梁XZ截面的建議外形形狀。橫梁后部外形筋板的各邊角應倒角化，以利于扭矩在形狀方向上的流動，減小應力集中；前部筋板應相應去除邊角，以配合截面形狀倒角化，根據制造性要求，前部筋板的孔洞暫不設置。

由此可見，橫梁功能截面的二維拓撲優化結果較為清晰，為形狀優化設計提供了良好的方向指導。按照拓撲優化的結果，建立抗彎功能截面(YZ截面)和抗扭功能截面(XZ截面)的優化構型，如圖13、圖14所示。

圖13　YZ截面內部筋板布置的概念構型

(a)原橫梁XZ截面外形

(b)根據拓撲優化修改后XZ截面外形圖14　XZ截面外形的形狀優化構型

按照二維功能截面拓撲優化得到的截面優化結構，建立基于拓撲優化的橫梁優化設計三維初始原型。針對前面2D截面拓撲優化無法解決XY截面材料分布的問題，對初始原型再進行三維拓撲優化，從而有針對性地對初始原型的筋板布置及外形形狀作進一步修改。再拓撲優化結果如圖15所示。

圖15　初始原型的再拓撲優化建議去除結構

對初始原型再拓撲優化結果進行分析，可以看出，初始原型的三維拓撲優化結果具有很強的針對性，可以按照拓撲優化的建議進一步修改初始原型。圖15顯示,在XY截面上，橫梁頂部的筋板的邊角部分可以去除(圖中方框所示)，根據該建議進一步修改橫梁的外形形狀，結果如圖16所示。

(a)原橫梁XY截面外形

(b)根據拓撲優化修改后XY截面外形圖16　XY截面外形的形狀優化構型

綜合上述橫梁三個截面上的分析與優化結果，建立橫梁的三維形狀優化模型如圖17所示。

圖17　基于拓撲優化的橫梁結構形狀優化構型(隱去上下導軌)

3.4橫梁結構優化及優化效果驗證

3.4.1橫梁結構的多目標參數優化

根據得到的基于拓撲優化的橫梁三維概念設計的結構原型，將結構原型的筋板布局和尺寸參數作為優化變量，按照靜態、動態特性分析的方法施加相應的約束和載荷，取質量最小、最大位移最小和一階固有頻率最大為多目標優化問題的三個優化目標，在ANSYSDesignXplorer中進行優化設計。

在Pro/Engineer中建立橫梁結構原型的CAD參數化模型，把需要優化的尺寸參數按照AWE與CAD數據傳遞規則進行重命名，以便在AWE中得到相應的參數變量作為原始設計變量。建立的橫梁CAD模型參數示意如圖18所示，原始設計如表2所示。其中，Angle1～Angle5為角度參數，L1、L2為寬度參數，T3～T6為厚度參數。

(a)XY、XZ截面上的參數示意

(b)YZ截面上的參數示意圖18　橫梁結構的參數示意圖

位置參數名初值橫梁頂蓋(XY、XZ截面)Angle1(°)45Angle2(°)45L1(mm)300L2(mm)300Angle3(°)15內部筋板(YZ截面)Angle4(°)40T3(mm)30T4(mm)30Angle5(°)70T5(mm)30T6(mm)30

表3所示為橫梁多目標參數優化的原始輸出參數。最大位移響應Def_Total表征橫梁結構的總體靜剛度情況，應越小越好；橫梁總體質量Mass一定程度上體現了橫梁的制造成本和輕量化目標，應越小越好；提高機床一階固有頻率Freq_1是提高機床剛性、避免共振、降低振幅的有效措施，應越大越好。所以選擇Def_Total、Mass和Freq_1三個參數作為多目標參數優化的目標參數。表3中，Def_X 、Def_Z 分別為橫梁X、Z方向的靜態最大位移響應，Def_Total為橫梁靜態最大位移響應，Equa_Stress為最大等效應力。

表3　橫梁多目標參數優化的原始輸出參數

注：“√”表示選擇該參數為目標參數；“—”表示不選擇該參數為目標參數。

為了有效地進行結構多目標參數優化，本文采用設計參數的靈敏度分析(又稱敏度分析)，選擇那些對動靜態特性影響較大的設計參數作為設計變量，并依據靈敏度值的大小和正負，對設計參數進行修正。將Angle4、T3、T4、T5、T6、Angle5作為設計變量，獲得橫梁多目標參數優化的最優解。最優解圓整結果如表4所示。

表4　橫梁多目標參數優化的最優解

注：“√”表示選擇該參數作為相應的變量；“—”表示該參數不予選擇。

按照橫梁的吊裝、裝配等實際要求進行小范圍局部修補，最終優化后橫梁內部結構(隱藏上下導軌)如圖19所示。

圖19　橫梁優化后結構模型(上下導軌隱藏)

