框架結(jié)構(gòu)瞬態(tài)波動響應(yīng)及自振頻率的回傳射線矩陣法分析

陳進浩， 余云燕

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州　730070)

框架結(jié)構(gòu)瞬態(tài)波動響應(yīng)及自振頻率的回傳射線矩陣法分析

陳進浩， 余云燕

(蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州730070)

摘要：基于回傳射線矩陣法，通過節(jié)點的力平衡和位移協(xié)調(diào)條件及局部坐標系下單元兩端位移之間的關(guān)系，建立方波脈沖激振力作用下鉸接T形框架的回傳射線矩陣。在此基礎(chǔ)上分析了彈性波在框架中的傳播特征，探討了單元交界點處的反射波、入射波與透射波的波形特征。以回傳射線矩陣法為基礎(chǔ)，求解此框架的自振頻率，并與有限元法求出的結(jié)果進行比較，結(jié)果表明，二者之間的結(jié)果非常接近，以此證明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：回傳射線矩陣法；彈性波；框架結(jié)構(gòu)；自振頻率

結(jié)構(gòu)在建造和正常使用過程中，除了受到靜力荷載外，還會受到各種各樣的沖擊荷載。由于沖擊荷載作用時間極短，在以毫秒(ms)、微秒(us)乃至納秒(ns)為計的短暫時間內(nèi)，結(jié)構(gòu)受力及位移發(fā)生較為顯著變化，用一般力學方法難以解決。而波動理論則為解決此類問題提供一條有效途徑。

多年以來，波動理論在固體力學領(lǐng)域一直是一個應(yīng)用較為廣泛的理論。在現(xiàn)代工程技術(shù)中越來越受到人們的重視。在地質(zhì)勘探、地震預(yù)測、高速撞擊、爆炸、結(jié)構(gòu)的無損檢測、應(yīng)力波探傷和有缺陷結(jié)構(gòu)的探測等領(lǐng)域，波動理論得到了廣泛的應(yīng)用。許多專家和學者對此類問題進行了深入的研究。

針對沖擊荷載作用下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)問題，Howard等[1-2]首先基于Timoshenko梁理論提出了回傳射線矩陣法的波動模型；余云燕等[3-7]應(yīng)用該方法研究了埋置框架結(jié)構(gòu)及有損傷框架結(jié)構(gòu)中的波動響應(yīng)；田家勇等[8]應(yīng)用該方法在引入節(jié)點質(zhì)量阻尼模型后對剛架結(jié)構(gòu)進行減振分析；嚴蔚等[9]結(jié)合壓電阻抗技術(shù)對含裂縫智能梁的振動特性進行了研究。黃錦雄等[10]應(yīng)用該方法進行了深水油井套管柱的地震響應(yīng)分析。郭永強等[11-13]應(yīng)用該方法進行了結(jié)構(gòu)的自振特性研究。本文基于回傳射線矩陣法分析了彈性波在框架中的傳播特征，結(jié)構(gòu)單元交界點處位移協(xié)調(diào)條件及受力平衡條件的波形特征，以單元節(jié)點處的位移協(xié)調(diào)條件為基礎(chǔ)得到了彈性波在每次傳至單元交界點處的入射波、反射波及透射波的波動表達式及波形特征。之后用該方法求得了結(jié)構(gòu)的自振頻率并與ANSYS和SAP2000求得的結(jié)果進行對比，以驗證該方法的有效性。

1回傳射線矩陣法的基本原理

圖1　T形框架結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)坐標系Fig.1 T-shaped frame and coordinate

框架結(jié)構(gòu)如圖1所示，假設(shè)結(jié)構(gòu)各單元具有相同截面和材料特性。E為材料彈性模量，G為剪切模量，ρ為密度，A為橫截面積，μ為泊松比，桿件13、34、35長度都相等，其中2點為13的中點。在節(jié)點2上作用有與水平方向成α角的方波脈沖激振力。

(1)

式中：u為軸向位移，υ=υb+υs為撓度。其中，υb為彎矩引起的撓度，υs為剪力引起的撓度，κ′為截面剪力系數(shù)。

將上式進行Fourier變換后，在頻域中對各節(jié)點建立局部坐標系下的力平衡及位移協(xié)調(diào)條件關(guān)系式，整理后可得：

dj=Sjaj+sj

(2)

