集值微分方程初值問題的高階收斂性

王培光，劉會娜

(1.河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定　071002；2.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北保定　071002)

?

集值微分方程初值問題的高階收斂性

王培光1，劉會娜2

(1.河北大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，河北 保定071002；2.河北大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北保定071002)

摘要:通過應(yīng)用比較原理和擬線性方法，對所構(gòu)造的單調(diào)迭代序列進(jìn)行了分析，證明了其逼近解序列一致且高階收斂于該問題的解，所得結(jié)論推廣和改進(jìn)了已有的研究成果.

關(guān)鍵詞:集值微分方程；擬線性化方法；高階收斂

MSC 2010:34D20;34A37

近年來，定義在半線性度量空間上的集值微分方程的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-7]，這些結(jié)果多為解的穩(wěn)定性問題的研究工作[1-4].關(guān)于集值微分方程解的收斂性結(jié)果相對較少[5-6]，特別是關(guān)于解的高階收斂性的結(jié)果未見報(bào)道.Lakshmikantham[8]系統(tǒng)地總結(jié)了擬線性化方法在常微分方程中的應(yīng)用，并相繼有學(xué)者討論了常微分方程和分?jǐn)?shù)階微分方程初邊值問題解的快速收斂性[9-11].本文應(yīng)用擬線性化方法，討論一類集值微分方程初值問題.通過應(yīng)用比較原理和擬線性方法，對所構(gòu)造的單調(diào)迭代序列進(jìn)行分析，給出其逼近解序列一致且高階收斂于該問題解的判定準(zhǔn)則.所得結(jié)論推廣了已有的研究成果.

1預(yù)備知識

首先給出如下關(guān)于集值的定義[7]151.

設(shè)K(Rn)(Kc(Rn))是Rn上的所有非空緊集(緊凸集)的集合，定義Hausdoff度量

D[A+C,B+C]=D[A,B],D[A,B]=D[B,A],

D[λA,λB]=λD[A,B],D[A,B]≤D[A,C]+D[C,B],

其中A,B,C∈Kc(Rn),λ∈R+.

考慮如下集值微分方程

(1)

其中F∈C[I×Kc(Rn),Kc(Rn)].

如果存在映射U∈C1[I,Kc(Rn)],I=[t0,t0+a],a>0滿足式(1)，則稱U是式(1)的解，與式(1)等價(jià)的積分形式為

因此初值問題(1)的解又可以寫成Hukuhara積分

為得到本文主要結(jié)果，給出如下引理.

引理1[7]153假設(shè)

A1)V,W∈C1[I,Kc(Rn)],F∈C[I×Kc(Rn),Kc(Rn)],對于任意t∈I,F(t,X)關(guān)于X單調(diào)非減，并且DHV≤F(t,V),DHW≥F(t,W),t∈I.

A2)對任意的X,Y∈Kc(Rn),X≥Y,t∈I,F(t,X)≤F(t,Y)+L(X-Y),其中L為大于零的常數(shù).

A3)V(t0)≤W(t0),則V(t)≤W(t),t≥t0.

引理2[8]5假設(shè)V，W∈C1[I,Kc(Rn)],F∈[Ω,Kc(Rn)],DHV≤F(t,V),DHW≥F(t,W),t∈I，且V≤W,V(t0)≤U0≤W(t0),其中Ω={(t,U)∶V(t)≤U(t)≤W(t),t∈I},則方程(1)存在解U且滿足V≤U≤W.

2主要結(jié)果

本節(jié)利用擬線性化的方法，減弱基本結(jié)論中對F(t,U)在U,t∈I上的凸凹性要求，分2種情況討論初值問題(1)的高階收斂問題.

(2)

(3)

令

(4)

由式(3)可得g(t,X(t),Y(t))≤F(t,Y(t)),t∈I，其中V(t)≤Y≤X≤W(t).

首先考慮初值問題

(5)

注意到DHW(t)≥F(t,W(t))≥g(t,W(t),V(t)),W(0)≥U(0),t∈I，并且有DHV(t)≤F(t,V(t))=g(t,V(t),V(t)),V(0)≤U(0),t∈I.注意到由F(t,U)+MUk在U,t∈I上是k-1超凸及均值定理得到g(t,U1,V(t))-g(t,U2,V(t))≤L2(U1-U2)，其中L2>0,V≤U2≤U1≤W.所以V,W分別是初值問題(5)的下解和上解.進(jìn)而由引理1和引理2可知，初值問題(5)存在解V1使得V≤V1≤W.

不妨假設(shè)有序列V≤V1≤…≤Vn≤W.考慮

(6)

其中Vn為初值問題(6)的解.

(7)

注意到DHW(t)≥F(t,W(t))≥g(t,W(t),Vn(t)),W(0)≥U(0)和DHVn(t)=g(t,Vn(t),Vn-1(t))≤F(t,Vn(t))=g(t,Vn(t),Vn(t)),Vn(0)≤U0，所以Vn(t),W(t)是初值問題(7)的下解和上解.進(jìn)而由引理1和引理2，初值問題(7)存在解Vn+1使得Vn≤Vn+1≤W.因此{(lán)Vn}為一單調(diào)非減序列且在C1[I，Kc(Rn)]上是一致有界的，且{Vn}滿足DHVn=g(t,Vn,Vn-1)，Vn(0)=U0,又注意到對任意的s

因而{Vn}是等度連續(xù)的，從而由Ascoli定理可得，{Vn}有一致收斂的子序列.又由于{Vn}是單調(diào)非減序列，則{Vn}一致收斂.從而在C1[I,Kc(Rn)]上{Vn}收斂到連續(xù)函數(shù)ψ∈[V,W].由于初值問題的等價(jià)積分形式是

所以

因此，ψ是初值問題(1)的解.

