基于AIC的組合預測方法在地區GDP預測中的應用

苑慧芳， 林　鵬

(山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255049)

基于AIC的組合預測方法在地區GDP預測中的應用

苑慧芳， 林鵬

(山東理工大學 理學院， 山東 淄博 255049)

摘要：在經濟管理領域中，自回歸移動平均模型有著廣泛的應用，組合預測可以有效提高模型的預測效果，尤其在實證分析中，模型在各時期的特性并不保持完全一致，更表明了組合預測的必要性，因此如何設置權重，進行有效的組合預測便成為了關注的問題.提出了一種基于赤池信息量準則(AIC)設置權重，進行向前一步組合預測的方法，采用擬合誤差指標作為預測方法優劣的評判標準，與傳統預測方法及常用組合預測方法做出對比，對預測效果進行全方位的綜合性評價，并運用實例說明基于AIC的組合預測方法的優越性.

關鍵詞：自回歸移動平均模型； 赤池信息準則； 組合預測； 擬合誤差指標

自回歸移動平均(ARMA)模型是常用的時間序列模型，在經濟管理、工程技術等領域有著廣泛的應用，特別是短期預測效果較好.在運用ARMA模型進行預測時，首先應該判斷一組隨機變量序列或者通過一系列變換后的隨機變量序列是否適合建立時間序列模型.如果不適合建立時間序列模型，可以選擇其他的建模方法進行預測.如果能夠建立時間序列模型，可以通過模型識別、參數估計、診斷檢驗等步驟確定幾個候選模型，再分別對候選模型進行普通預測和不同方式的組合預測，通過擬合誤差的指標來對比不同方法的組合預測的效果與普通預測的效果，從而綜合評價各方法的優劣.

赤池信息準則(AIC)是赤池弘次(H.Akaike)在研究信息論特別在解決時間序列定階問題中提出來的，作為模型定階的一種準則，此準則在組合預測中，對于權重的設置起到至關重要的作用.對于實證研究，本文將利用山東省1975-2013年地區生產總值數據(保留2014年真實的地區生產總值)建立適當的模型，對2014年地區生產總值進行預測，進一步說明基于AIC的組合預測過程及其優越性.

1預測方法

對于時間序列模型，普通的預測方法是根據最佳線性預測性質，以條件期望代替預測值，而組合預測方法則是根據設置的權重對候選模型加權平均.

1.1一般預測方法

針對ARMA模型，以及求和的ARIMA模型均可根據最佳線性預測的性質用條件期望代替預測值進行模型預測.

1.1.1ARMA(p,d,q)模型的預測

1.1.2ARIMA(p,d,q)模型的預測

A(β)(1-β)dxt=B(β)εt,εt～WN(0,σ2),t∈Ν,

則yt=(1-β)dxt,t=d+1,d+2,…,n,滿足ARMA(p,q)模型.

1.2組合預測方法

組合預測方法是根據各候選模型的預測值適當的加權平均，用以提高模型預測效果所做的預測方法，其核心是各候選模型權重的設置.

一般情況下，按權重設置方法不同，組合預測方法會分為固定權重系數組合預測法和變權系數組合預測法兩大類.對于固定權重系數組合預測法，權重通常根據候選模型的個數確定；對于變權系數組合預測法，權重通常會根據模型預測誤差的標準差、模型誤差平方和、模型預測方差等指標來確定.

1.2.1固定權重系數組合預測法

此方法主要根據候選模型的個數來確定權重，各候選模型的權重[3]為

1.2.2變權系數組合預測法

(1)標準差優選組合預測法

權重通常根據模型預測誤差的標準差來設置，各模型的權重[4]為

其中σi表示候選模型mi的預測誤差的的標準差.

(2)殘差倒數法

權重通常根據模型誤差平方和來設置，各模型的權重[5]為

其中si表示候選模型mi的誤差平方和.

(3)方差倒數法

權重通常根據模型的預測方差來設置，各模型的權重[3]為

其中Di表示候選模型mi的預測方差.

(4)基于AIC的組合預測法

①權重通常根據模型的AIC值來設置，各模型的權重[6]為

②權重通常根據模型的AICi/2值來設置，各模型的權重[6]為

其中AICi表示候選模型mi的AIC值.

2模型預測優劣的判定方法

當存在多種侯選模型時，普通預測的結果往往與組合預測的結果有一定的差異，至于哪種預測方法有較好的預測效果，往往會通過擬合誤差指標[7-8]來判斷預測效果的優劣.

(4)平均絕對百分比誤差

(5)均方百分比誤差

以上五種指標越小說明候選模型預測效果越好.

(6)預測的有效度

預測有效度[9]作為模型優劣的主要判別指標，即對預測精度進行加權平均的一種指標.

①預測相對誤差

②預測精度

③預測有效度

3實例分析

以山東省1975年-2014年地區生產總值[9]建立時間序列模型，基于AIC準則，進行組合預測，本文只采用了1975年-2013年的數據，保留2014年的地區生產總值(53426.9億元)，借助于Eviews軟件建立合適的模型，預測2014年的地區生產總值，并根據預測誤差指標對比不同組合預測方法與普通預測方法的預測效果.

