坐標變換系數的選取及對電機控制算法的影響

陳晟偉，　魯　力，　姜淑忠

(1. 上海交通大學 電氣工程系，上?！?00240；2. 浙江西子富沃德電機有限公司，浙江 臨安　311305)

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坐標變換系數的選取及對電機控制算法的影響

陳晟偉1，魯力2，姜淑忠1

(1. 上海交通大學 電氣工程系，上海200240；2. 浙江西子富沃德電機有限公司，浙江 臨安311305)

摘要：交流電機的矢量控制需要坐標變換，但現有文獻中對其中的3/2變換矩陣前系數缺乏清晰的說明，在應用中易引起混淆。詳細推導了不同系數情況下的電機模型及矢量控制算法中參考量和該系數的關系，并進行了系統的理論歸納。

關鍵詞：坐標變換； 系數選??； 矢量控制

0引言

交流電機因結構簡單、維護少等優點，廣泛應用于電力傳動和運動控制領域。在對交流電機進行矢量控制時，初涉足的工程人員對其中的坐標變換難以充分理解，常因變換系數的選取錯誤而費時費力。本文對矢量控制中常用的三相/兩相旋轉變換進行了推導，并基于交流電機模型分析了變換矩陣前系數取值對電機模型及控制算法所帶來的影響。

1電機控制中的坐標變換方法

1.1功率不變條件下的變換矩陣[1]

對于三相交流系統所進行的坐標變換，一般需要滿足變換前后系統總功率不變的原則。設變換前后的電壓、電流、阻抗矩陣分別為u、i、Z及u′、i′、Z′，相應的電壓、電流變換矩陣為Cu、Ci，則上述矩陣應當滿足如下的基本關系：

(1)

當變換前后的兩個系統總功率不變時，有

(2)

將u、i之間的基本關系代入，得：

(3)

進而有

(4)

式中：Ia——單位矩陣。

為了簡化計算，通常規定Cu=Ci=C，故：

(5)

若C為實矩陣，則有

C-1=CT

(6)

式(6)即為功率不變條件下坐標變換矩陣所應當滿足的條件。

1.2三相/兩相旋轉變換

如圖1所示，為了將交流電機等效為直流電機進行控制，共需要進行兩步坐標變換。

圖1　Clarke變換Park變換的圖示

第一步變換，即Clarke變換，將三相靜止坐標系中的交流量變為兩相靜止坐標系中的交流量。設三相系統每相繞組匝數為N3，兩相系統每相繞組匝數為N2，兩相繞組α軸同三相繞組A相坐標軸重合。

設三相電流瞬時值為iA、iB、iC，兩相電流瞬時值為iα、iβ。根據變換前后系統磁勢不變原則，有

(7)

為了使變換矩陣為方陣，定義零軸電流：

(8)

合并式(7)及式(8)可得：

(9)

對(9)中的矩陣求逆，得：

(10)

在功率不變的條件下，根據式(6)有

(11)

解得：

(12)

故：

(13)

相應的逆變換矩陣為：

(14)

由于實際的電機三相繞組多采用無中性線的星形連接，i0一般為0，因此，在進行Clarke變換時，C3s/2s的最后一行經常略去不寫。

第二步變換，即Park變換，將兩相靜止坐標系中的交流量變為兩相同步旋轉坐標系中的直流量。由于變換前后同為兩相繞組，因此無需考慮繞組的匝數變化。設dq坐標系沿逆時針方向旋轉，d軸同α軸之間的瞬時電夾角為θe，則：

(15)

其逆變換矩陣為：

(16)

綜合式(13)與式(15)，可得三相靜止坐標系至兩相旋轉坐標系變換矩陣為

(17)

對應的逆變換矩陣為：

(18)

2坐標變換在電機控制中的應用

為了全面理解變換矩陣系數對電機模型的影響，這一節中先簡要回顧常見交流電機數學模型的推導過程。

2.1電勵磁同步電機的數學模型

為了簡化分析，假設電機滿足如下條件：

(1) 忽略磁飽和、磁滯、渦流的影響；

(2) 定子繞組電流在氣隙中僅產生正弦磁勢；

(3) 定子三相對稱，空間互差120°；

(4) 電機的空載電勢是正弦波；

(5) 多導條阻尼繞組簡化為兩個獨立的等效阻尼繞組(如圖2所示)。

圖2　電勵磁同步電機各繞組軸線

根據假設，可得到電勵磁同步電機在三相坐標系下的磁鏈、電壓、轉矩方程為

(19)

