雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器的混沌產(chǎn)生和同步

李昕芮，王子健，李增，馮玉玲

（長春理工大學　理學院，長春　130022）

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雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器的混沌產(chǎn)生和同步

李昕芮，王子健，李增，馮玉玲

（長春理工大學理學院，長春130022）

摘要：首先通過對單環(huán)摻鉺光纖激光器的損耗進行雙頻調(diào)制研究其混沌的產(chǎn)生，數(shù)值結果表明：通過適當?shù)卣{(diào)節(jié)雙頻正弦信號的幅值和頻率，該系統(tǒng)可以進入混沌狀態(tài)，給出了進入混沌狀態(tài)的途徑和混沌態(tài)的參數(shù)區(qū)間。然后利用混沌信號驅動法研究了雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器的混沌同步，結果表明，無論兩個雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器被驅動前處于混沌狀態(tài)還是周期狀態(tài)，只要在適當?shù)尿寗訌姸认率棺畲髼l件李指數(shù)為負，就能實現(xiàn)這兩個單環(huán)鉺光纖激光器的混沌同步。

關鍵詞：單環(huán)鉺光纖激光器；李指數(shù)；混沌產(chǎn)生；混沌同步

摻鉺光纖激光器因其工作波長處于光纖損耗最低窗口，在光纖通信領域中得到了大量應用。在混沌保密通信中用到混沌同步的鉺光纖激光器，單環(huán)摻鉺光纖激光器中的混沌產(chǎn)生和同步成為研究熱點。1998年Liguo Luo［1］等人提出了單環(huán)摻鉺光纖激光器的速率方程并從理論和實驗兩個方面闡述了增加自由度可以使單環(huán)摻鉺光纖激光器產(chǎn)生混沌，并提出了用混沌的單環(huán)摻鉺光纖激光器實現(xiàn)光保密通信；［2］1998年Gregory等人［3］報道了用單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌光實現(xiàn)光通信；2000年L.G.Luo等人［4，5］報道了用單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌光實現(xiàn)1GHz的光通信系統(tǒng)，并實驗研究了單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌同步；2007年范文華等人［6，7］數(shù)值研究了附加延遲反饋回路的單環(huán)摻鉺光纖激光器系統(tǒng)的混沌產(chǎn)生和混沌同步以及在混沌保密通信中的應用；同年，邵銘等人［8］數(shù)值研究了單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌同步；2010年楊玲珍等人［9］數(shù)值研究了單環(huán)摻鉺光纖激光器混沌光的帶寬；2011年，藺玉珂等人［10］利用光延遲反饋方法對單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌控制進行數(shù)值仿真，得到了混沌現(xiàn)象；2012年，馮玉玲和常鋒等人［11］利用電光調(diào)制器實驗研究了單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌產(chǎn)生；2014年馮玉玲等人［12］利用延時反饋控制法實驗研究了單環(huán)鉺光纖激光器的混沌產(chǎn)生。本文通過對損耗進行雙頻調(diào)制來研究單環(huán)鉺光纖激光器的混沌的產(chǎn)生，進而用混沌信號驅動法［13］研究雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器的混沌同步。

1　單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌產(chǎn)生

1.1方案與方程

根據(jù)單環(huán)摻鉺光纖激光器的結構特點和工作原理，提出對單環(huán)鉺光纖激光器的損耗進行雙頻調(diào)制（可以通過聲光調(diào)制器實現(xiàn)），使其產(chǎn)生混沌，方案示意圖如圖1所示。

圖1　被聲光調(diào)制器雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器系統(tǒng)

如圖1所示，WDM是波分復用器，EDF是摻鉺光纖，ISO是光隔離器用來保證光單向傳輸，AOM1和AOM2是2個聲光調(diào)制器，其中AOM1產(chǎn)生正移頻，AOM2產(chǎn)生負移頻，SG是信號發(fā)生器，通過調(diào)節(jié)它輸出的雙頻正弦信號（S1+S2）的幅值和頻率從而通過AOM1完成對損耗系數(shù)的雙頻調(diào)制，進而實現(xiàn)單環(huán)鉺光纖激光器的混沌產(chǎn)生。所以，此時歸一化后的單環(huán)摻鉺光纖激光器的動力學方程如下［1］：

