基于協方差矩陣重構和導向矢量估計的穩健自適應波束形成

謝菊蘭　李昕亞　李會勇　王旭

(電子科技大學,成都 611731)

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基于協方差矩陣重構和導向矢量估計的穩健自適應波束形成

謝菊蘭李昕亞李會勇王旭

(電子科技大學,成都 611731)

摘要實際應用中,當假定的與真實的期望信號導向矢量之間存在一定誤差時,波束形成器的性能會急劇下降,特別是當期望信號功率很強的時候.為解決這個問題,提出了一種新的算法.當信源數小于陣元數時,干擾加噪聲協方差矩陣具有稀疏性.新方法首先利用該特性重構干擾加噪聲協方差矩陣并由此得到與干擾導向矢量正交的子空間,使接收的數據通過該子空間得到只含有期望信號和噪聲的混合信號,然后，對該混合信號基于最大化輸出功率原理估計期望信號導向矢量,最后，把得到的導向矢量和正交子空間來構造陣列加權值.仿真結果表明：該算法分別在假定的期望信號導向矢量存在誤差、期望信號很強和低快拍數時仍然具有良好的性能.

關鍵詞穩健自適應波束形成;導向矢量誤差;期望信號功率；矩陣重構

引言

自適應波束形成技術是陣列信號處理中的關鍵技術,具有廣泛的應用前景．傳統的波束形成算法往往是建立在我們已經知道準確的期望信號導向矢量這個條件下來抑制干擾的．然而在強期望信號背景下,由于采樣快拍中含有期望信號成分,使得這些算法的性能對系統中出現的失配量非常敏感[1-3],這些失配量可能來自信號傳播環境、陣元分布、快拍數有限等．任何一種失配都將對系統性能造成嚴重的影響．因此,近年來,穩健的自適應波束形成算法吸引了許多研究者的關注,一些穩健的自適應波束形成算法也被陸續提出[4-5]．

一類常見穩健的自適應波束形成算法是特征分解波束形成法(Eigen-Subspace Beamforming, ESB)[6],這種方法基于特征值分解利用了信號子空間的特性．該類算法的不足是當信噪比較低的時候性能會受影響并且需已知信源個數．還有一些穩健的自適應波束形成算法通過給樣本協方差矩陣加載一個對角矩陣改善系統穩健性,這類算法稱為對角加載算法[7-8],它們的缺點是在不同的背景下無法確定最優的加載量．第三類穩健波束形成算法是基于最差情況的最優化問題準則的算法[9-10],這種算法實際上與第二種算法是等價的[8]．此外大多數此類穩健波束形成算法是基于二階錐規劃問題(Second Order Cone Programming, SOCP)的,求解需要使用一些特殊的最優化工具箱[11],這類算法容易陷入局部尋優的問題且不利于工程實現,因此其實際應用價值有限．最近,有一種算法吸引了很多研究者的關注[12-18],這種算法在已知期望信號來波方向的空域范圍內積分,通過最小化輸出功率估計真實的期望信號導向矢量．然而大部分此類算法是基于二次約束二次規劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming, QCQP)的,通過凸優化工具箱比如CVX[19]求解．此類算法同樣面臨局部尋優的問題,且在弱期望信號時往往期望信號導向矢量估計不準確．以上提到的大部分穩健的自適應波束形成算法在強期望信號背景下性能都會嚴重衰退,不能對干擾進行有效抑制．

本文提出了一種穩健的自適應波束形成算法,這種算法首先利用矩陣的稀疏特性重構干擾加噪聲協方差矩陣并由此得到與干擾信號導向矢量正交的矩陣,利用該矩陣的正交性去除干擾信號之后,再利用旋轉子空間的原理通過最大化輸出功率估計導向矢量,將得到的導向矢量作為陣列加權值,最終使波束形成器在強期望信號背景下具有對抗期望信號導向矢量失配的穩健性．該方法基本不受期望信號輸入信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)的影響,并且在期望信號來波方向失配量很大時也可以保持很好的性能,同時還具有快速的收斂速率．

1信號模型

假設有N+1個相互獨立窄帶信號入射到M元均勻陣列,入射信號與噪聲相互獨立,其中期望信號s0(t)的導向矢量記為a0,干擾信號的導向矢量為ad(d=1,2,…,N),接收信號記為

x(t)=As(t)+n(t).

