正午日形跡的天文學原理和時空分布規律

蔣洪力（唐山市開灤一中， 河北 唐山 063000）

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正午日形跡的天文學原理和時空分布規律

蔣洪力
（唐山市開灤一中， 河北 唐山 063000）

摘要：太陽周年視位置軌跡為“8”字形，也叫做“日行跡”，它是重要的天文現象。本文分析了日行跡的天文學原理和日行跡的形成過程，并運用球面三角學推導太陽的地平坐標公式，結合Excel自動計算太陽的地平坐標并繪制日行跡圖，并由此歸納和綜合得出日行跡的性質和時空分布規律。

關鍵詞：天文學；日行跡；時差；平太陽日；時空分布規律

太陽在天球上的周年運行路線是黃道，它是近似正圓的橢圓軌道。但是，2015年浙江高考文科綜合試題第11題給出的某地正午太陽周年位置軌跡圖卻是“8”字形，我們稱其為“日行跡”［1］，它是重要的天文現象（見圖1）。該圖提供了豐富的天文地理信息。但很多學習者對其中一些問題感到困惑：為什么軌跡是“8”字形？它是如何形成的？圖中各點代表哪些日期？二分日的太陽位置究竟在“8”字形的哪個位置？日行跡的時空分布有哪些規律等。

圖1

為了培養學習者運用所學知識發現、分析、解決問題的能力和創新能力，不僅要讓學習者知道“是什么”，也應懂得“為什么”，知其然更要知其所以然。本文擬從研究正午日行跡的天文學原理入手，進而探討日行跡的性質和時空分布規律，并根據分析、推理、歸納得出的結論給出上述問題的解釋。

一、真太陽日和平太陽日

由于地球不停地自轉（同時伴隨公轉），在其旋轉一周的過程中，太陽先后經過地球上所有經線。一個真太陽日就是真太陽視圓面中心相繼兩次經過當地經線半平面的時間間隔。真太陽是在橢圓軌道——黃道上運行的，根據開普勒第二定律可知，它在軌道上各點的運行速率是不同的。真太陽（視太陽）位于午圈的時刻，即正午12時整，叫做“視午”。

一個平太陽日就是平太陽圓面中心相繼兩次經過當地經線半平面的時間間隔。平太陽是在天赤道上運行的，它的運行速率是均勻等速的。平太陽位于午圈的時刻，即正午12時整，叫做“平午”。

真太陽日的長度不均勻，用它計時誤差較大。為此，美國天文學家紐康于19世紀末提出，用一個假想的太陽（平太陽）代替真太陽，這個平太陽在天赤道上按真太陽在黃道上一年視運動的平均速度勻速運動，并盡量靠近真太陽。一平太陽日等于真太陽日全年的平均值。由于平太陽日的長度較為穩定和均勻，因而人們將它定為時間單位，并將其長度的86，400分之一定為“秒”的長度。之后，國際上規定在英國倫敦格林尼治天文臺零度經線測得的并由平子夜作為零時起算的平太陽時叫做“世界時”，它是平太陽時系統的代表。隨著計時系統的不斷改革和完善，出現了“協調世界時”，設置了“閏秒”制度，它是人們在科研、生活、生產活動中不可或缺的世界時的時刻和原子時的空前精密的秒長相互折衷協調的計時系統。由于它的精密、科學和實用性，在20世紀70年代順理成章地成為了世界通用的計時系統。

二、日行跡的天文學原理

日行跡的形成主要受以下因素影響：

1.黃赤交角

太陽周年運行的軌道是黃道，而時間（日長）是在天赤道上度量的。由于黃道面與天赤道面有23°26’的夾角（或地軸與地球公轉軌道面有66°34’的夾角），由球面三角學的正弦和余弦定理可以計算和證明，每日黃道上的黃經差并不等于它在天赤道上的投影即每日赤經差。在二至日，每日59’（即360°÷365.2422日）的黃經差投影到天赤道上造成64’的赤經差；在二分日，每日59’的黃經差造成54’的赤經差。即黃赤交角因素使太陽日發生±5’的變化，也即±20s的變化。因此，即使每日黃經差都相等，每日赤經差也是不等的，況且每日黃經差并不相等。

