基于AR模型的Yule-Walker法和Burg法功率譜估計性能分析*

張柏林　楊承志　吳宏超

(空軍航空大學　長春　130022)

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基于AR模型的Yule-Walker法和Burg法功率譜估計性能分析*

張柏林楊承志吳宏超

(空軍航空大學長春130022)

摘要譜估計技術作為一種重要的信號分析手段廣泛應用于各種技術領域,具有十分重要的工程應用價值。論文在介紹Yule-Walker法和Burg法的基礎上,基于Matlab仿真平臺,以Yule-Walker法為例,從采樣點數和模型階數對功率譜估計的影響方面進行仿真分析,之后又對Yule-Walker法和Burg法進行仿真比較,分析了兩種算法的優缺點。

關鍵詞AR模型; Yule-Walker法; Burg法; 功率譜估計; 性能分析

Class NumberV19

1引言

功率譜估計是從頻率分析隨機信號的一種方法,一般分為兩大類:傳統譜估計和現代譜估計[1]。傳統的功率譜估計方法是利用加窗的數據或加窗的相關函數估計值的傅里葉變換來計算的,具有計算效率高、估計值正比于正弦波信號的功率等優點,但是同時也存在許多缺點,主要缺點是方差性能較低、譜分辨率差和譜估計不穩定。現代譜估計不再是簡單的將觀察區外的未知假設為零,而是先將信號的觀測數據估計模型參數,按照求模型輸出功率的方法估計信號的功率譜,避免了數據觀測區以外的數據假設問題。因此,參數模型法可以大大提高功率譜估計的分辨率,是現代譜估計的主要研究內容,在語音分析、數據壓縮以及通信等領域都有著廣泛的應用[2]。本文在介紹Yule-Walker算法和Burg算法的基礎上,基于Matlab仿真平臺對估計算法進行仿真和驗證,并分析了兩種算法的優缺點。

2基于AR模型的功率譜估計

假設產生隨機序列x(n)的系統模型為一個線性差分方程,即

(1)

式中,w(n)表示白噪聲序列,對上式進行Z變換,可得

(2)

所以,系統的傳遞函數為

(3)

(4)

(5)

(6)

又z=ejw,可

(7)

由式(7)可得到,當i>0,bi=0時,系統的差分方程可變為

(8)

式(8)即為自回歸模型,簡稱AR模型[3],再對其進行Z變換,得到

(9)

所以AR模型為全極點模型,其輸出的功率譜為

(10)

3Yule-Walker法和Burg法功率譜估計

Yule-Walker法又稱自相關法,其核心是從隨機信號序列的自相關序列中計算出指定階數AR模型的參數,以得到該隨機信號序列的功率譜估計,這種方法其本質是就是利用自相關法求解AR模型的參數[4]。

Yule-Walker法估計可以通過求解如下方程得到,其求解過程可以用遞推算法Levison-Durbin來實現:

(11)

式中,r(1),r(2),…,r(n+1)為相關系數;a(2),…,a(n+1)是自回歸系數。

Yule-Walker法PSD估計的公式為

(12)

式中,e(f)為負數正弦曲線。

利用自相關法求解AR模型參數的步驟:第一步,估計觀測序列的自相關系數矩陣;第二步,利用Levison-Durbin遞推算法求解AR模型參數。Levison-Durbin算法是從低階開始遞推,直到p階,給出了每一階次的所有參數,這有利于選擇合適階次的AR模型。由于自相關法等效于對前向誤差前后加窗,加窗結果使得自相關法的頻率分辨率降低。數據越短,分辨率越低[5]。

Burg法是一種在Levison-Durbin遞歸約束條件下,使前向和后向預測誤差能量之和為最小的自回歸功率譜估計的方法。

假定線性預測AR模型的前向預測誤差和后向預測誤差分別為fp(n)和bp(n):

fp(n)=x(n)+ap1x(n-1)+…+app(n-p)

(13)

bn(n)=x(n-p)+ap1x(n-p+1)+…+app(n)

(14)

前后預測誤差的功率之和為

Pfb=12[Pf+Pb]

(15)

fp(n)和bn(n)存在下面的遞推關系:

fs(n)=fs-1(n)+hsbs-1(n-1)

(16)

bs(n)=bs-1(n)+hsbs-1(n-1)

(17)

式中,s為階次,s=1,2,…,p;hs為反射系數,且有hs=ass,而且

f0(n)=b0(n)=x(n)

(18)

根據Burg法使得前向和后向預測誤差能量之和相對于反射系數為最小,可得hs的估計公式為

(19)

然后,便可以由Levison-Durbin遞推算法求出s階次的AR模型的參數:

(20)