(1)

最小方差無失真響應(Minimum Variance Dis-

tortionless Response, MVDR)波束形成算法基于以下最優問題[20]為

(2)

得出如下的最優解為

(3)

(4)

(5)

2基于干擾加噪聲協方差矩陣重構和導向矢量估計的穩健波束形成

2.1干擾加噪聲協方差矩陣稀疏重構

(6)

將式(6)中的壓縮感知問題分解為兩個獨立的子問題:通過分析可用的訓練數據計算來波方向(Direction of Arrival, DOA);再利用得到的來波方向和不等式條件估計信源的功率．這兩步合起來便得到了式(6)的解．

得到DOA之后,公式(6)的壓縮感知問題就可以分解為一個不等式約束的最小均方問題

(7)

忽略限制條件,公式(7)的解可以表示為

(8)

式中:

G≡ vec(a(θp,1)aH(θp,1)),…,[

(9)

(10)

估計的空間譜為

(11)

(12)

式中:

(13)

,

(14)

(15)

修改后的功率譜為

(16)

用得到的稀疏譜重構干擾加噪聲協方差矩陣:

(17)

y(t)=Px(t)=Pa0s0(t)+Pn(t).

(18)

從式(18)可以看出輸入信號與矩陣P相乘后只剩下信號成分和部分噪聲．

2.2利用旋轉子空間求解導向矢量

期望信號來波方向在一個已知的空域范圍Θ內,并且干擾信號不在這個范圍內．因此,我們在這個范圍內建立正交子空間,通過旋轉子空間來估計真實的導向矢量[17]．首先通過積分構造正定矩陣:

C=∫Θa(θ)aH(θ)dθ.

(19)

a0=Ur.

(20)

式中,矢量r∈CK×1是所需的旋轉矢量．

由于矩陣P與干擾信號導向矢量ad正交,令權向量為

w=Pa0=PUr.

(21)

此時,權向量滿足條件:

wHad=0.

(22)

陣列輸出為

z(t)=wHy(t).

(23)

s.t. rHr=M.

(24)

式中:

(25)

(26)

利用Lagrange乘子法,最小化下面的函數為

(27)

(28)

2.3本算法主要步驟

為便于更好地理解本文算法,現就所提算法的步驟作如下歸納:

3仿真結果

為了驗證上述分析,進行了仿真驗證,所有仿真實驗都基于500次獨立實驗．仿真是基于陣元間距為半波長的16元均勻線陣．入射信號包括一個期望信號和兩個功率相等的干擾信號．對兩個干擾信號,干噪比(Interference-to-NoiseRario,INR)為30dB,其來波方向分別為θ1=-30°和θ2=50°．假定期望信號的來波方向為25°,期望信號可能的來波方向范圍為Θ=[θs-5°,θs+5°]．

最優波束形成(Optimal)[24-25]是基于最大輸出信干噪比(SignaltoInterferenceplusNoiseRario,SINR)準則得到的波束形成,是衡量波束形成算法性能的重要指標．將本文提出的算法與下述算法進行對比:傳統的MVDR算法[20],稀疏重構(SparseReconstruction,SR)法[21],旋轉子空間(RotatingSubspace,RS)估計導向矢量法[22],基于特征子空間的投影法(ProjectionMethod,PM)[23]．其中RS估計導向矢量法中構造信號子空間時主特征值個數取4個[22]．本文提出的算法中構造矩陣U時主特征值的個數取4個．

仿真實驗1: 在這個實驗中,我們對比幾種算法的歸一化波束圖．這里快拍數取5 000．假設觀測角度誤差為-5°,也就是說真實的期望信號來波方向為20°．期望信號對應的信噪比為20 dB．圖1為幾種算法歸一化波束圖的對比．