2.橢圓軌道

地球公轉軌道叫作黃道，其形狀為橢圓形，真太陽位于橢圓的一個焦點上，離心率為0.0167，因此日地距離隨時在發生變化。根據開普勒第二定律，地球繞太陽公轉的速率是不均勻的，有時運行速率快，有時運行速率慢，這就使得真太陽日長度各不相同。1月初，地球位于軌道的近日點，公轉速度最快，則太陽日最長，每日黃經差為61’；7月初，地球位于遠日點，公轉速度最慢，則太陽日最短，每日黃經差為57’。即橢圓軌道因素使太陽日發生±2’的變化，也即約±8s的變化。這樣，真太陽日長度與均勻的平太陽日長度59’相比較，就有一個差值。

如果僅考慮黃赤交角的影響，則真太陽長度為二至日最長，二分日最短；如果僅考慮橢圓軌道的影響，真太陽長度為1月初最長，7月初最短。

上述兩因素中，黃赤交角影響大于橢圓軌道的影響。由于兩因素的疊加作用，全年真太陽日極大值由二至點向近日點（1月初）偏移，極小值由二分點向遠日點（7月初）偏移，從而造成：

全年真太陽日極大值為24h0m29s，出現在12月23日，次極大值為24h0m13s，出現在6月20日；

全年極小值為23h59m39s，出現在9月17日，次極小值為23h59m42s，出現在3月26日；

真太陽日長于平太陽日的時段為5月15日～7月26日和11月3日～2月12日；

真太陽日短于平太陽日的時段為2月12日～5月15日和7月26日～11月3日；

真太陽日等于平太陽日的日期為：2月12日，5月14日，7月26日，11月3日；

冬至日接近近日點，則冬至長于夏至；秋分接近遠日點，則秋分日短于春分日。

因此，由真太陽和平太陽為標準的計時系統即視（真）太陽時不同于平太陽時，視午不等于平午。

我們定義視時（即視太陽時）減去平時（即平太陽時）叫做時差，即時差η=視時-平時。

真太陽的速率有時大于平太陽，則位于平太陽以西，時差為正值；有時小于平太陽，則位于平太陽以東，時差為負值；有時等于平太陽，則時差為零值。以平午周年位置“l”字形軌跡為標準，全年各日期視太陽偏離平太陽幅度大小不同，因此就形成了“8”字形視午日行跡。［2］

三、北緯40°正午日行跡圖的計算和繪制

表1 40°N視午和平午日行跡計算數據

為了深入了解日行跡的性質，我們繪制并選取北緯40°正午日行跡圖來進行分析。

首先，選取每月的1日、11日和21日前后、二分二至日、與時差為零值和極值相對應的日期（由于篇幅所限，具體日期請看圖2的日期標記），在《中國天文年歷》上選取與上述日期相對應的時差和赤緯等數據，在Excel建立表1。因為3、6、9、12月的21日前后為二分和二至日，而1日是各月的首日，選取上述日期可以在日行跡圖上清晰地顯示各月時段及其對應的太陽位置以及時差周年變化的趨勢。

其次，根據球面三角學推導出高度角公式［3］：

（φ∈［-90°，90°］，δ∈［-23°26’，23°26’］，t∈［0°，180°］。）。

上式中，h為太陽高度角，φ為當地緯度；δ為赤緯，即太陽直射點緯度；t為時角，即午圈與太陽所在時圈的經度差。根據余弦和反余弦函數的定義、定義域和值域，為了計算簡便并使時角與時差同號，本文定義時角以午圈與周日圈的交點為計算起點，沿周日圈度量，向西為正值，向東為負值。

然后將φ=40°、t值和表1的δ值代入公式（1）中，用Excel軟件自動計算出40°N地區全年各日期的真太陽高度角。

例如計算2月12日的太陽高度角，則φ=40°，δ=-13.8222°，t=-14.224÷4°。因為太陽周日運行軌道——周日圈與天赤道平行，而時角是從天赤道或周日圈上度量的，時差既表示視午和平午的差值，同時也反映了視太陽在該日周日圈上的位置，所以時差η可以看作時角t。由于地球的自轉，太陽時角每小時增長15°，每4分鐘增長1°，即