其中，τ為歸一化后的時間，τ=γt，γ=1/τ0，τ0= 10ms是Er3+亞穩(wěn)態(tài)壽命。Ip為泵浦光強，E是激光器內(nèi)激光的電場強度，k和g分別是激光器的損耗系數(shù)和增益系數(shù)，D是激光器的反轉粒子數(shù)，m1和m2是歸一化的兩個正弦信號的幅值，ω1和ω2和是歸一化的兩個正弦信號的頻率。

1.2數(shù)值模擬和分析

這里取單環(huán)鉺光纖激光器的參數(shù)［8］：k=1000， g=4700，Ip=4.0，m1=0.2，ω1=100，ω2=60，將m2作為控制參數(shù)，積分步長選取為step=10-4×10ms，初值：（2.5，3.2），用Wolf方法［14］求李指數(shù)，用四階龍格庫塔法數(shù)值求解方程，用其數(shù)值結果和Origin軟件畫出的分岔圖和最大李指數(shù)，如圖2所示，計算其他的李指數(shù)發(fā)現(xiàn)，它們在所選的參數(shù)范圍內(nèi)都為負，所以這里沒給出相關曲線。

圖2　隨m2變化的分岔圖和最大李指數(shù)圖

由圖2（b）所示，當m2在區(qū)間（0.052，0.345）和（0.389，0.697）內(nèi)時，系統(tǒng)處于內(nèi)部有周期窗口的混沌狀態(tài)，可見處于混沌狀態(tài)的m2取值區(qū)間較寬；由圖2（a）可見：在m2=0.052附近隨著m2的增大系統(tǒng)以陣發(fā)途徑進入混沌狀態(tài)；在m2=0.389附近隨著m2的增大系統(tǒng)以倍周期分岔途徑進入混沌狀態(tài)；在m2=0.345和m2=0.697附近隨著m2的減小系統(tǒng)也是以陣發(fā)途徑進入混沌狀態(tài)。

為了展示不同狀態(tài)的吸引子，根據(jù)圖2選取m2=0.20、0.35、0.45，對應的系統(tǒng)的吸引子和時間序列如圖3所示。

由圖3（a，b，e，f）可見：當m2=0.20和m2=0.45時，單環(huán)鉺光纖激光器處于混沌狀態(tài)；由圖3（c，d）可見：當m2=0.35時，單環(huán)鉺光纖激光器處于二周期狀態(tài)。

圖3　m2取不同值時系統(tǒng)的吸引子和時間序列

綜上可見，適當調(diào)節(jié)雙頻信號的幅值和頻率，就可以使單環(huán)鉺光纖激光器處于混沌態(tài)，而且可以具有不同形狀的混沌吸引子。單環(huán)鉺光纖激光器用于保密通信時，需要它的混沌同步狀態(tài)，下面研究基于雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器的混沌同步。

2　雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器的混沌同步

2.1混沌同步方案

根據(jù)單環(huán)鉺光纖激光器的結構和工作原理，提出利用混沌信號驅動法實現(xiàn)兩個單環(huán)鉺光纖激光器混沌同步的方案。混沌信號驅動法是用一個系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號同時驅動另外兩個系統(tǒng)，進而使這兩個被驅動系統(tǒng)達到混沌同步，相應的方案示意圖如圖4所示。

圖4　同步方案示意圖

圖4中，Sm、S1和S2都是雙頻調(diào)制的單環(huán)鉺光纖激光器系統(tǒng)。其中，Sm是驅動系統(tǒng)，S1和S2是兩個被驅動系統(tǒng)。驅動系統(tǒng)輸出的混沌激光通過光纖耦合器以一定的強度被耦合到兩個被驅動系統(tǒng)中，從而實現(xiàn)對兩個被驅動系統(tǒng)的驅動。由于驅動系統(tǒng)不受被驅動系統(tǒng)的影響，其動力學方程如下：