由圖1可以看出,本文提出的算法(記為Proposed)不僅在干擾信號的來波方向上形成了較深的零陷,而且主瓣也對準了真實的期望信號來波方向．作為對比的其他幾種算法,其中MVDR算法在強期望信號背景下,期望信號導向矢量存在誤差時,不僅主瓣處出現了下陷,也沒有在干擾信號的來波方向上形成零陷;SR法在干擾信號的來波方向上形成了較深的零陷,但是其主瓣并沒有對準期望信號的來波方向;RS估計導向矢量法盡管主瓣對準了期望信號的來波方向,同時也在干擾信號的來波方向上形成了零陷,但是其旁瓣過高,在強期望信號背景下主瓣甚至低于旁瓣;基于特征子空間的PM法的主瓣對準了期望信號的來波方向,但是在干擾方向上并沒有形成零陷．綜上所述,本文提出的算法在強期望信號背景下,期望信號導向矢量存在誤差時,性能優于其他幾種算法,在強期望信號背景下和期望信號導向矢量存在誤差時具有一定的穩健性．這是由于與之對比的其他幾種算法只考慮到了期望信號過強時直接使用樣本協方差矩陣作為干擾加噪聲協方差矩陣的估計會因為混入期望信號成分導致主瓣形成下陷;或是只考慮到期望信號導向矢量存在誤差時的情況．因此當期望信號過強并且期望信號導向矢量存在誤差時,這些算法的性能都不如本文提出算法的性能．

圖1　輸入信噪比SNR為20 dB時的波束圖對比

仿真實驗2: 在這個實驗中,我們觀察幾種算法輸入SNR對輸出SINR的影響．這里,期望信號來波方向的隨機誤差滿足[-5°,5°]的均勻分布,期望信號的來波方向滿足[15°,25°]的均勻分布．期望信號的信噪比從-30 dB到50 dB變化．快拍數為5 000．

從圖2可以看出,本文提出的算法在輸入SNR較低的時候輸出SINR低于最優的SINR,同時隨輸入SNR的增大而增大,隨著輸入SNR的逐漸增大,輸出SINR基本接近最優的輸出SINR．作為對比的幾種算法,其中MVDR算法的輸出SINR一開始隨輸入SNR的增大而增大,當輸入SNR增加到-10 dB左右的時候,輸出SINR隨輸入SNR的增大而減小;SR法的輸出SINR基本隨輸入SNR增大而線性增大,一開始比本文提出的算法的輸出SINR要高,但是隨著輸入SNR的增加最終要略低于本文提出的算法的輸出SINR; RS估計導向矢量法輸出SINR一開始隨輸入SNR的增大而增大,當輸入SNR增大到15 dB左右,輸出SINR隨輸入SNR的增大而減小．而PM法輸出SINR一開始隨輸入SNR的增大而增大,當輸入SNR增大到20 dB左右,輸出SINR隨輸入SNR的增大而減小．綜上所述,當輸入SNR不是特別弱的時候,本文所提出的算法性能優于其他幾種算法．

圖2　輸出SINR隨期望信號輸入SNR變化曲線圖

仿真實驗3: 在這個實驗中,我們將期望信號來波方向的角度失配量固定,觀察不同算法的輸出SINR．這里,期望信號輸入SNR取20 dB,期望信號來波方向的角度失配量從-5°到5°變化．快拍數為5 000．

從圖3可以看出,當期望信號來波方向失配量極大時,本文所提的算法依然與最優的輸出SINR接近．而SR法只在失配量較小的時候接近最優的輸出SINR．PM法的輸出SINR隨失配量絕對值的增大而減小．RS估計導向矢量法SINR盡管不隨期望信號來波方向角度失配量的變化而變化,但是其輸出SINR與最優的SINR有一定距離．傳統的MVDR算法對期望信號來波方向角度失配最敏感,從圖中可以看出極小的失配也會造成輸出SINR的極大下降．綜上可知,本文所提算法性能優于其他幾種算法．