△t=360°÷24h=15°/h=1°/4min，因此，時差η也可以用角度單位來表示，則時角t =η÷4°=-14.224÷4°。

將上述數據代入公式（1），用Excel進行自動計算，得真太陽高度角：

h=arcsin（sinφsinδ+cosφcosδcost）

=arcsin（sin40°sin（-13.8222°）+cos40°cos（-13.8222°）cos（-14.224÷4°）

=36.0762°

第三，根據球面三角學推導出方位角A公式：

然后將有關數據代入（2）式計算出所有方位角。

根據余弦和反余弦函數的定義、定義域和值域，以及視午的方位角均位于午圈附近，本文定義方位角以南點S為起點，在地平圈上度量，向西為正值，向東為負值，即與時差正負相同。因此，（2）式的計算結果要根據時差的正負修正正負號。

第四，將地平圈作為橫坐標軸，表示方位角大小和方向；南點S向上的垂線段為午圈，作為縱軸，表示太陽高度；原點為S。在表1選中“方位角”和“真太陽高度”這兩列數據，利用Excel制作“散點圖”，最后對圖像進行格式修飾。日行跡圖的計算和繪制如圖2所示。

圖2 北緯40°視午、平午日行跡

四、北緯40°正午日行跡圖形的性質

1.平午軌跡為“l”字形

當太陽位于正南天空，即位于午圈時，為正午時刻，時角t=0°，代入公式（1），即

sinH午=sinφsinδ+cosφcosδcos0°=cos（φδ）=sin［90°-（φ-δ）］

得正午太陽高度角公式：

以該公式的解為坐標的點都是午圈上的點，即全年各日期的平午高度位置都在午圈上，所以平午軌跡為“l”字形，即圖2的午圈。

2.視午軌跡為正“8”字形，但并不是嚴格垂直于地平

由圖2可以看出，視午日行跡為正“8”字形。由于時差較小，全年視午太陽高度最大值和最小值仍然分別在6月22日和12月22日。將表示這兩日的點連一直線，作為“8”字的軸線，則該直線上半段向東偏離午圈，下半段向西偏離午圈，即視午日行跡并不是嚴格地垂直于地平。

3.時差與視太陽日、平太陽日的關系

上述時差實際上是視太陽日和平太陽日差值的累計。這好比手表（視太陽）時間每天比北京時間（平太陽）慢2s，則第60天就比北京時間慢120s；如果第61天手表時間加快2s，則此日手表時長等于北京時間時長，因此第61天仍比北京時間慢120s；從第62天起，如果手表時間每天比北京時間快3秒，則經過40天，兩者之差的累計依次為-117s，-114s，…，-3s，0s；再經過20天，兩者差值累計為+60s。假如次日手表時長精確等于北京時間時長，而從第3天起，手表時間每天比北京時間慢1s，則從次日起，兩者之差的累計依次為+ 60s，+59s，+58s，…。

所以，當視太陽日（手表時間）長于平太陽日（北京時間）期間，視午逐日推遲，時差逐日變?。划斠曁柸斩逃谄教柸掌陂g，視午逐日提前，時差逐日變大；當視太陽日由長于平太陽日轉為短于平太陽日，或視太陽日由短于轉為長于平太陽日的時刻，也就是視太陽日等于平太陽日之時，時差出現極小值或極大值，如上述-120s和+60s的情況。

視午的方位角與時差呈正相關，因此可以用圖2和表1來分析時差與視太陽日、平太陽日的關系。圖2中縱坐標為午圈，表示日期；橫坐標為地平圈，表示視午的遲早和時差的大??；南點S為原點，表示時差為零值以及平午的位置，向右（西）為正，視午提前，時差增大；向左（東）反之。

