初中數學反例教學如何開展

王麗

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）12-384-01

通過不斷學習和請教有經驗的老教師，加之自己多年來的教學經驗，本人談談初中數學中用到的反例教學。

一、實數與代數式中的反例教學

我在講授《實數》時，判斷：兩個無理數的和一定是無理數。學生們馬上做出判斷，并舉出幾個反例如π與-π；根號2與負根號2，它們的和都等于零是有理數。這些反例的共同特征是：互為相反數的兩無理數和為有理數，這樣的反例有無數個。在此基礎上，我進一步地問：兩個無理數的積一定是無理數嗎？通過對這些問題作更多更深入的一些研究，這不僅可以培養學生思維的發散性，還可以加深對有理數、無理數概念的理解，弄清有理數和無理數之間的關系。引導學生舉反例，使學生敢于和善于發現問題或提出問題，提高學生的思維能力。

二、反例在方程中的作用

為了讓學生明確一元二次方程必須同時滿足以下3個條件：（1）方程兩邊都是整式；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2。在講完這一概念后，教師可以馬上舉出一些反例，讓學生判斷它們是否為一元二次方程，若不是，讓學生說明理由。以此使學生進一步鞏固所學的內容。

顯然方程（1）、（3）、（4）（6）不是一元二次方程，因為（1）式不是方程，方程（3）含有兩個未知數，（4）的左邊不是整式，方程（6）的未知數的最高次數為3，這些都與一元二次方程的條件不相符。但仍有一部分學生判斷不出來，特別是方程（1）、（4）、（5）容易出錯，因此，可以在這里先帶領學生簡單地復習一下整式和方程的概念。對于方程（5），應注意提醒學生其中的π是常數而不是字母。這樣，當教師結合這6道小題再次分析一元二次方程的三個條件時，學生就會更深刻地理解什么樣的方程才是一元二次方程。

三、幾何中的反例教學

我在教學《正多邊形和圓》時，設計了一個問題：各邊相等的圓內接多邊形一定是正多邊形嗎？各角相等的圓內接多邊形呢？如果是，說明為什么，如果不是，舉反例說明。學生們都知道：各邊都相等，各角也相等的多邊形是正多邊形。為了加深學生對正多邊形的一些性質的理解，我從反面進行鞏固。顯然，各邊相等的圓內接多邊形的各角也相等，它是正多邊形，各角相等的圓內接多邊形不是正多邊形，例如矩形等。

又如：《四邊形》中，為區分各四邊形的概念。可設計此題：

搶答：判斷下列命題是否正確，如果錯誤，請說明理由。

1、對角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形。（對）

2、兩組對邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形。（對）

3、鄰角相等的四邊形是菱形。（錯，可以是矩形）

4、有一組鄰邊相等的四邊形是菱形。（錯，一般四邊形滿足一組鄰邊相等但不是菱形）

5、一組鄰邊相等的矩形是正方形。（對）

6、有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（錯，可能是矩形）

同學們情緒高漲，迅速動手動腦，到第（4）題時，個個爭相畫圖演示。數學反例是數學課堂教學中一個調節器，在數學教學中，適時地引進一些反例或適當地引導學生構建反例，往往能使學生在認識上產生質的飛躍，幫助他們鞏固已學知識。

數學學習過程中，對于一些不易理解和掌握的知識點，學生常常容易混淆或忽略它們的某些本質屬性，盡管教師反復強調，學生還是容易出錯。如果教師在講解過程中能夠適當地舉一些反例，通過反例來加強學生對這一知識點的理解，將會有意想不到的收獲。

例如，在講解三角形全等的判定方法時，其中的一種方法是“有一個角和夾這個角的兩邊對應相等的兩個三角形全等（SAS）”，這里，必須強調“夾這個角的兩邊”。因此，教師可以提問學生“有一個角和兩邊對應相等的兩個三角形一定全等嗎？”由于和教材中的定理不一致，大部分學生肯定會回答說“不一定”，這時教師繼續追問“你能舉出一個反例來說明嗎？”即讓學生用反例來說明命題“有一個角和兩邊對應相等的兩個三角形全等”是錯誤的。在學生討論時，教師提示：“可以畫出圖形來說明。”此時課堂氣氛活躍，學生個個躍躍欲試，都在畫圖嘗試。最后，全班一起總結、交流，歸納出反例，列舉如下：

（1）在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，則在△ABD和△ACD中，滿足一角（∠B=∠C）和兩邊（AB=AC，AD=AD）對應相等，顯然△ABD和△ACD不全等。

（2）如圖2，在△ABC中，延長BC至D點，連接AD，使AD=AC，則在△ABC和△ABD中，滿足角（∠B=∠B）和兩邊（AB=AB，AD=AC）對應相等，顯然△ABC和△ABD不全等。

（3）如圖3，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，連接BD，則在△ABD和△CDB中，滿足一角（∠ADB=∠CBD）和兩邊（AB=DC，BD=BD）對應相等，顯然△ABD和△CDB不全等。

通過上述反例教學，學生清楚地認識到：在運用這一判定方法時，必須是“一角和夾這個角的兩邊（SAS）”，而不是“一角和任意的兩邊（ASS）”。并知道了由上述反例可以說明命題“有一個角和兩邊對應相等的兩個三角形全等”是錯誤的命題。這樣的反例，使學生印象深刻，有利于學生對知識點牢固掌握。

總之，通過反例教學，可加深學生對基本概念的理解和對基礎知識的掌握，發現并糾正學習中的錯誤，培養學生的創新能力和良好的思維品質.在初中數學教學中，恰當地應用反例進行教學，引導學生從反面去思考問題，將有助于數學教學質量的提高和學生數學素質的培養。只要教師在教學過程中合理地運用反例，適當地構造反例，就能使學生不斷地完善數學概念，提高分析、判斷問題的能力，從而達到事半功倍的教學效果。