式中，aj和dj表示j點入射波和出射波波幅向量，Sj為

圖2　節(jié)點3處的局部與整體坐標系Fig.2 Local and global coordinate system at joint 3

j點的局部散射矩陣，sj為j點的波源矢量(外荷載列向量)。對本文所研究的結(jié)構(gòu)，只有節(jié)點2處有可分解為水平和豎直方向的外荷載，故除節(jié)點2之外，其余節(jié)點處的波源矢量都為零矢量。每個節(jié)點處有三個自由度。節(jié)點1、4、5只連接一個單元，節(jié)點2連接兩個單元，節(jié)點3連接三個單元。故S1、S4、S5都是三階方陣，S2是六階方陣，S3是九階方陣。以節(jié)點3為例，與節(jié)點3連接的各單元的局部與整體坐標系如圖2所示。

頻域中節(jié)點3處的位移協(xié)調(diào)及力平衡條件為：

(3a)

對式(3a)整理并合并為：

d3(ω)=S3(ω)a3(ω)+s3(ω)

(3b)

式中，a3和d3表示節(jié)點3處局部坐標系下的入射波和出射波波幅向量，S3和s3分別為節(jié)點3處的局部散射矩陣和波源矢量：

d3=[d132,d232,d332,d134,d234,d334,d135,d235,d335]T

a3=[a132,a232,a332,a134,a234,a334,a135,a235,a335]T

s3=[000000000]T

將所有節(jié)點的a、d、S、s組集到整體坐標系中，寫成緊湊形式為：

d=Sa+s

(3)

式中S稱為整體散射矩陣。

圖1所示的局部坐標系中，考慮到單元兩端點處的位移協(xié)調(diào)條件，引入傳播矩陣PKJ，得到表示出射波波幅和入射波波幅之間的相位關(guān)系式：

(4)

a=PUd

(5)

將式(5)代入式(4)，有：

d=[I-R]-1s

(6)

式中，R=SPU，稱為回傳射線矩陣。

結(jié)構(gòu)受到擾動離開平衡位置后不再受任何外力影響的振動過程稱為自振，此時的振動頻率為自振頻率。當結(jié)構(gòu)的振動頻率等于其自振頻率ωn時有：

[I-R]d=0

(7)

R中的各項是關(guān)于頻率ω的復(fù)數(shù)表達式。在數(shù)學上沒有求解此類方程的方法，為求得式(7)的解，可利用數(shù)值計算方法中求解極小值的黃金分割法求得零點位置。

由于自振頻率的存在。方陣存在奇異點,在奇異點處逆矩陣不存在。為解決奇異性的問題，可以利用Newmann級數(shù)展開的方法，將[I-R]-1展開以避開奇異點：

[I-R]-1=I+R+R2+R3+R4+…RN+…

(8)

將式(8)代入式(6)，得到：

d=[I+R+R2+R3+R4+…RN+…]s

(9)

a=PU[I+R+R2+R3+R4+…RN-1+…]s

(10)

其中，RNs表示波經(jīng)過了N次節(jié)點回傳。

結(jié)合式(9)和式(10)可知，經(jīng)過N次節(jié)點回傳后傳至接收點的波，入射波較出射波多傳播一次。究其原因，是由于局部坐標系采用了對偶坐標系。

波在經(jīng)過節(jié)點時既有反射，又有透射。以首次到達32單元節(jié)點3的入射波作為結(jié)構(gòu)節(jié)點3的入射波，入射波到達節(jié)點3經(jīng)過一次回傳后沿32單元傳播的出射波作為節(jié)點3的反射波，沿34、35單元傳播的出射波作為結(jié)構(gòu)節(jié)點3的透射波。入射波、反射波與透射波的表達式如下所示：

νi=iωa132(0)ei*k1*0

νr=iωd132(1)e-i*k1*0

νt34=iωd134(1)e-i*k1*0

νt35=

2結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)波動響應(yīng)分析

2.1節(jié)點位移協(xié)調(diào)及力平衡關(guān)系

由基本原理可知，回傳射線矩陣是基于受力平衡及位移協(xié)調(diào)條件建立的，結(jié)構(gòu)上任意點處均滿足此兩條件。

(a) 節(jié)點3在23單元節(jié)點2處局部坐標系下的縱向及橫向速度波(b) 節(jié)點3在34單元節(jié)點3處局部坐標系下的縱向及橫向速度波(c) 節(jié)點3在35單元節(jié)點3處局部坐標系下的縱向及橫向速度波圖3 相交于節(jié)點3的各單元3點處的縱向及橫向速度波Fig.3Longitudinalandtransversewavesatjoint3ofeachelementthatintersectedatjoint3

表1　相交于節(jié)點3的各單元3點處的綜向及橫向速度波特征

節(jié)點2處有作用力，因此與結(jié)構(gòu)節(jié)點2相連的各單元的節(jié)點2處的軸力及剪力之和等于f(t)在水平和豎直方向分力的無量綱值。節(jié)點3無外力作用，與結(jié)構(gòu)節(jié)點3相連的各單元的節(jié)點3處的合力為零。節(jié)點2、3處的受力示意圖及受力平衡如圖4～6所示。