3.1平穩性檢驗

平穩性檢驗是時間序列模型預測的基礎，有時序列并非平穩，就需要對序列進行一系列的變換，使之成為平穩序列，再進行建模.有關數據錄入及平穩性檢驗過程可分以下幾步完成.

(1)將山東省1975年-2014年地區生產總值(單位：億元)記為序列{xt}，其中t為年份，且t=1975,1976…2013.并將數據錄入軟件，作時序圖，初步觀察序列的平穩性，通過觀察{xt}的時序圖(圖1)，可知該序列呈現指數趨勢變動，顯然序列是不平穩的，

圖1　山東省1975年-2013年地區生產總值{xt}的時序圖

(2)為使序列趨于平穩，首先將其對數化處理，記對數化后的序列為{log(x)t,t=1975,1976,…,2013}，由{log(x)t}的時序圖(圖2)，可知對數化的序列呈線性上升趨勢，故可對其進行差分運算，轉化為平穩時間序列.

圖2　對數化的地區生產總值{log(x)t}的時序圖

(3)對序列{log(x)t}進行差分運算，記一階差分后的序列為{yt,t=1975,1976,…,2013}，二階差分后的序列為{zt,t=1975,1976,…,2013}，一般若差分后的序列值在0±0.5之間變動時，可認為序列平穩，而一階差分與二階差分后的序列值均在此范圍內，故可進一步通過ADF檢驗判斷序列的平穩性，見表1.

表1 ADF檢驗統計量表

序列{yt}{zt}ADF檢驗統計量-3.11345-6.16396p值0.03420.0001%水平t統計量-3.62102-3.626785%水平t統計量-2.94343-2.9458410%水平t統計量-2.61026-2.61153

由ADF檢驗結果可知在顯著水平為0.01的條件下，二階差分后的序列拒絕存在單位根的原假設，即此序列是平穩的.

3.2模型識別

由于序列{zt}的自相關-偏自相關圖可知偏自相關系數在5階之后是明顯截尾的，而自相關系數在滯后2階、5階和10階時落在2倍的標準差的邊緣，有待于進行模型選擇.由自相關-偏自相關系數，可對{zt}嘗試建立幾種不同的模型擬合，如ARMA(5,2),ARMA(5,3) ,ARMA(5,4)等，通過模型系數顯著性(若統計量的P值小于顯著水平0.05，則認為系數在此水平下是顯著的)檢驗初步認為以下幾種模型比較適合，模型的一些統計指標見表2.

3.3模型診斷檢驗

模型診斷性檢驗實際是檢驗殘差序列是否為平穩的白噪聲序列，若DW統計量在2附近，殘差不存在一階自相關，而ARMA(2,2)模型與ARMA(3,3)模型DW統計量明顯小于2，故不能作為候選模型，還需要對殘差做進一步分析，即通過自相關與偏自相關圖檢驗，通過觀察自相關與偏自相關系數圖可知ARMA(2,3)模型殘差存在自相關，也不能作為候選模型，因此候選模型共有5個，分別是ARMA(2,5)模型，ARMA(4,2)模型，ARMA(4,3)模型，ARMA(5,2)模型，ARMA(5,7)模型.其中ARMA(5,7)模型相關系數最大，相對而言，可初步認為ARMA(5,7)模型擬合效果最好，具體判斷還要根據模型優劣判別的幾項指標，ARMA(5,7)模型擬合效果圖如圖3所示.

表2各候選模型部分指標值表

模型殘差標準差相關系數誤差平方和AIC值DW統計量ARMA(2,2)0.04360.38100.0570-3.29681.6583ARMA(2,3)0.04530.35440.0594-3.19761.8721ARMA(2,5)0.03900.55400.0411-3.45322.0332ARMA(3,3)0.45070.55060.0411-3.46861.5556ARMA(4,2)0.04270.47750.0469-3.29421.9180ARMA(4,3)0.04250.49640.0452-3.27031.9379ARMA(5,2)0.04450.46700.0475-3.17402.0044ARMA(5,7)0.03710.70630.0262-3.45732.0626

圖3　ARMA(5,7)模型擬合效果圖

3.4模型預測及預測效果的比較

所謂模型預測，即在確立了候選模型后，根據往期的數據來預測未來某一期或是某幾期的數據，在普通的預測方法的基礎上，還會嘗試多種組合預測方法，然后運用擬合誤差指標比較普通預測方法與組合預測方法的優劣.