全年時差為零值的日期為4月16日，6月15日，9月1日和12月24日，此四日視午與平午均位于午圈上，高度相同，兩個太陽重合，具有相等的赤經；［4］

時差極大值為+16.4min，出現在11月3日；次極大值為+3.8min，出現在5月15日。視太陽位于平太陽以西，視太陽日等于平太陽日；

時差極小值為-14.224min，出現在2月12日；次極小值為-6.3min，出現在7月26日。視太陽位于平太陽以東，視太陽日等于平太陽日；

5月15日～7月26日和11月03日～2月12日，真太陽日長于平太陽日，視午逐日推遲，時差逐日減小；

2月12日～5月14日和7月26日～11月03日，真太陽日短于平太陽日，視午逐日提前，時差逐日增大［5］。

4.“8”字形下寬上窄

因為全年時差最大值和最小值分別出現在11月3日和2月12日，兩者太陽高度近似相同，均位于“8”字形的下圓環，因此下部寬于上部。

5.“8”字形的兩個圓環的交點并不是春秋分日，而是4月16日和9月1日

令m為所求月份，d為所求日期，則北半球夏半年（3月21日至9月23日）總天數Sd為

Sd=｛28（m9-1）+［2.6（m9+1）］-7+d9｝-｛28 （m3-1）+［2.6（m3+1）］-7+d3｝

=｛28（9-1）+［2.6（9+1）］+23｝-｛28（3-1）+［2.6（3+1）］+21｝

=28（8-2）+26+23-10-21=186（天）。

上式中，左邊花括號內的算式是計算1月1日至9月23日的總天數；右邊花括號內的算式是計算1月1日至3 月21日的總天數；下取整函數［x］表示x的整數部分，其值為不大于x的最大整數，x∈R。

北半球夏半年總計186天，比冬半年的179天（即365-186）多7天。因此，“l”字圖形最高點和最低點連線的垂直平分線平行下移一小段距離，與“8”字形相交的兩交點才是春秋分日視太陽的位置（見圖2）。

6.時差的周年變化趨勢

時差的周年變化趨勢可以從“8”字的上環和下環分別來分析：

上環的太陽位置隨日期的推移沿逆時針方向移動。每年的4月16日，兩個太陽具有相等的赤經，時差為零；從這時開始，時差為正值，且愈來愈大，到5月15日達極大值；此后逐漸減小，到6月15日，時差為零；之后時差為負值，到7月26日達極小值；此后負的時差值逐漸縮小，到9月1日，兩個太陽又具有相等的赤經，時差為零值；

下環的太陽位置隨日期的推移沿順時針方向移動。9月1日之后，時差為正值，且逐漸增大，到11月3日達全年最大值；之后逐漸減小，到12月24日，時差為零；此后時差為負值，且逐漸減小，到2月12日達全年最小值；此后負的時差值逐漸縮小，到4月16日，兩個太陽又具有相等的赤經，都回到一年前的4月16日的位置，時差為零（見圖2）。［6］

五、日行跡的時空分布規律

1.北回歸線至北極圈之間的北溫帶地區

視午日行跡為正“8”字形，圓環上小下大；

太陽高度最大值和最小值之差為46°52’，即各日行跡的“身高”均相同。這是因為：

全年正午太陽高度最大值Hmax，應是太陽直射北回歸線的時刻，全年正午太陽高度最小值Hmin，應是太陽直射南回歸線的時刻。

將δ=-23°26’代入（3）式，因為φ＞δ，

Hmin=90°-|φ-δ|=90°-φ+δ=90°-φ-23°26’；

將δ=23°26’代入（3）式，

Hmax=90°-|φ-δ|=90°-φ+δ=90°-φ+ 23°26’。

聯立上兩式，并相減，得

Hmax-Hmin=23°26’-（-23°26’）=46°52’。

因為太陽直射點南北移動的幅度為23°26’×2= 46°52’，而此地區位于北回歸線以北，φ＞δ，所以極值之差為46°52’。如圖3所示。

隨著緯度由高緯向低緯逐漸降低，“8”字形整體逐漸平行上移，即太陽高度逐漸增高。因為緯度越低，太陽高度角越大，但極值之差不變，或者說，日行跡的“身高”都相等。

2.南北回歸線之間的熱帶地區

日行跡體現太陽高度角和方位角隨日期（或赤緯）而變化。本區是全球太陽最高的地區，各緯度一年內有兩次太陽直射。太陽高度自直射點向南北兩側遞減；高度極值之差由回歸線的46°52’向赤道遞減到23°26’，北（南）半球日行跡也隨之以地心為旋轉中心，逐漸向天頂以北（南）旋轉，到赤道，日行跡與地平平行；高度最高的弧段隨直射點的移動而移動，日行跡逐漸變形。