圖4　節(jié)點2、3的受力示意圖Fig.4 The forcediagram of joint 2 and 3

圖5　整體坐標系下節(jié)點2的軸力、剪力及彎矩Fig.5 Axial, shear force and moment at joint 2 in global coordinate

圖6　整體坐標系下節(jié)點3的水平向力及彎矩Fig.6 Horizontal force and moment at joint 2 in global coordinate

2.2速度波的傳播

在方波脈沖激振力作用下經(jīng)過N次節(jié)點回傳后到達接收點的縱向速度波的傳播路徑、波的傳播類型及傳播時間如表2所示。

表2　經(jīng)過N次節(jié)點回傳后到達接收點的縱向速度波的傳播路徑、類型及時間

(a) 首波(b) 回傳一次(N=1)(c) 回傳兩次(N=2)

(d) 回傳三次(N=3)(e) 回傳四次(N=4)

(f) 回傳五次(N=5)(g) 經(jīng)過接收點的前五條波圖7 到達接收點A的縱向速度波Fig.7LongitudinalvelocitywavereachedthereceiverA

圖8　到達接收點處的首波及經(jīng)一次節(jié)點回傳后到達接收點的橫向速度波Fig.8 First and after areverberated horizontal velocity wave reached the receiver A

2.3節(jié)點處的反射波與透射波

波在經(jīng)過節(jié)點時既有反射，又有透射。節(jié)點3處的首條入射波、反射波及透射波波形曲線如圖9。由圖9可知，反射波和透射波的脈沖方向均與入射波脈沖方向相反，透射波波形曲線和反射波波形曲線之和與入射波波形曲線等值反向，疊加之和為零。經(jīng)過節(jié)點的兩條透射波的波形曲線完全相同。

2.4結(jié)構(gòu)的自振頻率

利用回傳射線矩陣法求得的結(jié)構(gòu)自振頻率與有限元軟件ANSYS和SAP2000求得的結(jié)果對比見表3。

表3　T形框架前12階自振頻率

從表3的計算結(jié)果可以看出，利用回傳射線矩陣法求得的自振頻率同ANSYS和SAP2000求得的自振頻率結(jié)果非常接近。證明利用回傳射線矩陣法求解結(jié)構(gòu)自振頻率的方法是有效的。結(jié)構(gòu)的自振特性只與結(jié)構(gòu)的自身特性有關(guān)，而與外界因素如外荷載、時間等因素無關(guān)。因此，不同于結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)，利用該方法求解結(jié)構(gòu)自振特性時，整個過程都是在頻域中進行，而與時域無關(guān)。而結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)是時間的函數(shù)，因此其結(jié)果需通過傅里葉逆變換將其轉(zhuǎn)換至時域中。回傳射線矩陣法屬于波動的方法，由于不考慮結(jié)構(gòu)單元劃分數(shù)目等因素，用該方法求得的結(jié)果具有高精度的優(yōu)點。且易于編制通用程序進行計算。

(a) 23單元節(jié)點3處的入射波波形(b) 23單元節(jié)點3處的反射波波形(c) 34單元節(jié)點3處的透射波波形

(d) 35單元節(jié)點3處的透射波波形(e) 入射波、反射波及透射波波形曲線疊加圖9 節(jié)點3的入射波、反射波及透射波波形曲線及三條曲線的疊加Fig.9Thecurveofincident,reflectedandtransmitwaveandsuperpositionofthreecurvesatjoint3

3結(jié)論

本文基于回傳射線矩陣法研究了T形框架在方波脈沖荷載作用下的波形特征，進一步求得該結(jié)構(gòu)的自振頻率，并與ANSYS和SAP2000計算結(jié)果進行對比。經(jīng)過分析得到如下結(jié)論：

(2) 波在傳播過程中經(jīng)過節(jié)點時，會發(fā)生波的反射和透射。入射波在單元交界處會產(chǎn)生反射波和透射波，反射波脈沖方向與透射波脈沖方向均與入射波脈沖方向相反，反射波波形曲線和透射波波形曲線疊加之和與入射波波形曲線等值反向，三者疊加為零。

(3) 利用回傳射線矩陣法可求解結(jié)構(gòu)的任一階自振頻率。由于該方法屬于波動的方法，不用考慮有限元方法的單元劃分等因素的影響，求得的結(jié)果是精確解。

參 考 文 獻

[1] Howard S M，Pao Y H.Analysis and experiments on stress waves in planar trusses[J]．Journal of Engineering Mechanics，1998，124(8)：884-891.