3.4.1各單項候選模型普通預測方法效果比較

Eviews軟件中采用一般的模型預測方法，以條件期望來代替預測值，而序列{log(x)t}經過二階差分后為自回歸移動平均模型，故{log(x)t}為ARIMA(p,d,q)模型，其中d為2，由模型診斷性檢驗，對于序列{log(x)t}可得候選模型：ARIMA(2,2,5)模型，ARIMA(4,2,2)模型，ARIMA(4,2,3)模型，ARIMA(5,2,2)模型和ARIMA(5,2,7)模型.由1.1.2節涉及的公式及運行結果，可通過模型的誤差擬合指標對比這五種候選模型的預測效果見表3.

表3候選模型的普通預測方法所得誤差擬合指標

候選模型擬合指標ARIMA(2,2,5)ARIMA(4,2,2)ARIMA(4,2,3)ARIMA(5,2,2)ARIMA(5,2,7)SSE8804926938380617724168805248160377679713174877248121301MAE46360.6145503.2045436.4845029.8045109.71MSE8242.538350.968346.157702.878422.29MAPE42.9032.1732.1927.8327.79MSPE12.799.669.698.448.41預測有效度0.1158639010.1227476620.1232294080.1268307380.126840115

其中ARIMA(5,2,7)模型與ARIMA(5,2,2)模型的各擬合誤差指標相對于其他單項候選模型而言較小，而ARIMA(5,2,7)模型SSE、MAE、MSE比ARIMA(5,2,2)模型小，ARIMA(5,2,7)模型MAPE、MSPE比ARIMA(5,2,2)模型大，通過這幾個普通的模型優劣判別指標難以判斷這兩個模型哪個模型是最好的，故可通過預測有效度進一步判斷模型的預測效果，ARIMA(5,2,7)模型預測有效度預測有效度最大，可認為ARIMA(5,2,7)模型相對于其他幾個候選模型是最好的，這與前面模型診斷性檢驗中的初步結論相吻合.

3.4.2基于AIC的組合預測方法與其他組合預測方法效果比較

近年來，組合預測方法廣泛應用于短期經濟預測中，可以有效減少預測的系統誤差，改進預測效果，基于AIC的組合預測方法效果，同樣也要通過一些擬合誤差指標來衡量，見如表4.

表4各組合預測方法所得模型擬合誤差指標

組合預測方式擬合指標等權權重誤差標準差權重方差權重殘差倒數權重AIC①權重AIC②權重SSE7.69E+102.92E+137.6950E+107.6951E+107.6952E+107.6946E+10MAE45941.899.4095E+545041.9645042.2645042.8145040.38MSE8405.9751.6385E+58406.00148406.07378406.09878405.7770MAPE27.8217460.148927.822327.823227.820627.8236MSPE8.4225136.27948.422888.42358.42178.4239預測有效度0.1268900.126940.126950.126970.12694

通過各組合模型預測方法的指標與ARIMA(5,2,7)模型的指標對比，發現誤差標準差權重組合預測方法效果最差，甚至還不如普通的候選模型預測方法；其他的組合預測方法比普通的預測方法有所改進，預測有效度由高到低分別為基于AIC所做的組合預測法、殘差倒數權重組合預測法、方差權重組合預測法、等權權重組合預測法，其中兩種基于AIC所做的組合預測法中，第①種方法預測有效度較大，而且要比殘差倒數權重組合預測法的預測有效度大，相對而言，基于AIC所做的組合預測法是比較好的.

4結束語

模型的組合預測方法是對傳統預測方法的一種推廣，在一定程度上雖然可以提高預測的效果，極大限度利用預測樣本的信息，但是自身存在一定的局限性，比較適用于短期的時間序列預測模型.并非所有的平穩序列都可以做組合預測，要根據實際情況而確定，如果候選模型的預測效果遠遠優于組合預測的效果，那么組合預測也就失去了優越性，就需要尋找其他的方法來提高預測有效度.而無論采用何種新的方法進行預測，都要根據模型優劣判別指標如SSE、MSE、MSPE、預測有效度等來驗證預測效果是否得到改進，進而確定是否要采用新的方法進行預測。基于AIC的組合預測方法，雖然在一定程度上提高了預測效果，但是相對于某些預測方法來說并非最優，實際中也要不斷的嘗試新的方法來改進預測效果，最終找到合適的方法進行預測.

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(編輯：劉寶江)

The application of forecast combination based on AIC in the regional GDP

YUAN Hui-fang, Lin Peng

(School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:In the sphere of economic and management, ARMA model(the auto-regressive and moving average model) has been widely used. Forecast combination can effectively improve the results of prediction, so how to use them has became our concern. In this paper, we can use the methods of combined forecast to set weight based on the Akaike Criterion (AIC). Using fitting error indicators as criteria to make a comparison of the predicted effects, so we can make a full range of comprehensive evaluation, and use examples to illustrate the superiority of forecast combination.

Key words:ARMA model； AIC; forecast combination； fitting error indicators

收稿日期：2015-08-04

作者簡介：苑慧芳,女,tongjiyuanhuifang@126.com; 通信作者： 林鵬,男,mathlinpeng@163.com

文章編號：1672-6197(2016)05-0064-05

中圖分類號：O211.61

文獻標志碼：A