以赤道為例，3月和9月太陽直射赤道及其附近，所以這兩個時段太陽最高；6月和12月太陽分別直射北回歸線和南回歸線及其附近，赤道地區遠離直射點，所以這兩個時段太陽最低，但兩者高度基本相同或相近。夏半年和冬半年各時段的太陽分別位于天頂以北和以南，“8”字形與地平面平行；全年高度極值之差即“身高”只有23°26’（見圖3）。

圖3 北半球主要緯度日行跡

3.南回歸線至南極圈之間的南溫帶地區

此地區為視午標準的倒“8”字形日行跡；隨著緯度由南回歸線向南逐漸增高，視午“8”字形整體逐漸平行下移。因為緯度越高，高度角越小，但極值之差不變，為46°52’，日行跡的“身高”都相等（見圖4）。

圖4 南半球主要緯度日行跡

4.極圈至極點的寒帶地區

北寒帶地區，視午日行跡為正“8”字形的上半部分弧段。以85°N地區為例，4 月3日至9月10日太陽直射點在5°N至23°26’N之間北南移動兩次，此時段為160天的極晝期，日行跡圖只顯示此時段正“8”字形上半部分的弧段；

圖5 南極康考迪亞科考站16時日行跡

南寒帶地區，視午日行跡為倒“8”字形的上半部分弧段。以85°S地區為例，自10月6日經過12月22日至次年3月8日共有153天的極晝期，日行跡圖只顯示此時段倒“8”字形的上半部分弧段。圖5為科學家在南極的康考迪亞科考站每天16時拍攝的復合照片［7］，清楚地顯示了南極附近地區倒“8”字上環太陽隨日期的推移呈順時針方向移動。該影像呈現了9月到3月的太陽位置，其他時間都是極夜，太陽在地平以下。由于大氣折光作用，3月23日和9月17日、9月21日的太陽在地平以上。嚴格來說該科考站并不是南極點，而是南極點附近，因此16時的日行跡略向西傾斜。［8］

由于南北寒帶地區各有一時段為極夜期，太陽在地平以下，為負的高度值，其地平以下部分的日行跡不顯示，因此，地平面以上日行跡的“身高”取決于極晝期的長短。但太陽在軌道的位置是真實存在的，理論上負的高度值也是合理的，高度的極值之差仍為46°52’。

六、結語

我們來給出2015年浙江高考文科綜合試題第11題的解析。

例：圖1為某地地方時12時的太陽周年位置軌跡示意圖，若甲、乙兩個位置的太陽高度之和為90。，則乙位置太陽高度為多少度？

解：由本文分析可知，圖1為北半球的日行跡。正午太陽高度全年最小值在地平面以上，說明該地無極夜現象。因為甲乙兩個位置的太陽高度之和為90°，而溫帶范圍的太陽高度之和在47°至133°之間，熱帶范圍的太陽高度之和在133°至156.5°之間，見表2（根據公式（3）計算），說明某地位于溫帶范圍，但溫帶范圍的太陽高度角之差必為47°。甲為全年正午太陽高度最大值，應為北半球的夏至日，乙為全年正午太陽高度最小值，應為北半球的冬至日。

