最小平均偏相關(guān)法和平行分析在主成分分析中的應(yīng)用*

安徽師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（241000） 劉相英

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最小平均偏相關(guān)法和平行分析在主成分分析中的應(yīng)用*

安徽師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院（241000） 劉相英

探索性因素分析是多變量統(tǒng)計(jì)分析的主要方法之一，其目的在于通過(guò)對(duì)觀察變量的統(tǒng)計(jì)處理，用少數(shù)幾個(gè)因子來(lái)解釋變量所包含的主要信息，以達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的目的。這就需要研究者決定因子的數(shù)目，即多少個(gè)因子可以保證觀察變量的變異量能夠得到合理的解釋，需要兼顧簡(jiǎn)約性（parsimony）與完備性（completeness）原則［1］。

因子抽取的方法主要包括主成分分析法和主因素分析法兩類，主要的因素抽取技術(shù)包括Bartlett χ2最優(yōu)擬合度檢驗(yàn)、K1法、碎石圖檢驗(yàn)、Aaker原則、PA法、MAP法六種［2］。Bartlett χ2最優(yōu)擬合度檢驗(yàn)抽取的因子通常過(guò)多，Aaker法僅是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)原則。目前應(yīng)用較多的是根據(jù)特征根大于1進(jìn)行抽取的K1法和Cattell的碎石圖檢驗(yàn)，前者因?qū)ψ兞康臄?shù)目較敏感而顯得極不穩(wěn)定，后者在曲線平滑或具有多個(gè)拐點(diǎn)時(shí)難以決定，而且也不具有客觀性。最小平均偏相關(guān)法（minimum average partial，MAP）和平行分析（parallel analysis，PA）是更穩(wěn)健的分析程序［3］，兩者都是基于一定的數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)得出的方法［2］，其客觀性具有一定的科學(xué)保證。

檢索國(guó)內(nèi)涉及因子抽取的文獻(xiàn)，盡管K1法和碎石圖檢驗(yàn)存在較多的問(wèn)題［4］，但仍然是多數(shù)研究者常用的因子抽取方法，而MAP法和PA法的使用極少。造成這一現(xiàn)象的原因可能與研究者對(duì)這兩種方法的實(shí)現(xiàn)程序不熟悉具有很大的關(guān)系。在國(guó)內(nèi)介紹MAP法和PA法的文獻(xiàn)中，多數(shù)僅給出了統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果，如沐守寬［2］、尹波［5-6］等，而對(duì)具體的實(shí)現(xiàn)方法沒(méi)有相應(yīng)的介紹。由于常用的統(tǒng)計(jì)分析軟件如SPSS、SAS等都需要利用語(yǔ)法才能實(shí)現(xiàn)，這造成了不熟悉語(yǔ)法的研究者使用的困難，限制了其使用的范圍。

鑒于目前沒(méi)有合適的軟件可以自動(dòng)運(yùn)行MAP分析且在SPSS軟件中MAP分析的語(yǔ)法相對(duì)簡(jiǎn)單，本文將依據(jù)O′Connor［4］提供的MAP語(yǔ)法和ViSta軟件中PA法的使用結(jié)合具體的統(tǒng)計(jì)實(shí)例，介紹這兩種方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

統(tǒng)計(jì)原理

1.最小平均偏相關(guān)（MAP）

最小平均偏相關(guān)法（MAP）是Velicer（1976）提出的一種決定因子數(shù)目的方法。在具有K個(gè)成分的情況下，它通過(guò)逐漸增加的方式抽取0～（K-1）個(gè)主成分后，比較剩余偏相關(guān)矩陣的系統(tǒng)與非系統(tǒng)的平均變異的相對(duì)比例決定因子抽取的數(shù)目，當(dāng)非系統(tǒng)性變異較系統(tǒng)性變異更大時(shí)，即平均平方根偏相關(guān)達(dá)到最小時(shí)就停止因子的抽取。

