基于蒙特卡洛算法的精度試驗序貫檢驗方案設計

李志剛

（92941部隊94分隊，葫蘆島　125000）

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基于蒙特卡洛算法的精度試驗序貫檢驗方案設計

李志剛

（92941部隊94分隊，葫蘆島125000）

摘要：介紹了武器系統精度試驗的序貫檢驗方案，分析了方案設計時在設計計算中存在的問題并提出了采用蒙特卡洛法進行序貫檢驗的方案。實例表明運用蒙特卡洛隨機仿真模擬方法進行序貫檢驗方案設計，能夠得到滿足設計風險的檢驗方案，可以作為序貫檢驗方案設計的有效手段。

關鍵詞：精度試驗；序貫檢驗；蒙特卡洛法

序貫檢驗方案是武器系統精度試驗等領域常用的檢驗方法之一，在序貫檢驗方案的設計中，由于目標函數不能用數學表達式寫出［1］，使得傳統的采取離散的方法進行方案設計出現了問題：設計計算復雜而且參數精度不高，導致檢驗風險擬合不夠好。蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法，是對隨機變量進行統計試驗，用數值方法求取問題的近似解。這種方法是通過概率分布或概率密度進行求解，是在全概率的基礎上進行的，因而其模擬結果是精確的。蒙特卡洛法的求解過程是：第一，建立問題的概率模型或隨機過程，讓其參數與問題的解相等；第二，通過觀察或抽樣，對模型或過程需要求取的參數統計特征進行計算；第三，得到所求參數的近似解，并且可以用估值的標準誤差描述解的精度，即通過所謂“抽簽試驗”來確定包含大量隨機因素的物理過程的概率特性。因此，通過蒙特卡洛法，可以解決精度試驗序貫檢驗方案設計的問題。

1　序貫檢驗基本思想

序貫檢驗是Wald A在二次大戰期間創立的，之后得到了快速發展并被各個領域廣泛應用。序貫檢驗方法的樣本容量在試驗前并不事先約定，在試驗時，根據試驗過程中的觀察值，通過統計推斷作出判斷，從而決定是否繼續試驗；如果繼續試驗，則根據整個試驗的觀察值（包含前期所有試驗的觀察值），通過統計推斷進行判斷，直至能夠得出試驗結論為止。對于武器系統精度試驗而言，其序貫檢驗就是按上述方法，一次一次地進行試驗和判斷，直到能夠得出結論，可以確定結束試驗為止。因此，整個系統精度序貫檢驗的樣本量是隨機的，最終的樣本量是在試驗結束時才知道結果，而在試驗過程中，相當于劃分了一個既不能接收也不能拒收的繼續試驗區，子樣落在這一區域時不能夠做出接收和拒收的判斷，因而要選擇繼續試驗，這樣就能避免固定樣本條件下微小的子樣變化可能導致不同決策結果的弊端。由于系統精度序貫檢驗是在試驗進行過程中，通過對整個過程的統計做出推斷，這樣所有試驗信息都得到了有效利用，因此序貫檢驗最大的好處還在于有可能縮小試驗次數。

武器系統射擊精度即射擊命中問題，一般服從二項分布，因此有統計假設：

式中，p0為命中概率設計指標，p1為使用方不希望但能接受的最低命中概率值［2］。

在進行武器系統精度試驗序貫檢驗時，選擇生產和使用方雙方風險分別為α、β，選擇與α和β有關的兩個常數A和B，A和B的關系需滿足0＜A＜1＜B，然后對武器系統精度涉及的隨機變量試驗，在每次試驗（例如第n次試驗）以后，求得似然比On［3］，若A＜On＜B，則選擇繼續試驗；若On≤A，則選擇接收假設H0，試驗終止；若On≥B，則選擇拒絕假設H0，此時同樣要結束試驗［4，5］。A、B的取值可以由以下不等式確定［6］：

式（2）僅僅表述了A、B的取值范圍，并不是A、B的確切表達式。A.Wald已證明A、B存在確定的值，盡管選擇的A、B值需要與α、β有關，但想用α、β表示其確切值是困難的，因此，A.Wald建議用下式代替A、B取值：

這樣選取的是A、B的近似值，其結果是繼續試驗范圍擴大了，而且還會導致實際試驗風險α*≤α、β*≤β，并有可能增加實際試驗數。所以，這樣的選擇不符合武器系統精度的試驗設計要求。因此，為了得到A、B的“真值”，采用通過蒙特卡洛法進行隨機模擬的方法，尋找A、B“真值”，使試驗雙方實際風險α*=α、β*=β，并盡可能減少實際試驗次數。

序貫檢驗主要解決三個方面問題：確定常數A、B；評價檢驗結果的好壞；確定平均試驗次數［7，8］。

2　序貫檢驗方案設計模型的確定

選擇生產和使用方雙方風險分別為α0、β0。武器系統精度試驗序貫檢驗方案如圖1所示。

圖1　武器系統精度序貫檢驗方案

試驗過程中，若滿足On≤A，則接收H0，其臨界線L0為：

同樣，若On≥B，則拒絕H0，其臨界線L1為：

如果在武器系統精度試驗序貫檢驗方案中，實際風險為α*、β*，那么蒙特卡洛法隨機模擬的目的，是尋找A、B的值，使α*=α0、β*=β0。根據上面的敘述，序貫檢驗設計模型如下：

