具有正系數的P-葉亞純函數的新子類

楊靜宇，王曉英

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

具有正系數的P-葉亞純函數的新子類

楊靜宇，王曉英

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

在本文中，我們利用一個由 Hadamard 卷積定義的線性算子來給出一類 P-葉亞純函數的新子類，進一步的討論該子類的系數不等式，偏差定理，鄰域性質，等幾何函數性質.得到比文獻中更為廣泛的結論.

Hadamard 卷積； 亞純函數； 系數不等式； 領域

1 引言

那么稱 f(z)是 α- 級亞純星象函數.

那么稱 f(z)是 α- 級亞純凸星象函數.

定義函數 φp(a,c;z):

根據函數的 Hadamard 卷積的定義和函數 φp(a,c;z),引進線性算子 Lp(a,c)[5][6]

則稱 f(z)∈Ls*p,j(a,c,A,B,α,m,ξ,μ,λ).

其中

那么(1.7)等價于

這就意味著存在一個柯西施瓦茨函數 w(z)，使得事實上

則

2 LS＊p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)的 系 數 不 等 式

其中

運用最大模定理，對于任意 z∈U，我們有

這意味著 f(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)

相反的，假設 f(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么我們有

因為對于任意的 z 都有 |Rez|≤z,選擇正數 z 并且使 Mp,j(a,c,z,ξ)是實數,那么我們有

取 z 為實數，并且滿足 z→1-，那么我們有

進一步我們得到

即

證畢.

3 偏差定理

進一步的

利用定理 2.1，我們可以得到(3.1).

4 LS＊p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)的 δ鄰 域

根據 Aouf,Silverman 和 Srivastava[7]Good-man[12]和 Altintas 等早期的一些工作.我們來介紹 f(z)∈(ξ)的 δ 鄰域的定義以及δ鄰域相關性質.

其中

定 理 4.1 設形 如（1.1）的 函 數 屬于函 數 類 LS*p,j(a+1,c, A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么有

證 明 令 f(z)∈LS*p,j(a+1,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么根據定 理2.1，我們有

此式子等價于

進一步，對任意的

我們從(4.1)可以看出

根據(4.2)和(4.3)我們得出

根據定理 2.1 得出 g(z)∈LS*p,j(a+1,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)

且

因為

因此 g(z)∈Nδ'+(f),

但是

根據定理 2.1 我們得出 g(z)?LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ).

5 改進的 Hadamard 卷積的相關性質

根據 Aouf,Silverman 和 Srivastava[7]早期的一些工作，我們討論 LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ) 改進的 Hadamard 卷積的性質.

對于函數

f1(z)和 f2(z)的 改 進 的 Hadamard 卷 積 用(f1·f2)表 示 且 定 義如下:

定 理 5.1 設 fk(z)(k=1,2)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么

其中

當函數 fk(z)(k=1,2)被給定為下列形式時，結論成立

證明 根據定理 2.1，我們需要找出最小的 γ 使得

因為 fk(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ),那么我們有

根據柯西施瓦茨不等式，進一步得到

這暗示著我們僅需證明

或者是

利用不等式(5.3),足以證明

根據(5.4),我們有

定義函數 Φ(n)如下：

利用與定理 5.1 證明類似的方法，我們可以得到如下結論.

定 理 5.2 設 函 數 f1(z)形 如（5.1）且 屬 于 LS*p,j(a,c,A,B,α, m;ξ,μ,λ),f2(z)同樣形如（5.1）且于 LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ)那么

其中

當函數 fj(z)(j=1,2)取為下列函數時，結論成立

定 理 5.3 設 fk(z)(k=1,2),形如（5.1）且屬于 LS*p,j(a,c,A,B, α,m;ξ,μ,λ)定義 h(z)如下，

則 h(z)屬于 LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,χ)且

當函數給定為（5.2）時，結論成立.

證明 根據定理 2.1，我們要找到最小的 χ 使得

因為 fk(z)∈LS*p,j(a,c,A,B,α,m;ξ,μ,λ),(k=1,2)，我們有

根據(5.6)我們有

進一步的

根據(5.7),如果我們想要證明(5.5),只要證明存在最小 χ使得

即

現在我們定義 Ψ(n)：

Ψ(n)關于 n 是單調遞減函數.因此，因此有

證畢.

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〔16〕 李 書 海.《 特 殊 解 析 函 數 》[M].內 蒙 古 科 技 出 版 社 ，2007年 8月，第一版.

O174.5

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：1673-260X（2016）02-0001-05

2015 年 10 月 9 日

內蒙古自治區高等學?？茖W研究項目（NJZY13298）