(20)

ifψf+iDψD+iQψQ)

(21)

式中：Lδ0、Lδ2——定子繞組自感平均值、自感二次諧波幅值；

Mσ0、Mσ2——定子繞組相間互感平均值、互感二次諧波幅值。

利用三相/兩相旋轉變換對式(19)、(20)進行變換，可得dq坐標系下的電壓、磁鏈、轉矩方程為

uduqu0uf00é?êêêêêêêêêù?úúúúúúúúú= r000000r000000r000000rf000000rD000000rQé?êêêêêêêêêù?úúúúúúúúúidiqi0ifiDiQé?êêêêêêêêêù?úúúúúúúúú+

(22)

(23)

電機在兩相旋轉坐標系下的電磁轉矩為

Te=np(ψdiq-ψqid)

(24)

式中：Ld——直軸同步電感；

Lq——交軸同步電感；

L0——零序電感，且滿足：

(25)

2.2永磁同步電機的數學模型

永磁同步電機采用永磁體取代了電勵磁繞組，一般可以認為轉子上沒有阻尼繞組，永磁體也沒有阻尼作用[3]。設永磁體產生的磁鏈為ψfm，則電機的磁鏈、電壓方程為

(26)

(27)

類似前文進行坐標變換，可得：

(28)

(29)

Te=np[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(30)

對于矢量控制中常見的id=0控制，式(30)可簡化為

Te=npψfiq

(31)

3坐標變換矩陣前系數變化對電機數學模型及控制算法的影響

3.1系數變化對電機數學模型的影響

從上面的分析可以看出，電機等效數學模型對坐標變換矩陣有著一定的依賴性。本文中之前所得到的推導結果全部都是基于折算前后功率不變原則計算得到的。然而在實際應用中，為了計算方便或是由于一些個人習慣，變換公式(3)中的矩陣前可能會采用不同的系數值(如1、2/3等)，就會導致電機模型發生變化。為了避免發生錯誤，必須弄清系數變化所帶來的影響。

一般來說，變換矩陣即使不滿足功率不變條件，也需滿足磁勢不變條件。另外，電壓與電流變換矩陣仍然需要具有相同的形式。結合1.2節中的推導可知，若式(13)前的系數為k，則有：

(32)

此時式(13)及式(14)變為

(33)

(34)

式(17)及式(18)變為

(35)

(36)

在電勵磁永磁同步電機數學模型中，僅有ABC相分量參與了變換，因此需要對方程進行一定的調整。式(22)中由于dq0部分及fDQ部分沒有相互聯系，因此無需作出改動。式(23)及式(24)則需要改為

(37)

(38)

對于永磁同步電機的數學模型式(28)～式(30)，需將ψf的定義改為ψf=(3k/2)ψfm，并將式(30)變為

(39)

3.2系數變化對控制算法的影響

以永磁電機為例，分析前述系數k對控制算法的影響。永磁電機的矢量控制原理如圖3所示[4]，系統一般采用速度環與電流環級聯的控制方式，外層的速度環根據給定速度和由當前轉子位置反饋值計算得來的實際速度之間的差值計算給定電流值的大小，內層的電流環則根據給定的電流值與實際電流值之間的差值算出dq軸電壓給定值的大小。最后，給定dq電壓值經過Park變換，經由SVPWM模塊生成PWM波，驅動三相逆變橋，給電機供電。

圖3　永磁電機矢量控制原理圖

圖3所示的僅是最基本的矢量控制原理圖。有時根據實際需要，還需要加入啟動過電流限制、弱磁控制、解耦控制等模塊。

從圖3中可以看到，矢量控制算法中用到了一次Clarke變換，因此整個控制系統會受到系數k變化的影響。另外，SVPWM模塊中還存在電壓合成矢量的定義以及同直流參考電壓比較的問題，也需要進行仔細分析。