2.平行分析（PA）

平行分析是從Horn的平行檢驗(yàn)發(fā)展起來(lái)的一種分析技術(shù)。在實(shí)際觀察數(shù)據(jù)具有m個(gè)題項(xiàng)、n個(gè)樣本的情況下，通過(guò)模擬多組具有m×n的隨機(jī)數(shù)據(jù)矩陣并計(jì)算其平均特征根，比較實(shí)際觀察數(shù)據(jù)與隨機(jī)數(shù)據(jù)平均特征根的大小決定因子抽取的數(shù)目。其潛在的邏輯是如果觀察數(shù)據(jù)所代表的變異是由真實(shí)的情況引起的，其特征值應(yīng)當(dāng)大于與其具有相同被試和變量個(gè)數(shù)的隨機(jī)數(shù)據(jù)的平均特征值；如果小于隨機(jī)變量的平均特征值，也就無(wú)法區(qū)分該因子所代表的變異是由真實(shí)的情況引起的還是由于隨機(jī)的誤差引起的，也就沒(méi)有保留的價(jià)值。最初Horn（1965）建議以實(shí)際觀察數(shù)據(jù)特征值大于隨機(jī)數(shù)據(jù)的平均特征值作為取舍的標(biāo)準(zhǔn)，而近年來(lái)傾向于以實(shí)際觀察數(shù)據(jù)特征值大于隨機(jī)數(shù)據(jù)平均特征值95%分位數(shù)作為判斷的標(biāo)準(zhǔn)［4］。Zwick 和Velicer（1986）比較了5種確定因子數(shù)目的方法，發(fā)現(xiàn)92%的情況下平行分析都是準(zhǔn)確的［7］。

統(tǒng)計(jì)分析實(shí)例

本研究采用趙千秋修訂的學(xué)校環(huán)境感知量表對(duì)312名在校初三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，回收有效問(wèn)卷290份，問(wèn)卷有效率92.95%。問(wèn)卷的Cronbach′s α=0.81，內(nèi)部一致性良好。KMO =0.89，Bartlett球形檢驗(yàn)χ2=2900.02，df =325，P＜0.001，適宜進(jìn)行因素分析。共有6個(gè)主成分的特征值大于1，累積解釋了總變異的60.23%。碎石圖檢驗(yàn)在第4個(gè)主成分處出現(xiàn)拐點(diǎn)，提示可以抽取三個(gè)因子。

1.MAP分析

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS，打開(kāi)語(yǔ)法編輯器，按照O′Connor提供的MAP語(yǔ)法樣本編輯本研究所需要的語(yǔ)法。具體程序如下所示：

correlation var1 to var26 / matrix out（′C： data.cor′）/ missing =listwise.

factor var =var1 to var26 / matrix out（cor =′C： data.cor′）.

matrix.

mget / type =corr / file =′C：data.cor′.

call eigen（cr，eigvect，eigval）.

compute loadings =eigvect * sqrt（mdiag （eigval））.

compute fm =make（nrow（cr），2，-9999）.

compute fm（1，2）=（mssq（cr）-ncol（cr））/（ncol （cr）*（ncol（cr）-1）））.

loop #m =1 to ncol（cr）-1.

compute a =loadings（：，1：#m）.

compute partcov =cr-（a * t（a））.

compute d =mdiag（1 /（sqrt（diag（partcov））））.

compute pr =d * partcov * d.

compute fm（#m +1，2）=（mssq（pr）-ncol（cr））/ （ncol（cr）*（ncol（cr）-1）））.

end loop.

* identifying the smallest fm value & its location （=the # of factors）.

compute minfm =fm（1，2）.

compute nfactors =0.

loop #s =1 to nrow（fm）.

compute fm（#s，1）=#s-1.

do if（fm（#s，2）＜minfm）.

compute minfm =fm（#s，2）.

compute nfactors =#s-1.

end if.

end loop.

print eigval / title =“Eigenvalues”.

print fm / title =“Velicer′s Average Squared Correlations”.

print minfm / title =“The smallest average square correlation is”.

print nfactors / title =“The number of components is”.

end matrix.

上述程序首先計(jì)算變量之間的相關(guān)，然后進(jìn)行因子分析，最后進(jìn)行矩陣分析。矩陣分析的結(jié)果表明，樣本的最小平均偏相關(guān)系數(shù)為0.0123，共抽取了3個(gè)主成分，具體結(jié)果如表1所示。

2.平行分析

SPSS軟件的平行分析語(yǔ)法相對(duì)于MAP的語(yǔ)法更復(fù)雜，有興趣的讀者可以參考O′Connor的相關(guān)文獻(xiàn)［4］。由于ViSta（the visual statistics system）軟件可以方便的進(jìn)行平行分析，本文將以其為基礎(chǔ)進(jìn)行平行分析的處理。ViSta是一款基于可視化的免費(fèi)統(tǒng)計(jì)分析系統(tǒng)，采用圖形界面操作方式，可以直接從其網(wǎng)站上下載［8］。安裝完成后只要按照要求把數(shù)據(jù)導(dǎo)入，按需要點(diǎn)選對(duì)應(yīng)的分析按鈕即可。

表1　Velicer′s最小平均偏相關(guān)

將樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為文本文件，打開(kāi)ViSta軟件，點(diǎn)擊file--import data把數(shù)據(jù)文件導(dǎo)入系統(tǒng)（注意：不是open data）。此時(shí)用戶界面左上方的工具按鈕變成藍(lán)色，如果沒(méi)有變色，需要返回檢查缺失值并進(jìn)行處理。點(diǎn)擊Analyze-Parallel Analysis，出現(xiàn)Options for Parallel Analysis對(duì)話筐，根據(jù)需要可以改變Number of samples后的數(shù)字，如改為500，表明要模擬500個(gè)具有相同被試和題項(xiàng)的隨機(jī)數(shù)據(jù)矩陣，然后點(diǎn)擊Ok按鈕即可，用戶界面出現(xiàn)工作地圖，點(diǎn)擊“圖形”按鈕，即出現(xiàn)平行分析結(jié)果圖，分析完成。打開(kāi)Window菜單，Current Report Window給出詳細(xì)的特征值，點(diǎn)選Copy Spread Plot，可以把平行分析的圖形復(fù)制入word文檔（圖1）。

圖1　ViSta平行分析結(jié)果圖

在本例中，真實(shí)數(shù)據(jù)的特征值曲線與模擬數(shù)據(jù)的特征值曲線在第3與4因子之間相交，說(shuō)明前3個(gè)因子解釋的變異與隨機(jī)誤差引起的變異具有顯著的區(qū)

別。本例中前3個(gè)因子共解釋了變異的47.54%。第4-6個(gè)因子，盡管其特征值大于1，但由于無(wú)法區(qū)分其變異是由真實(shí)的情況引起還是由隨機(jī)的誤差引起，所以保留的價(jià)值不大。

結(jié) 論

最小平均偏相關(guān)法和平行分析是基于一定的數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)的決定因子數(shù)目的方法，克服了目前常用的因子提取規(guī)則如K1法、碎石圖、解釋的方差比例等方法的主觀性和不足。本文通過(guò)實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)的分析，詳細(xì)介紹了上述兩種方法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，為研究者的應(yīng)用提供了較好的范例和樣本，有利于該方法的推廣使用，也有利于提高研究者因子提取的科學(xué)性。

但是，應(yīng)當(dāng)注意的是，不要忘記任何方法都有它的局限性，不能無(wú)限放大它的作用，MAP分析的理論基礎(chǔ)是基于樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性，而平行分析的理論基礎(chǔ)是特征值分析，在一定的情況下，仍然會(huì)存在較大的誤差，因此，在推薦使用MAP分析和平行分析的同時(shí)，必須提醒研究者在實(shí)際的研究過(guò)程中最好聯(lián)合使用多種方法并兼顧理論的建構(gòu)來(lái)決定因子的數(shù)目，這需要每一個(gè)做探索性因素分析的研究者牢記［4，9］。

參考文獻(xiàn)

［1］Watkins MW.Determining parallel analysis criteria.Jour-nal of Modern Applied Statistical Methods，2006，2：344-346.

［2］沐守寬，顧海根.探索性因素分析因子抽取方法的比較.心理學(xué)探新，2011，31（5）：477-480.

［3］趙必華.修訂的兩因素學(xué)習(xí)過(guò)程問(wèn)卷因素結(jié)構(gòu)的探查.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（人文社會(huì)科學(xué)版），2013（4）：402-408.

［4］O′Connor BP.SPSS and SAS programs for determining the number of components using parallel analysis and Velicer′s MAP test.Behavior Research Methods，Instr-uments，& Computers.2000，32（3）：396-402.

［5］尹波.主成分抽取數(shù)量確定的新方法.統(tǒng)計(jì)與決策，2010，19：8-10.

［6］尹波.基于偏相關(guān)系數(shù)和平行檢驗(yàn)的主成分抽取數(shù)量的確定方法.統(tǒng)計(jì)與決策，2011，4：7-9.

［7］Zwick WR，Velicer WF.Comparison of Five Rules fo-r Determining the Number of Components to Retain.Psychological Bulletin，1986，99 （3）：432-442.

［8］ViSta軟件下載地址：http：/ / www.uv.es/ visualstats/ Book/ DownloadBook.htm.

［9］孔明，卞冉，張厚粲.平行分析在探索性因素分析中的應(yīng)用.心理科學(xué)，2007，30（4）：924-925.

（責(zé)任編輯：郭海強(qiáng)）

*基金項(xiàng)目：安徽師范大學(xué)2014年度研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（立項(xiàng)編號(hào)：2014yks004）