下證該收斂是k階的.由式(2)可得

其中ρn∈[Vn,ψ].另一方面，由式(4)及式(7)可得

令en=ψ-Vn,αn=Vn+1-Vn,有

進(jìn)一步可得‖Vn+1-ψ‖≤λ‖Vn-ψ‖k.即{Vn}為k階收斂.

同理，可構(gòu)造序列{Wn}.令V(t)≤X≤Y≤W(t)，對任意給定的t∈I,有

(8)

令

(9)

注意到W0=W,對于n≥1,由歸納定義出Wn為下面初值問題的解

(10)

由此可得V≤Wn≤…≤W2≤W1≤W.因此{(lán)Wn}為單調(diào)非增序列且在C1[I,Kc(Rn)]上是一致有界的，且{Wn}滿足DHWn=h(t,Wn,Wn-1),Wn(0)=U0,又由式(7)、(10)可得DHVn(t)=g(t,Vn(t),Vn-1(t))≤F(t,Vn(t)),Vn(0)≤V0.DHWn(t)=h(t,Wn(t)，Wn-1(t))≥F(t，Wn(t)),Wn(0)≥V0.由引理1得Vn(t)≤Wn(t).即V≤V1≤…≤Vn≤…≤W2≤W1≤W,又注意到對任意的s

因而{Wn}是等度連續(xù)的，從而由Ascoli定理可得，{Wn}有一致收斂的子序列，又由于{Wn}是單調(diào)非增序列，則{Wn}一致收斂.這樣單調(diào)序列{Vn}、{Wn}在I上一致收斂于方程(1)的唯一解.從而在C1[I,Kc(Rn)]上{Wn}收斂到連續(xù)函數(shù)ψ∈[V,W].由于初值問題的等價(jià)積分形式是

所以

因此，ψ是初值問題(1)的解.

下證收斂是k階的.由式(8)可得

其中τn∈[ψ,Wn].另一方面，由式(9)及式(10)可得

令fn=ψ-Wn,bn=Wn+1-Wn,有

其中

由引理3得

進(jìn)一步可得‖ψ-Wn+1‖≤λ‖ψ-Wn‖k.即{Wn}為k階收斂.定理證畢.

對于F(t,U)-MUk在U,t∈I上是k-1超凹的情況，有如下結(jié)論.

(11)

(12)

令

(13)

由式(12)可得g(t,X(t),Y(t))≤F(t,X(t)),t∈I,其中V(t)≤Y≤X≤W(t).

考慮初值問題

(14)

以下證明與定理1類似可證，故略.

參考文獻(xiàn)：

[1]BHASKAR T G,LAKSHMIKANTHAM V.Set differential equations and flow invarianee[J].Appl Anal,2003,82:357-368.DOI:10.1080/0003681031000101529.

[2]BHASKAR T G,LAKSHMIKANTHAM V.Lyapunov stability for set differential equations[J].Dynam Systems Appl,2004,13:1-10.

[3]LAKSHMIKANTHAM V,LEE S,VATSALA A S.Set-valued hybrid dilfferential equations and stability in terms of two measures[J].J Hybrid Syst,2002,2:169-187.

[4]LAKSHMIKANTHAM V,LEE S,VATSALA A S.Interconneetion between set and fuzzy differential equations[J].Noulinear Anal,2003,54:351-360.DOI:10.1016/S0362-546X(03)00067-1.

[5]王培光，高緯.集值微分方程初值問題擬線性化方法[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，31(1)：1-6.

WANG Peiguang,GAO Wei.Quasilinearization of initial value problem for set differential equations[J].Journal of Hebei University(Natural Science Edition),2011,31(1):1-6.

[6]WANG P G,GAO W.Quasilinearization of an initial value problem for a set valued integrodifferential equation[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:2111-2115.DOI:10.1016/j.camwa.2010.08.084.

[7]WANG P G,HOU Y.Generalized quasilinearization for the system of fractional differential equations[J].J Funct Spaces Appl,2013:793263.

[8]LAKSHMIKANTHAM V,VATSALA A S.Generalized quasilinearization for nonlinear problems[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1998.

[9]MELTON G T,VATSALA A S.Generalized quasilinearization and higher order of convergence for first order initial value problems[J].Dynamic Synamic Systems and Applications,2006,15:375-394.

[10]王培光，侯穎，劉靜.一類分?jǐn)?shù)階微分方程的廣義擬線性化方法[J].河北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，31(5)：449-452.

WANG Peiguang,HOU Ying,LIU Jing.Generalized quasilinearization for fractional differential equations[J].Journal of Hebei University(Natural Science Edition),2011,31(5):449-452.

[11]KALABA R E,MOHAPATRA R N,VAJRAVELU K,et al.Extension of the method of quasilinearization and rapid convergence[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1998,96:667-682.

(責(zé)任編輯：王蘭英)

Higher order convergence for set differential equations with initial conditions

WANG Peiguang1,LIU Huina2

(1.College of Electronic and Information Engineering,Hebei University,Baoding 071002,China;2.College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China)

Abstract:By using the comparison principle and the method of quasilinearization,two monotone iterative sequences of approximate solutions which converge uniformly and higher order to the solution of the problem were obtained.The results generalize and improve the known ones.

Key words:set differential equations;quasilinearization;higher order convergence

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2016.01.001

收稿日期：2015-11-17

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271106)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2013201232)

中圖分類號:O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-1565(2016)01-0001-06

第一作者：王培光(1963—)，男，黑龍江哈爾濱人，河北大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事微分方程與控制理論的研究.

E-mail:pgwang@hbu.edu.cn