對于兩個被驅動系統(tǒng)，由于受到驅動系統(tǒng)的驅動，所以其動力學方程增加了一個驅動項，其動力學方程如下：

式中，α是驅動系統(tǒng)對被驅動系統(tǒng)的驅動強度，Em、E1、E2分別是驅動系統(tǒng)和兩個被驅動系統(tǒng)內(nèi)激光的電場強度；Dm、D1、D2分別是驅動系統(tǒng)和兩個被驅動系統(tǒng)的反轉粒子數(shù)；km、k1、k2分別是驅動系統(tǒng)和兩個被驅動系統(tǒng)的損耗系數(shù)；gm、g1、g2分別是驅動系統(tǒng)和兩個被驅動系統(tǒng)的增益系數(shù)；Ipm、Ip1、Ip2分別是驅動系統(tǒng)和兩個被驅動系統(tǒng)的泵浦光強。

2.2混沌同步的數(shù)值模擬

分別討論兩個被驅動系統(tǒng)的初態(tài)都是混沌態(tài)以及都是周期態(tài)時，它們的混沌同步效果。

首先討論兩個被驅動系統(tǒng)的初態(tài)都是混沌態(tài)的情況：

這里使兩個被驅動系統(tǒng)的參數(shù)和圖3（a，b）對應的參數(shù)值相等，但初值不同，分別是（2.49，3.2）和（2.5，3.19），得到的它們被驅動前的混沌態(tài)吸引子與圖3（a）相似，這里給出被驅動前S1和S2系統(tǒng)的吸引子以及場強E1-E2和反轉粒子數(shù)D1-D2的關系，如圖5所示，可見此時S1和S2系統(tǒng)是非同步的。

這里驅動系統(tǒng)Sm和2個被驅動系統(tǒng)S1和S2分別用圖3（e，f）和圖5的參數(shù)值及初始條件，以驅動強度α做為控制參數(shù)數(shù)值求解方程（3）-（8），得到的最大條件李指數(shù)λMCL如圖6所示。

由圖6可見：當驅動強度α≥0.1時，最大條件李指數(shù)λMCL就為負，根據(jù)混沌同步理論表示此時被驅動后的激光器S1和S2都能實現(xiàn)精確同步。為了展示混沌同步效果，這里取驅動強度α=0.4，得到被驅動后的激光器S1和S2的吸引子以及E1-E2和D1-D2的關系如圖7所示。

圖7（a，b）是混沌吸引子，圖7（c）和（d）都是一條線，即E1=E2和D1=D2，所以可見：雖然兩個單環(huán)鉺光纖激光器S1和S2系統(tǒng)的初態(tài)是非同步的混沌狀態(tài)，但當它們被混沌信號驅動，最大條件李指數(shù)為負值時，這兩個被驅動的單環(huán)鉺光纖激光器系統(tǒng)實現(xiàn)了混沌的精確同步。

然后討論被驅動系統(tǒng)的初態(tài)都是周期態(tài)的情況：

使兩個被驅動系統(tǒng)的參數(shù)和圖3（c，d）對應的參數(shù)值相等，但初值不同，分別是（2.39，3.2）和（2.5，3.19），得到它們被驅動前的周期態(tài)吸引子與圖3（c）相似，給出被驅動前S1和S2系統(tǒng)的場強E1-E2和反轉粒子數(shù)D1-D2的關系，如圖8所示，可見此時S1和S2系統(tǒng)是非同步的。

圖7　被驅動后系統(tǒng)S1和S2的關系（a）被驅動后激光器S1的吸引子；（b）被驅動后激光器S2的吸引子；（c）被驅動后激光器S1和S2內(nèi)的場強E1和E2的關系；（d）被驅動后激光器S1和S2的反轉粒子數(shù)D1和D2的關系。