圖3　輸出SINR隨期望信號來波方向失配角度變化曲線圖

仿真實驗4: 在第四個實驗中我們研究快拍數對輸出SINR的影響．期望信號來波方向的隨機誤差滿足[-5°,5°]的均勻分布,期望信號的來波方向滿足[15°,25°]的均勻分布．期望信號對應的信噪比為20 dB．這里隨機的期望信號來波方向每次蒙特卡洛實驗都是隨機的,但對應的快拍數固定．圖4為幾種算法輸出SINR隨快拍數變化的對比圖．從圖4可以看出,本文所提出的算法輸出SINR是最接近最優的SINR的,并且除SR法外其輸出SINR的收斂速度是最快的．盡管SR法輸出SINR的收斂速度與本文所提算法相同,但是其輸出SINR總是低于本文所提算法的輸出SINR．PM與RS估計導向矢量法的輸出SINR的收斂趨勢比較接近,只是PM的輸出SINR要高于RS估計導向矢量法．而傳統的MVDR算法的性能是最差的．綜上可知,本文所提的算法不僅輸出SINR的收斂速度優于其他算法,同時輸出SINR也是最接近最優的SINR的,其性能最佳．

圖4　輸出SINR隨快拍數變化曲線圖

4結論

本文針對強期望信號背景下,期望信號導向矢量存在誤差時波束形成器性能下降的問題,提出了一種結合了稀疏重構干擾加噪聲協方差矩陣和旋轉子空間估計期望信號導向矢量兩種算法的新算法．它不僅解決了期望信號過強時波束圖的主瓣處出現下陷的問題,同時還解決了期望信號導向矢量出現誤差時的穩健性問題,此外它的收斂速度也很好．通過仿真對比分析,該算法比其他幾種算法性能更好,具有一定的理論意義和實用價值．

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Robust adaptive beamforming based on reconstruction of the covariance matrix and the estimation of steering vector

XIE JulanLI XinyaLI HuiyongWANG Xu

(UniversityofElectronicScienceandTechnology,Chengdu611731,China)

AbstractIn the practical application, the error between the assumed steering vector of the desired signal and the real one causes the sharp degrading of the beamforming performance, especially when the desired signal power is strong. To solve this problem, a novel robust algorithm is proposed. The interference-plus-noise covariance matrix is sparse when the number of the signal source is less than the array element number. At first, by using this sparse property, the interference-plus-noise covariance matrix can be reconstructed, from which a subspace orthogonal to the steering vectors of interference signals can be obtained. Then, a mixed signal only containing the desired signal and the noise can be gained by mapping the received data through to this orthogonal subspace. The real steering vector of the desired signal can be estimated based on maximizing the out power of the mixed signal. The final beamforming weight can be constructed by using the orthogonal subspace and the real steering vector of the desired signal. Simulation results demonstrate the efficiency of the proposed algorithm in the case of the mismatch of the steering vector of the desired signal, the strong desired signal and the low snapshot number.

Keywordsrobust adaptive beamforming; the error of steering vector; the desired signal power; matrix reconstruction

收稿日期：2015-05-30

中圖分類號TN9117

文獻標志碼A

文章編號1005-0388(2016)02-0297-07

DOI10.13443/j.cjors.2015053001

作者簡介

謝菊蘭(1981-),女,湖南人,電子科技大學電子工程學院副教授,研究方向為數字波束形成與波束到達角估計等．

李昕亞(1990-),男,四川人,碩士研究生,研究方向為數字波束形成與抗干擾算法等．

李會勇(1975-),男,湖北人,電子科技大學電子工程學院教授,研究方向為自適應陣列處理和MIMO系統．

王旭(1987-),男,四川人,博士研究生,研究方向為陣列空時處理中的干擾抑制和波束形成．

謝菊蘭, 李昕亞, 李會勇, 等. 基于協方差矩陣重構和導向矢量估計的穩健自適應波束形成[J]. 電波科學學報,2016,31(2):297-303. DOI: 10.13443/j.cjors.2015053001

XIE J L, LI X Y, LI H Y, et al. Robust adaptive beamforming based on reconstruction of the covariance matrix and the estimation of steering vector[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(2):297-303. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015053001

資助項目: 國家自然科學基金(61301262,61371184); 中央高校基本科研業務費專項基金(ZYGX2013J022)

聯系人： 李昕亞 E-mail：lixinya24@126.com