表2 北半球正午太陽高度極值之比較

設甲位置太陽高度為H甲，乙太陽高度為H乙。將δ =23.5°代入（3）式，因為φ＞δ，

H甲=90°-|φ-δ|=90°-φ+δ=90°-φ+ 23.5°；

將δ=-23.5°代入（3）式，

H乙=90°-φ+δ=90°-φ-23.5°

聯立上兩式，并相減，得H甲-H乙=47°。

列方程組：H甲+H乙=90° H甲-H乙=47°

解得： H甲=68.5°

H乙=21.5°

φ=90°-H甲+23.5°=45°

答案：乙位置太陽高度為21.5°。

由（3）式可以得出圖1為45°N地區的日行跡。

現象和本質是兩個不同的概念?，F象是事物本質的外部表現，是局部的，可以為人的感官直接感知；本質是事物的根本特征，是比較深刻的、一貫的和穩定的方面，是事物的內部聯系，本質只能借助于分析、推理、論證、綜合等抽象理性思維才能被認識。因此我們要透過現象揭示本質，把握事物的規律和發展方向。

日月星辰每日東升西落，即它們各自的周日視運動方向均是自東向西的，其本質是地球自西向東繞地軸自轉的結果。

太陽周年視運動方向是自西向東的，其本質是由于萬有引力作用，地球自西向東圍繞太陽公轉的結果［9］。

從地球上看，在天球恒星背景下，火星的視運動方向是向東的，但在“沖”日前后一段時間，也就是地球位于火星和太陽之間，并且三者大致成一直線時，火星是“逆行”的［10］，即向西運行。其原因是地球與火星在各自的橢圓軌道的同側同向繞太陽公轉，且地球公轉速度大于火星公轉速度，同時兩者在橢圓軌道上速率發生變化造成的結果。而其本質則是火星一直在向東運行的。這好比在高速列車（地球）內的乘客，看到的是車外同向（向東）慢速行駛的汽車（火星）在向相反的方向（向西）倒退（逆行）。實際上汽車與列車是同向（向東）行駛的。

在圖1至圖5中我們看到的現象是，在固定的地點同一時刻視太陽周年位置完整的軌跡為“8”字形；而根據開普勒第一定律，地球軌道是橢圓形，或者說視太陽周年位置軌跡是橢圓形。［11］

又是“8”字形，又是橢圓形。那么，如何解釋兩者之間的關系呢？其實，這與觀測者和太陽的相對位置有關。比如從不同的方向去觀察一個正圓，得到的結果可能是正圓或橢圓或直線段等形狀。

從地球上看，視太陽軌跡表現為相對于平太陽軌跡的高度和方位的周年變化，如圖2。因此，固定的地點同一時刻日行跡表現為“8”字形。

從整體、宏觀的層面來看，觀測者的視線應從垂直于日行跡的方向去觀測，才能得出完整真實的太陽周年軌跡形狀。那就是超然于地球，從黃北極觀測視太陽周年位置軌跡——黃道的形狀為近似正圓的橢圓。

地球上的人類，無法感知地球的公轉，人們所能感覺到的只能是太陽的周年運動，它的周年運動實際是地球公轉的結果和反映。人們正是通過對太陽周年運動軌跡、位置、周期、速度和方向的觀測和研究，得知地球公轉的軌跡、位置、周期、速度和方向；同時，對太陽在地球上的日行跡進行天文學原理和時空分布規律的研究，也有助于我們對太陽在其他行星的日行跡的探究。這就是人們研究視太陽運動規律的意義之所在。

參考文獻：

［1］ 百度百科.日行跡［EB/OL］.http：//baike.baidu. com/link？url=BR9W12OPrHxkFBuP2sifRY9kN0xi9Rm6VUWz6ZcfuAWDeLunJjoeYIPMLAybfxI6I-om6nctoPpCWZSSWfUca.

［2］ 金祖孟.地球概論［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［3］ 人民教育出版社，課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數學（球面上的幾何）［M］北京：人民教育出版社，2008.

［4］ 天文學編委會.中國大百科全書（天文學）·天球坐標系［M］.北京：中國大百科全書出版社，1980.

［5］ 天文學編委會.中國大百科全書（天文學）［M］.北京：中國大百科全書出版社，1980.

［6］ 金祖孟.地球概論［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［7］ 百度搜索.“北京天文館每日一天文圖，南極地區史上第一張日行跡”［EB/OL］.http：//weibo.chinatimes. com/user/nasawatch/3890316190986122.

［8］［9］［10］［11］易照華等.天體力學引論［M］.北京：科學出版社，1978.