局部耦合分段線性不連續映象格子的空間特性

杜偉偉　汪超　彭敏（新疆工程學院基礎教研部，新疆烏魯木齊830000）

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局部耦合分段線性不連續映象格子的空間特性

杜偉偉汪超彭敏
（新疆工程學院基礎教研部，新疆烏魯木齊830000）

摘要：研究了一維不連續分段線性映象構成的局部耦合映象格子的動力學特征。發現了扭結-反紐結結構、輪換結構以及類反鐵磁結構。借助相空間的二維投影，討論了由周期到混沌的轉變過程。計算了參數空間的最大李雅普諾夫指數譜。

關鍵詞：不連續分段線性映象；局部耦合映象格子；類反鐵磁結構；投影圖

Abstract:This paper studies the dynamics of a coupled one-dimensional discontinuous piece-wise map lattice and finds the kink-ant kink patterns，cycle grafts and the antiferro-like structures. The transition from the periodic motion to chaos is discussed with the help of the 2D projection of the phase space and the maximum Lyapunov spectrums in parameter space are calculated.

Keywords:discontinuous piece-wise linear map；local coupled map lattice；kink-antikink structures；antiferrolike structures；projected charts

引言

非線性時空動力學系統是一個重要的研究課題。研究較為成熟的時空系統模型主要有：耦合常微分方程、元胞自動機、以及耦合映象格子［1］。而耦合映象格子模型則優于前兩者，它是由金子邦彥等人提出的，它將系統的時間和空間離散化，并保持狀態變量連續變化。耦合映象格子可以反映許多實際系統的動力學特征，例如：約瑟夫遜節陣列、多模激光、流體力學系統、生物系統、人工神經網絡等系統中的同步、斑圖形成、時空混沌、以及時空陣發等現象。近年來利用耦合映象格子模型研究時空混沌越來越受到重視。人們對于連續映象的耦合映象格子進行了較充分地研究，并就其時空動力學得到如下六種模式：凍結化隨機圖案模式、圖案選擇模式、缺陷混沌擴散模式、缺陷湍流模式、圖案競爭陣發混沌模式以及完全發展湍流模式等。

在耦合映象格子研究中幾乎很少看到格點上的動力學系統用不連續映的例子。實際上，不連續映象反映了許多實際系統的動力學，已經引起了研究者的高度重視。由于不連續性中存在軌道不能到達的禁區，因而會出現非常不同的新動力學特征，例如：V型陣發、映孔導致激發、V型陣發前的多重魔梯等現象。一個很自然的推廣就是耦合不連續映象格子，研究其中的新的時空動力學現象應該是一個有意義的嘗試。本文將采用屈世顯等研究映孔導致激發時所提出的分段線性既不可逆又不連續映象作為耦合映象格子的動力學單元，研究在局部耦合方式下映象格子系統的時空動力學。

一、耦合映象格子模型與分段線性映象

耦合映象格子是研究時空混沌問題的有效模型，它具有如下優點：首先，它基于對時空系統的半宏觀描述，數值模擬計算效率很高；其次，計算的高效率使得我們可能對參數空間進行掃描，從而得到隨系統參數變化的各種時空行為的轉化規律，甚至得到整個參數空間的相圖；第三，在耦合映象格子模型的理論研究中，低維動力系統理論的一些結果可能得到直接推廣。

根據具體研究問題的不同，通常使用不同的耦合方式，主要有：局部耦合映象格子、全程耦合映象（神經網絡問題）、開流的耦合映象格子（開流問題），以及二維耦合單峰映象格子、三維甚至到無窮維的耦合映象格子。

本文所涉及的局部耦合映象格子模型分別為：

xn+1（ i） = f（ xn（ i）） + D（（ f（ xn（ i+1）） + f（ xn（ i -1）））/2 -f（ xn（ i ）））.

其中i=1，2，…，N是代表具有周期性邊界條件Xn（N+1）= Xn（1）的一維格子的格點。N選為100。

本文選擇函數f（x）為分段線性映象。解析表達式如下，圖像如圖1所示。

xn+1= fi（ xn） = ki· xn+ bi,i=1～4.

圖1　線性分段映象圖像

圖2　不連續分段線性映象的分岔圖

圖3　空間振幅變化圖

x∈［xF，xG］，i=4.