圖8　被驅動前系統(tǒng)S1和S2的關系（a）被驅動前激光器S1和S2內(nèi)的場強E1和E2的關系（b）被驅動前激光器S1和S2的反轉粒子數(shù)D1和D2的關系

用圖3（e，f）和圖8的參數(shù)值及初始條件，以驅動強度α做為控制參數(shù)數(shù)值求解方程（3）-（8），得到的最大條件李指數(shù)λMCL如圖9所示。

圖9　最大條件李指數(shù)λMCL隨驅動強度變化曲線

由圖9可見：當驅動強度α≥0.04時，最大條件李指數(shù)λMCL就為負，根據(jù)混沌同步理論表示此時被驅動后的激光器S1和S2之間能實現(xiàn)同步，為了展示混沌同步效果，這里取驅動強度α=0.4時得到被驅動后的激光器S1和S2的吸引子以及E1-E2和D1-D2的關系如圖10所示。

圖10　被驅動后系統(tǒng)S1和S2的關系（a）被驅動后激光器S1的吸引子；（b）被驅動后激光器S2的吸引子；（c）被驅動后激光器S1和S2內(nèi)的場強E1和E2的關系；（d）被驅動后激光器S1和S2的反轉粒子數(shù)D1和D2的關系。

圖10（a，b）是混沌吸引子，圖10（c）和（d）都是一條線，即E1=E2和D1=D2，所以可見：雖然兩個單環(huán)鉺光纖激光器S1和S2系統(tǒng)的初態(tài)是非同步的周期態(tài)，但當它們被混沌的激光驅動，最大條件李指數(shù)為負值時，這兩個被驅動的單環(huán)鉺光纖激光器系統(tǒng)實現(xiàn)了混沌的精確同步。

3　結論

本文通過雙頻調(diào)制損耗系數(shù)研究了單環(huán)鉺光纖激光器系統(tǒng)的混沌產(chǎn)生，數(shù)值研究結果表明通過適當?shù)卣{(diào)節(jié)雙頻信號的幅值和頻率，可以使這個系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，由于參數(shù)區(qū)間的不同，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)的途徑是陣發(fā)方式或倍周期分岔方式，并且給出了混沌狀態(tài)對應的參數(shù)區(qū)間。進而利用混沌信號驅動法研究了雙頻調(diào)制的單環(huán)摻鉺光纖激光器系統(tǒng)的混沌同步，數(shù)值結果表明，在適當?shù)尿寗訌姸认拢瑹o論被驅動系統(tǒng)的初態(tài)是混沌態(tài)還是周期態(tài)，在選擇的參數(shù)范圍內(nèi)都可以達到混沌同步。這里的結果對于單環(huán)摻鉺光纖激光器的混沌應用是有意義的。

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Generation and Synchronization of Chaos in Erbium-doped Fiber Single-ring Lasers with Double-frequency Modulation

LI Xinrui，WANG Zijian，LI Zeng，F(xiàn)ENG Yuling
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

Abstract：This paper investigates chaos generation in erbium-doped fiber single-ring lasers（EDFSRL）by modulating the loss with double-frequency signal. The numerical results show that this EDFSRL system can into chaotic states by properly adjusting the amplitude and frequency of double-frequency sine signal，and the routes of going to chaotic states and the parameter range of chaotic states are given. Then，chaos synchronization is studied by using the chaotic driving method for the EDFSRLs with double-frequency modulation. The results illustrate that whether the two EDFSRLs with double-frequency modulation are chaotic or periodic before being driven，they can realize chaotic synchronization with a suitable driving intensity under which the maximum condition Lyapunov exponent is negative.

Key words：Erbium-dope fiber single-ring lasers；Lyapunov exponents；chaos generation；chaos synchronization

中圖分類號：O415.5

文獻標識碼：A

文章編號：1672-9870（2016）02-0005-05

收稿日期：2015-10-27

基金項目：吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目（2012JYT09）

作者簡介：李昕芮（1990-），女，碩士研究生，E-mail：1052254786@qq.com

通訊作者：馮玉玲（1965-），女，博士，教授，E-mail：FYL0819@aliyun.com