關于級數論的教學法探究

何天榮（麗江師范高等專科學校數計系　云南麗江　674199）

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關于級數論的教學法探究

何天榮（麗江師范高等專科學校數計系云南麗江674199）

摘要：級數理論是數學分析課程的一個重要知識模塊，它與微積分學一起作為數學分析的重要組成部分，二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續兩個方面，結合起來研究分析學的對象，即變量之間的依賴關系─函數。但因為級數理論與微積分學之間的邏輯聯系相對較少，所以學生學習這部分知識時回感覺比較孤立加之理論抽象，所以學起來會比較吃力，知識點容易遺忘，本文從級數理論的作用、知識間的邏輯聯系、及其所蘊含的思想方法等方面進行教法探究 。

關鍵詞：級數論；教學法；數學分析。

【DOI】10.19312/j.cnki.61-1499/c.2016.04.069

一、級數理論的重要作用

數學分析課程的研究對象是函數，而級數是研究函數的一個重要工具，在理論上和實際應用中都處于重要地位，雖然初等函數能夠描述許多自然現象和工程技術中的客觀規律，但是，只有初等函數還遠遠不能滿足描述客觀規律的要求。為了使數學分析所討論的函數能廣泛地服務于科學技術和數學理論本身，人們借助于極限、函數方程、微分和積分等工具表述了更多的非初等函數，借助級數表示許多常用的非初等函數，微分方程的解就常用級數表示；另一方面又可將函數表為級數，從而借助級數去研究函數，例如用冪級數研究非初等函數，以及進行近似計算等。

二、級數理論及知識點間關系

數學分析課程中的級數理論包括《數項級數》、《函數列與函數項級數》、《冪級數》和《傅里葉級數》四章的內容。本文以前三章為例研究知識點間的聯系。

數項級數簡單地說就是，無限個數相加的問題，即將數列的各項依次用加號連接的結果問題。需要我們研究的問題：無限和是否存在及如何求其和？這就是要研究的數項級數的核心問題：級數的收斂性及其和問題。

討論函數項級數的一致收斂性的作用在于，一致收斂的函數項級數有非常理想的分析性質：如無限和運算與積分運算可以交換次序。

本例通過交換積分運算與求和運算使得運算順利完成。

冪級數是一類簡單的函數項級數，因為它的特殊性，使得我們的研究可以進一步深入，對于冪級數的學習目標是研究其收收斂域，而要研究收斂域，首先要研究其收斂半徑，有了收斂半徑R，就可以得出收斂區間（-R，R），收斂區間及其在區間端點±R處的收斂性，就可以討論出冪級數的收斂域。

函數的冪級數展開就是函數項級數表示非初等函數的具體方法，也是我們研究函數項級數的一個重要原因。

三、關于級數理論的學習建議

1.注意知識點間的邏輯聯系

級數論的編排的邏輯順序是首先研究數項級數，它是函數項級數的特殊情況，是相對簡單卻又非常重要的內容，已經分析過，函數項級數一致收斂性的判別、冪級數的收斂性域的討論最終都要借助于數項級數尤其是正項級數收斂性的判別；其次，要特別注意概念間的區別及本質原因，如數項級數的收斂性函數項級數的一致收斂性，要弄清楚為什么會有不同的概念及其原因。冪級數是特殊的函數項級數，因此關于冪級數收斂半徑是求法，其理論依據來源于函數項級數的相關理論，而區間端點處收斂性的討論則歸結為數項級數收斂性的判別法。

2.注重其中所蘊含的思想方法

首先，類比的思想方法，數項級數、函數項級數以及冪級數同為級數，討論的核心都是收斂性，但又因為三者之間有本質的區別，所以討論的方法又不盡相同。學習中要充分利用其相似之處便于降低理解的難度同時要深刻理解其不同之處并理解其本質區別，才可以真正學懂級數論。

其次是化歸思想方法，化歸思想方法廣泛存在于數學的各學科之中，許多數學問題的解決都體現了化歸思想，級數論也不例外，上述已分析，函數項級數的一致收斂性性的M判別法、冪級數收斂域的討論最終都化歸為數項級數收斂性的判別法，如果透徹理解化歸思想并學透數項級數，級數論的學習將不再那么抽象。

參考文獻：

［1］顧泠沅.數學思想方法［M］.北京：中央廣播電視出版社，2004.

［2］ 華東師大數學系編.《數學分析》（第三版）［M］ 北京：高等教育出版社 2010.

作者簡介：

何天榮（1979—）女，講師，碩士研究生，主要從事模糊集理論和粗糙集理論及教育教學法的研究。