[2] Pao Y H.Chen W Q. Elastodynamic theory of framed structures and reverberation-ray matrix analysis[J]. Acta Mechanica,2009,204(1):61-79.

[3] 余云燕，鮑亦興，陳云敏．有損傷框架結(jié)構(gòu)中波動分析[J]．振動工程學報，2004，17(1)：20-24.

YU Yun-yan, PAO Yi-xing, CHEN Yun-min. Wave analysis of damaged frame structures[J]. Journal of Vibration Engineering，2004，17(1)：20-24.

[4] 余云燕．多缺陷框架結(jié)構(gòu)的波動響應(yīng)[J]．振動工程學報，2008，21(5)：511-515.

YU Yun-yan. Dynamic response of multi-defective frame structure[J]. Journal of Vibration Engineering，2008，21(5)：511-515.

[5] 余云燕．回傳射線矩陣法分析埋置框架的瞬態(tài)動力響應(yīng)[D]．杭州：浙江大學，2004.

[6] 余云燕，鮑亦興，陳云敏．埋置框架質(zhì)量檢測的探討[J]．力學學報，2006，38(3)：339-346.

YU Yun-yan, BAO Yi-xing, CHEN Yun-min.Disscussion on quality testing of frame structure embedded partially in soil[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2006，38(3)：339-346.

[7] 余云燕．有缺陷埋置框架的波動響應(yīng)及影響因素研究[J]．振動工程學報，2007，20(2)：194-199.

YU Yun-yan. Studies on wave response of a defected framestructure embedded partially in soil and influence factors [J]. Journal of Vibration Engineering, 2007,20(2): 194-199.

[8] 田家勇，蘇先樾．剛架結(jié)構(gòu)的節(jié)點質(zhì)量阻尼減振分析[J]．固體力學學報，2002，23(1): 47-53.

TIAN Jia-yong,SU Xian-yue. The vibration suppression of joint massdamping in frame structures [J]. Acta Mechnica Solida Sinica, 2002,23(1): 47-53.

[9] 嚴蔚,袁麗莉．基于回傳射線矩陣法的含裂縫智能梁的動態(tài)特性[J]．振動與沖擊，2010，29(6)：101-104.

YAN Wei，YUAN Li-li. Dynamic analysis of a smart cracked beam based on the reverberation matrix method[J]. Journal of Vibration and Shock，2010，29(6)：101-104.

[10] 黃錦雄,朱幸科,韓衛(wèi)東. 基于Timoshenko梁理論的深水油氣井套管柱地震響應(yīng)分析[J]. 振動與沖擊，2013，32(7): 159-164.

HUANG Jin-xiong,ZHU Xing-ke,HAN Wei-dong. Seismic response of casing string of an oil and gas well in deepwater based on Timoshenko beam theory[J]. Journal of Vibration and Shock，2013，32(7)：159-164.

[11] 郭永強．回傳波射矩陣法的理論及其應(yīng)用[D]．杭州：浙江大學，2008.

[12] 郭永強．復(fù)雜空間框架結(jié)構(gòu)的自振特性分析[J]．振動工程學報，2008，21(3)：261-267.

GUO Yong-qiang. Dynamic property analysis of complex space structures[J]. Journal of Vibration Engineering，2008，21(3)：261-267.

[13] 繆馥星.框架振動和瞬態(tài)響應(yīng)的回傳波射矩陣法研究[D]．上海：上海交通大學，2009.

Analysis of the transient response and natural frequency of a frame by the reverberation-ray matrix method

CHEN Jin-hao1, YU Yun-yan2

(College of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:Based on the method of reverberation-ray matrix, the reverberation-ray matrix of a of frame was established in accordance with the force balance, the displacement compatibility conditions of joints and the relationship between displacements at two ends of each element. On this basis, the characteristics of elastic wave propagation in the frame were analysed. The basic waveform characteristics of the incident wave, reflected wave and transmitted wave were discussed. The natural vibration frequency of the frame was solved and compared with the result by the finite element method. It is shown that both results are very close, and the effectiveness of the method was verified.

Key words:method of reverberation-ray matrix; elastic wave;frame structure; natural frequency

基金項目：國家自然科學基金資助(51268031);甘肅省基礎(chǔ)研究創(chuàng)新群體資助(145RJIA332);甘肅省自然科學基金資助(1107RJZA084)

收稿日期：2015-03-10修改稿收到日期：2015-06-08

通信作者余云燕 女，博士,教授,博士生導(dǎo)師，1968年生

中圖分類號:TU323.5

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.013

第一作者 陳進浩 男，碩士生，1988年生