設計變量：A、B，其取值范圍為［9］：

目標函數

式（7）中，ε是足夠小的正數。

優化設計結果為：A*、B*、α*、β*及平均試驗數n*。

3　序貫檢驗方案設計的尋優方法

在序貫檢驗中，α*、β*是關于A、B的函數，即：

顯然，若果想壓縮繼續試驗區，就相當于要增大A，減小B，這樣會導致α*、β*均增大，以上表述可表示為：（A↑，B↓）→（α*↑，β*↑）

同樣，

擴展繼續試驗區：（A↓，B↑）→（α*↓，β*↓）；

上移繼續試驗區：（A↓，B↓）→（α*↑，β*↓）；

下移繼續試驗區：（A↑，B↑）→（α*↓，β*↑）。

于是，得到如下尋優準則：

式中：hA，hB為優化步長。

式（9）給出了武器系統精度試驗序貫檢驗的自動尋優過程，它可以按照試驗雙方設計風險需求，通過調整A、B的值來改善實際風險α*、β*，進而滿足武器系統精度試驗設計要求。在精度試驗序貫檢驗的方案設計中，對式（9）的變量A、B還需進行歸一處理。令歸一處理的A、B對應值分別為xA、xB，則xA、xB的變化區間均為（0，1），其計算公式如下：

于是，式（9）式改寫為：

A、B用下式還原：

4　序貫檢驗方案設計的隨機仿真模擬

4.1蒙特卡洛隨機仿真模擬方法

在序貫檢驗方案的設計中，由于目標函數不能用數學表達式寫出，因此通過蒙特卡洛隨機仿真模擬對其進行計算，用迭代法實現具體設計，其算法框圖如圖2所示。

在圖2的隨機仿真模擬中，精度試驗序貫檢驗的雙方實際風險α*、β*計算步驟如下：

a.成敗型二項分布的模擬抽樣

1）產生隨機數r～U（0，1）；

2）若r≤p，令x=1，反之x=0；

得到的x為成敗型二項分布的抽樣結果。

圖2　序貫檢驗算法框圖

b.對一次序貫檢驗進行隨機模擬

1）對H0假設進行抽樣，令P=P0，按A、B的給定值計算，框圖圖3所示。

2）把P0換為P1，按1）的方法，對H1假設按A、B給定值隨機模擬，計算結果為n1、x1、SH1。

以上兩個步驟是武器系統精度序貫檢驗的一次隨機模擬過程。

c.計算雙方實際風險α*、β*和試驗的平均試驗數

圖3　一次序貫試驗（P=P0）隨機模擬計算框圖

表1　檢驗方案隨機仿真模擬結果

同樣，記：P=P1時，N次隨機模擬中采納H0的次數為SH1，則拒絕H0次數為N-SH1，并得到試驗樣本數nli，（i =1，2，…，N），有：

對于隨機模擬次數N的取值，在對事件A發生的概率P進行隨機模擬時，為了使概率誤差不大于ε，隨機模擬次數N一般不應少于：

式中，θ可以取一個預先的粗略估計值。在武器系統精度序貫檢驗中，事件A是指計算α*、β*，式14中的θ可用α0或β0代替。

4.2仿真實例

假定命中概率設計指標p0為0.5，鑒別比λ為0.5或0.67，雙方風險α0、β0選取相同風險0.2或0.3進行了二組仿真模擬；假定命中概率設計指標p0為0.5，雙方風險α0、β0選取相同風險0.2或0.3進行了一組仿真模擬。在仿真模擬中，選取的風險計算誤差ε為0.02，模擬次數N取5000，仿真模擬結果見表1。

5　結論

運用Monte—Carlo方法進行隨機仿真模擬，通過模擬可以制定給定條件下的試驗方案，這樣在試驗過程中每進行一次試驗就可以迅速判斷試驗是否繼續進行，及時給出接收還是拒收的結論；通過仿真模擬方案試驗，預期的實際風險與設計風險擬合較好，能夠得出滿足設計風險的試驗結論，可以作為方案制定的有效手段。

參考文獻

［1］林海，高坤.基于加權蒙特卡洛法的新型攻堅彈射擊命中概率［J］.四川兵工學報，2010，31（10）：19-21.

［2］吳翊，李永樂，胡慶軍.應用數理統計［M］.長沙：國防科技大學出版社，1995.

［3］唐雪梅，張金槐，邵鳳昌.武器裝備小子樣試驗分析與評估［M］.北京：國防工業出版社，2001.

［4］黃守訓.艦炮武器系統試驗與鑒定［M］.北京：國防工業出版社，2002.

［5］楊榜林，岳全發.軍事裝備試驗學［M］.北京：國防工業出版社，2002.

［6］張金槐，唐雪梅.Bayes方法［M］.長沙：國防科技大學出版社，1989.

［7］劉奎勇，典守訓，郝瑞云.序貫分析法在艦炮武器試驗中的應用［J］.火力與指揮控制，2004，29（1）：98-102.

［8］孫曉峰，趙喜春.導彈試驗中序貫檢驗及序貫截尾檢驗方案的優化設計［J］.戰術導彈技術，2001（1）：9-16.

［9］曲寶忠，孫曉峰.海軍戰術導彈試驗與鑒定［M］.北京：國防工業出版社，2005.

Design of Sequential Inspection Scheme for Precision Test Based on Monte-Carlo Method

LI Zhigang
（Unit 94，No. 92941 Troops of PLA，Huludao 125001）

Abstract：Introduces sequential inspection scheme of weapon system precision test，analyzes the problems existing in the design and Monte Carlo method is presented.Examples show that using Monte Carlo stochastic simulation method for sequential inspection scheme design，can meet the design risk for inspection plan，can be used as an effective means of sequential inspection scheme.

Key words：precision test；sequential inspection；Monte-Carlo method

中圖分類號：E911

文獻標識碼：A

文章編號：1672-9870（2016）02-0086-04

收稿日期：2015-09-01

作者簡介：李志剛（1971-），男，碩士，高級工程師，E-mail：1106915758@qq.com