Burg法的遞推過程是建立在數據序列基礎上,避免了序列的自相關函數的估計,它能夠在低噪聲的信號中分辨出非常接近的正弦信號,并且可以用較小的數據記錄來進行估計,估計的結果非常接近真實值,而且用Burg法得到的預測誤差濾波器是最小相位的,所以與Yule-Walker法相比,具有較好的頻率分辨率[6～7]。但是,當用Burg法處理高階模型、長數據記錄時,結果的精度不是很高,并且有可能會出現譜線偏移和譜線分裂現象。

4算法仿真分析

仿真一:采樣點數的選擇對AR模型參數法功率譜估計的影響

觀測信號為一個正弦加高斯白噪聲平穩隨機序列:

x(n)=cos(2*pi*50*n)+A2*sin(2*pi*100*n)

+A1*cos(2*pi*150*n)+e(n)

采樣頻率為800Hz,當采樣點數為128和1024時,采用Yule-Walker法(Burg法可得到同樣的結論)頻率譜估計圖如圖1、圖2所示。

圖1　采樣點為128時的功率譜

從圖1可以看出,當采樣點數為128時,在頻率0～20Hz和200Hz～300Hz之間出現了虛假譜峰,并且幅度和真正的譜峰很接近。從圖2可以看出,當采樣點數為1024時,虛假譜峰的幅度很小或消失。因此R模型參數法頻率譜估計的性能可以通過增加采樣點數來解決[7～9]。

圖2　采樣點為1024時的功率譜估計結果

仿真二:AR模型階數的選擇

在AR模型中,模型階次p的選擇是一個十分重要的問題。一般模型的最好選擇是先驗未知的,實際中需要預先選定模型的階次。

觀測信號為一個正弦加高斯白噪聲平穩隨機序列:

x(n)=cos(2*pi*100*n)+A2*sin(2*pi*150*n)

+A1*cos(2*pi*155*n)+e(n)

選擇模型的階次k

如圖3所示,估計選擇的階數為50階,此時,估計結果對頻率150Hz和155Hz的兩個譜峰產生了平滑作用,降低了估計的分辨率;如圖4所示,估計選擇的階數為70階,估計信號接近真實信號,可以分辨出150Hz和155Hz的兩個譜峰。如圖5所示,估計選擇的階數為100階,雖然頻率為150Hz和155Hz的兩個譜峰非常明顯,但是其他頻率譜峰起伏性明顯增強,使得虛假頻率成分增加。因此,在缺乏先驗知識的情況下,可以試著用不同的方法確定模型的階,并對最終的譜估計結果進行分析和選擇[10～11]。

圖3　估計階數為50

圖4　估計階數為70

圖5　估計階數為100

仿真三:Yule-Walker法和Burg法功率譜估計

觀測信號為一個正弦加高斯白噪聲平穩隨機序列:

x(n)=cos(2*pi*60*n)+A2*sin(2*pi*100*n)

+A1*cos(2*pi*140*n)+e(n)

對其分別用Yule-Walker法和Burg法進行功率譜估計,功率譜估計曲線如圖6和圖7所示。

圖6　Yule-Walker法功率譜估計結果

5結語

本文比較了Yule-Walker法和Burg法在估計功率譜中的優缺點,算法的性能可以通過增加采樣點數和合適的階數選擇來解決,在缺乏先驗知識的情況下,可以試著用不同的方法確定模型的階,并對最終的譜估計結果進行分析和選擇。最后對Yule-Walker法和Burg法進行仿真比較,仿真結果表明,Yule-Walker法算法簡單,但是分辨率相對較差;Burg算法是較為常用的算法,計算不太復雜,并且具有較好的譜估計質量。

圖7　Burg法功率譜估計結果

參 考 文 獻

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Yule-Walker Method and Burg Method Based on AR Model Power Spectrum Estimate Performance Analysis

ZHANG BolinYANG ChengzhiWU Hongchao

(Aviation University of Air Force, Changchun130022)

AbstractSpectrum estimation technology as an important means of signal analysis is widely used in various technical areas, is of great importance to the engineering application value. Based on Matlab simulation platform, Yule-Walker method and Burg method are introduced, using the Yule-Walker method as an example, simulation analysis is carried out from the aspects of influence of sampling points and the order of the model of the power spectrum estimation, and then Yule-Walker method and Burg method are compared by simulation, the advantages and disadvantages of the two algorithms are analyzed.

Key WordsAR model, Yule-Walker method, Burg method, power spectrum estimate, performance analysis

* 收稿日期:2015年11月4日,修回日期:2015年12月24日

作者簡介:張柏林,男,碩士研究生,研究方向:航空電子偵察。

中圖分類號V19

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.05.008