關(guān)于級數(shù)論的教學(xué)法探究

何天榮（麗江師范高等專科學(xué)校數(shù)計系　云南麗江　674199）

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關(guān)于級數(shù)論的教學(xué)法探究

何天榮（麗江師范高等專科學(xué)校數(shù)計系云南麗江674199）

摘要：級數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析課程的一個重要知識模塊，它與微積分學(xué)一起作為數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續(xù)兩個方面，結(jié)合起來研究分析學(xué)的對象，即變量之間的依賴關(guān)系─函數(shù)。但因為級數(shù)理論與微積分學(xué)之間的邏輯聯(lián)系相對較少，所以學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識時回感覺比較孤立加之理論抽象，所以學(xué)起來會比較吃力，知識點容易遺忘，本文從級數(shù)理論的作用、知識間的邏輯聯(lián)系、及其所蘊(yùn)含的思想方法等方面進(jìn)行教法探究 。

關(guān)鍵詞：級數(shù)論；教學(xué)法；數(shù)學(xué)分析。

【DOI】10.19312/j.cnki.61-1499/c.2016.04.069

一、級數(shù)理論的重要作用

數(shù)學(xué)分析課程的研究對象是函數(shù)，而級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實際應(yīng)用中都處于重要地位，雖然初等函數(shù)能夠描述許多自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的客觀規(guī)律，但是，只有初等函數(shù)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足描述客觀規(guī)律的要求。為了使數(shù)學(xué)分析所討論的函數(shù)能廣泛地服務(wù)于科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)理論本身，人們借助于極限、函數(shù)方程、微分和積分等工具表述了更多的非初等函數(shù)，借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計算等。

二、級數(shù)理論及知識點間關(guān)系

數(shù)學(xué)分析課程中的級數(shù)理論包括《數(shù)項級數(shù)》、《函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)》、《冪級數(shù)》和《傅里葉級數(shù)》四章的內(nèi)容。本文以前三章為例研究知識點間的聯(lián)系。

數(shù)項級數(shù)簡單地說就是，無限個數(shù)相加的問題，即將數(shù)列的各項依次用加號連接的結(jié)果問題。需要我們研究的問題：無限和是否存在及如何求其和？這就是要研究的數(shù)項級數(shù)的核心問題：級數(shù)的收斂性及其和問題。

討論函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的作用在于，一致收斂的函數(shù)項級數(shù)有非常理想的分析性質(zhì)：如無限和運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換次序。

本例通過交換積分運(yùn)算與求和運(yùn)算使得運(yùn)算順利完成。

冪級數(shù)是一類簡單的函數(shù)項級數(shù)，因為它的特殊性，使得我們的研究可以進(jìn)一步深入，對于冪級數(shù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)是研究其收收斂域，而要研究收斂域，首先要研究其收斂半徑，有了收斂半徑R，就可以得出收斂區(qū)間（-R，R），收斂區(qū)間及其在區(qū)間端點±R處的收斂性，就可以討論出冪級數(shù)的收斂域。

函數(shù)的冪級數(shù)展開就是函數(shù)項級數(shù)表示非初等函數(shù)的具體方法，也是我們研究函數(shù)項級數(shù)的一個重要原因。

三、關(guān)于級數(shù)理論的學(xué)習(xí)建議

1.注意知識點間的邏輯聯(lián)系

級數(shù)論的編排的邏輯順序是首先研究數(shù)項級數(shù)，它是函數(shù)項級數(shù)的特殊情況，是相對簡單卻又非常重要的內(nèi)容，已經(jīng)分析過，函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別、冪級數(shù)的收斂性域的討論最終都要借助于數(shù)項級數(shù)尤其是正項級數(shù)收斂性的判別；其次，要特別注意概念間的區(qū)別及本質(zhì)原因，如數(shù)項級數(shù)的收斂性函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，要弄清楚為什么會有不同的概念及其原因。冪級數(shù)是特殊的函數(shù)項級數(shù)，因此關(guān)于冪級數(shù)收斂半徑是求法，其理論依據(jù)來源于函數(shù)項級數(shù)的相關(guān)理論，而區(qū)間端點處收斂性的討論則歸結(jié)為數(shù)項級數(shù)收斂性的判別法。

2.注重其中所蘊(yùn)含的思想方法

首先，類比的思想方法，數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)以及冪級數(shù)同為級數(shù)，討論的核心都是收斂性，但又因為三者之間有本質(zhì)的區(qū)別，所以討論的方法又不盡相同。學(xué)習(xí)中要充分利用其相似之處便于降低理解的難度同時要深刻理解其不同之處并理解其本質(zhì)區(qū)別，才可以真正學(xué)懂級數(shù)論。

其次是化歸思想方法，化歸思想方法廣泛存在于數(shù)學(xué)的各學(xué)科之中，許多數(shù)學(xué)問題的解決都體現(xiàn)了化歸思想，級數(shù)論也不例外，上述已分析，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性性的M判別法、冪級數(shù)收斂域的討論最終都化歸為數(shù)項級數(shù)收斂性的判別法，如果透徹理解化歸思想并學(xué)透數(shù)項級數(shù)，級數(shù)論的學(xué)習(xí)將不再那么抽象。

參考文獻(xiàn)：

［1］顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京：中央廣播電視出版社，2004.

［2］ 華東師大數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》（第三版）［M］ 北京：高等教育出版社 2010.

作者簡介：

何天榮（1979—）女，講師，碩士研究生，主要從事模糊集理論和粗糙集理論及教育教學(xué)法的研究。