3.4.2橫梁優化效果驗證

為驗證優化效果，對拓撲優化前后的橫梁部件的靜動態特性進行有限元分析。圖20所示為靜剛度對比結果。

圖20　優化前后橫梁在Y方向上最大位移響應曲線對比

優化后橫梁部件在滑動部件不同Y行程下最大位移響應值如圖21如示，其中，DP1～DP11為滑動部件在橫梁Y向行程時在橫梁Y向上選取的11個關鍵位置點，P1-Plane4.H5為橫梁與溜板箱配合面在橫梁上的坐標，P2-DS_journeyY為滑枕組件在橫梁上Y向的行程。根據計算的結果繪制優化前后該響應值的曲線如圖22所示。

圖21　優化后滑動部件在不同Y行程下橫梁最大位移響應值

圖22　優化前后滑動部件在不同Y行程下橫梁最大位移響應曲線對比

由圖20和圖22所示橫梁零件、部件的靜態響應曲線可知，優化前后橫梁零件、部件的變形量均明顯減小，尤其在橫梁的中部附近減小明顯，表明橫梁的靜剛度在其中部附近提高明顯。取Y向行程3700mm即滑動部件在橫梁中央位置時的各靜態特性參數結果進行對比，以驗證橫梁結構優化設計的效果，如表5所示。

表5　橫梁結構優化前后的靜態特性和質量對比

對優化前后的橫梁結構做模態分析比較，橫梁結構前6階固有頻率對比如表6所示。從對比數據可知，優化后的橫梁結構在靜動態特性上均較優化前得到明顯提升，橫梁靜態最大位移響應減小19.82%，最大應力值也遠小于許用應力；在動態特性方面，除第6階固有頻率有3.64%的下降以外，前5階固有頻率均有提高，動態性能有所提高。可見，通過對橫梁的拓所撲優化和尺寸優化，不僅實現了橫梁的輕量化，也提高了橫梁的基頻。

表6　橫梁結構優化前后的固有頻率對比

4結論

(1)本文采用功能截面分解法研究了處于復雜應力工況下的機械結構件三維拓撲優化問題。功能截面分解法可將復雜載荷等效分解為多個簡單載荷并分別與擬定出的橫梁二維功能截面進行功能對應，實現將三維拓撲優化問題轉化成為二維功能截面的拓撲優化問題，能夠得到清晰而又具有指導意義的優化設計概念模型，避免了傳統三維實體拓撲優化結果材料聚集嚴重、可讀性差的問題。

(2)利用功能截面分解法對處于重力及彎矩載荷下的算例進行了拓撲優化計算，得到了同時滿足靜動態性能和輕量化要求的最優結構，驗證了本文優化方法對大型、重型復雜機械結構優化設計的實用性。

(3)由于大型結構件工況條件的復雜與多樣性，個別構件的工況可能因某種程度的耦合而無法進行功能截面分解，對于此種情況尚需探索其他方法。

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(編輯蘇衛國)

Topology Optimization of Large Crossbeam Based on Decomposition of Functional Sections

Wu FengheShi HongliangXu XiaopengFan Junwei

Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei, 066004

Abstract:According to the poor readability of a three-dimensional structural topology optimization model for crossbeam with complex load conditions and the difficulty to get an effective guidance on structure optimization, a decomposition of the functional sections topology optimization method was proposed. Based on the principles of decomposition and equivalence of forces, the three-dimensional solid was decomposed into two-dimensional functional sections in three planes. The properties of resistance to bend or torsion were determined according the stress modes of each functional section; then the two-dimensional topology optimization of each of the two main functional sections was analyzed. The topology optimization of the three-dimensional solid might be accomplished by integrating the results of the analysis. At last, the goal that converting 3D topology optimization into 2D topology optimization might be completed. The crossbeam of turning-milling machining center CXK5463 was used as an example to verify the effect of the proposed method. The simulation results show that: a clear stress transfer path may be got, keeping the static and a dynamic characteristics of the crossbeam stable. The total weight is reduced by 12.67%. The results of the topology optimization are obvious and the helpful instruction and reference may be provided for the topology optimization of large-heavy complex machinery by this method.

Key words:topology optimization; crossbeam; functional section; finite element andysis(FEA)

收稿日期：2015-07-08

基金項目：國家科技重大專項(2013ZX04001-041)；國家自然科學基金資助項目(51405427)

中圖分類號：TG542

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.10.011

作者簡介：吳鳳和，男，1968年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為數字化設計制造、智能制造。授權發明專利2項。發表論文60余篇。史紅亮，男，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。許曉鵬，男，1987年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。范俊偉，男，1989年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。