參照式(33)，定義空間合成電壓矢量：

us=uα+juβ=k(uA+uBej2π/3+ucej4π/3)

(40)

根據三相逆變橋的開關狀態，逆變橋共可形成6個不同的非零電壓矢量V1至V6。如圖4所示，以V4為例，由開關狀態(100)可得此時A相上橋臂導通，B相C相下橋臂導通，故有：

(41)

圖4　空間電壓矢量的合成

(42)

設輸入SVPWM模塊的參考電壓分別為uSαref及uSβref，PWM周期為T，則根據扇區不同所得到的三種相鄰電壓作用時間可分別表示為

(43)

(44)

可以看到，此時計算公式中的系數較為復雜，對單片機控制系統的實時計算較為不利。事實上，k的常見取值還有1和2/3，它們的物理意義分別為變換前后合成電壓幅值相等，以及變換后的三相合成電壓幅值與變換前的一相電壓幅值相等。若選取k=2/3，式(43)變為

(45)

需要注意的是，為了減少誤解，圖3中Clarke變換的系數選取應與上述SVPWM算法中相一致。另外，PI調節器的參數設定及輸出限幅也應當同k值掛鉤，以達到理想的控制要求。

3.3k值變化對力矩計算式影響的物理意義

3.4影響總結

圖5是對3/2變換矩陣前系數k對矢量控制算法造成影響的總結。圖5實線框中的計算式表示該模塊會受到k值的影響。圖6是將永磁同步電機dq軸等效模型帶入之后的系統控制框圖。從圖6中可以看出，在利用等效數學模型對PI調節器的設計過程中，k值所影響的僅僅是電機模型中的等效勵磁和輸出轉矩而已。然而在實際設計中，由于逆變器電壓限制等原因，所以PI調節器的輸出限幅等參數仍需根據圖4所示的根據k值變化的六邊形進行調整，以免發生問題。

另外，如需在圖5的基礎上添加解耦控制、弱磁控制等模塊，也需要在充分理解k值影響的情況下進行設計，才能達到理想的控制效果。

4結語

本文結合交流電機模型，介紹了電機控制中常用的3/2變換對電機模型的簡化作用，并在此基礎上詳細分析了變換矩陣前系數對電機模型及s相關矢量控制系統所帶來的影響，期望對相關人員提供有益的參考。

圖5　矢量控制參數影響總結

圖6　矢量控制框圖

【參 考 文 獻】

[1]白鈞生，馮浩，白新力，等.Clarke變換中系數(2/3)1/2的推導[J].微電機，2012，45(7)： 79-81.

[2]陳堅.交流電機數學模型及調速系統[M].北京： 國防工業出版社，1989.

[3]寇寶泉，程樹康.交流伺服電機及其控制[M].北京： 機械工業出版社，2008.

[4]徐艷平，鐘彥儒，楊惠.永磁同步電機矢量控制和直接轉矩控制的研究[J].電力電子技術，2008(1)： 60-62.

Coefficient Selection in Coordinate Transformation and its Influence on Motor Control Algorithm

CHENShengwei1，LULi2,JIANGShuzhong1

(1. Department of Electrical Engineering， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200240， China；2. Zhejiang Xizi Forvorda Electrical Machnery Co., Ltd., Linan 311305, China)

Abstract：Coordinate transformation is an important tool in motor vector control method. However， meaning of the coefficient in front of the transformation matrix hasn’t been explained clearly in many previous works， which causes confusion easily. Motor models under different coefficient condition are derived； influence of the coefficient on reference variables in vector control methods is concluded in a systematic way.

Key words：coordinate transformation； coefficient selection； vector control

收稿日期：2015-09-23

中圖分類號：TM 301.2

文獻標志碼：A

文章編號：1673-6540(2016)04- 0022- 07

作者簡介：陳晟偉(1991—)，男，碩士，研究方向為電機及其應用系統。姜淑忠(1967—)，男，博士，副教授，研究方向為電機及其驅動控制系統。

魯力(1962—)，男，工程師，研究方向為電機結構設計與制造。