其中所涉及的參量為：yA=0.203921，yC=0.46，yG=yA，xA=0，xb=0.107663，xg=0.35 xF=0.497121，xG=1，k3=3.07055，b3=-0。530165，k4=0.405507，b4=-0.201586。其中yb是系統的控制參量。圖2是此映象的分岔圖，對于本文的研究工作發揮了重要作用。

二、扭結-反扭結圖形、輪換圖形與鐵反鐵磁結構

在局部耦合不連續分段線性映象格子中，系統狀態受映象參量yb與耦合強度D的影響。當yb位于周期解區間，耦合作用可使系統失去周期性而轉變為混沌。與之相反，當yb位于混沌狀態的參數區間時，系統卻可能出現由混沌到周期為的轉變（如圖4）。

當yb的取值位于不連續分段線性映象出現周期吸引子的區域時，耦合映象格子出現兩種典型圖象：空間振幅變化圖中的扭結反扭結圖形與輪換圖形。所謂扭結反紐結圖形是指在同一個時間步中，空間被分割為不同的區域（如圖3a中的平直區間）。同一區域中各個格點的動力學變量相同，處于相同的狀態。而相鄰區域的格點處于兩個不同的狀態。圖3（a）是映象參量yb=0.9，格點間的耦合強度D=0.3時的空間振幅變化圖，此時單映象通過分岔圖可以觀察為周期二狀態，狀態值為0.14和0.84的兩個狀態。通過圖3（a）可以觀察到，在此耦合強度下，系統中的每個格點也處于周期二狀態，但是整個空間被劃分為若干的子空間，同一個子空間中的格點同步于相同狀態，且都位于單映象的兩個狀態值附近。與此同時，位于兩個相鄰子空間的交界區域的格點出現了新的周期二狀態。這種結構中空間的分割是由初始條件的不同所造成的。在此文中，選擇隨機初始條件。所謂輪換圖形是指，對同一個時刻，各子空間所在的狀態隨單映象的時間順序依次排列。以圖3（b）為例，當yb=0.9，格點間的耦合強度D=0.109737時的空間振幅變化圖，此參量單映象表現為周期四的狀態，狀態值依次為：0.15、0.35、0.46和0.88.圖3（b）中，依次出現為刪除過渡過程后的連續四個時刻的空間振幅變化圖。系統的全部格點此時也都處于周期四?？梢园l現，每一時刻系統空間都被劃分為四個子空間，每個子空間中的格點都同步于一個狀態，并且相鄰空間在時間上只相差一個時刻。所以每個時刻形成了類似階梯的形狀。

通過改變耦合強度，可以發現在局部耦合不連續分段線性映象格子中，對于同一組參數（yb與D），紐結出現的具體位置由初始條件決定。這與金子邦彥以Logistics映象的研究結果相似［3］。除此之外，平直區的寬度隨著耦合強度的增加而增大。直至所有格點被一個子空間吞并，達到完全同步。但這種增加只限制在一定耦合強度的區間，當D≥0.67時，系統就會無法保持所有格點都為周期四行為，出現了較為復雜的圖形——完全發展湍流模式（如圖3（c）。隨著耦合強度的增加，周期為四的格點越來越少，直到周期為四格點全部消失。

圖4空間振幅變化圖，為了觀察到精細結構，只繪制第60到第80格點的區域

當yb參數的取值位于不連續分段線性映象出現混沌吸引子的區域時，依然可以觀察到扭結——反扭結圖案，但隨著耦合強度D的變化格點的變化較為劇烈。當yb=0.7，D=0.101時（如圖4（a），系統表現為缺陷混沌擴散模式，當yb=0.7，D= 0.12時（如圖4（b），系統表現為空間周期二行為，時間上也是周期二。

圖4

若做出圖4（b）中的任意一步的空間振幅變化圖，但將奇格點與偶格點用兩種不同的圖標標注。就可以觀察到類反鐵結構。所謂類反鐵磁結構是指，在同一區間中，處在一種狀態的偶格點數與處在另一狀態的奇格點數相同而在空間振幅變化圖中所產生的圖形結構（如圖5所示）。

三、結束語

通過對耦合分段線性不連續映象的研究，發現了在空間振幅變化圖中存在扭結與反扭結圖形、輪換圖形以及反鐵磁結構；通過二維投影圖，觀察了系統由周期向混沌轉變，并且通過最大李雅普諾夫指數譜定量的分近了這一過程。本文只是對耦合分段線性不連續映象格子所進行的最基本的研究，隨后的工作可以就產生這些圖形的內在機理進行深入研究。

圖5

參考文獻

［1］Frisch，U.，Hasslacher B.，Pomeau Y. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation［J］.Phys. Rev. Lett.，1986，56（14）：1505-1508.

［2］Kaneko Kunihiko. Similarity structure and scaling property of the period-adding phenomena［J］. Prog. Theor. Phys.，1983，69（2）：403-414.

［3］Kaneko Kunihiko. Period-doubling of kink-antikink patterns，quasi-periodicity in Antiferro-like structures and spatial intermit tency in coupled map lattices---toward a prelude to a ``field theory of chaos"［J］. Prog. Theor. Phys.，1984，72（3）：480-486.

［4］Kapral Raymond. Pattern formation in two-dimensional arrays of coupled，discrete-time oscillators［J］.Phys. Rev. A，1985，31（6）：3868-3979.

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）10-0255-03

作者簡介：杜偉偉（1984-），男，漢，陜西省寶雞市，新疆工程學院基礎教研部，碩士，助教，研究方向：理論物理。