Mathematica在以勒讓德函數為基的廣義Fourier級數展開中的應用*

程芳（長沙理工大學物理與電子科學學院，湖南長沙410004）

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Mathematica在以勒讓德函數為基的廣義Fourier級數展開中的應用*

程芳
（長沙理工大學物理與電子科學學院，湖南長沙410004）

摘要：本文從廣義Fourier級數展開教學著手研究，借助Mathematica的功能來實現以勒讓德函數為基的廣義Fourier級數的展開。將Mathematica應用于數學物理方法特殊函數以及廣義傅里葉級數的教學中，可以使教學更加形象、生動，從而取得更加良好的教學效果。

關鍵詞：Mathematica技術；勒讓德函數；廣義Fourier級數展開

Abstract：In this paper，we investigate how to apply Mathematica to expand of the generalized Fourier series based on Legendre's function. Mathematica can be of tremendous help in treating such problems and exhibiting their solutions graphically.The use of Mathematica can enhance the understanding of the generalized Fourier series.

Key words：Mathematica；laguerre polynomials；the expansion of the generalized Fourier series

Fourier級數是數學物理方法中的重要內容，同時也是其它后續課程的重要工具。廣義傅里葉級數指勒讓德函數、連帶勒讓德函數、貝賽爾函數等，它們與傅里葉級數一樣都是一組正交完備的函數組，可以用于對函數的展開。廣義傅里葉級數同樣適用于求解微分方程，只是其適用的方程與連續傅里葉變換不同。Mathematica是當今世界上優秀的數學軟件之一，它很好地結合了數值和符號計算、圖形系統、編程語言，很多功能在相應領域內處于世界領先地位，且其界面友好，容易操作。

本文利用Mathemtica實現了函數的廣義Fourier級數展開，將學生從繁重的手工計算中解脫出來，同時將抽象的理論與具體的圖像演示結合，使學生能更深刻的理解函數展開成廣義Fourier級數的基本概念和基本方法。

勒讓德方程屬于施圖姆-劉維爾型方程，故其本征函數：勒讓德多項式是完備的，可作為廣義傅里葉級數展開的基。關于函數展開有下述定理：在區間［-1，1］上的任一連續函數，可展開為勒讓德多項式的級數

其中展開系數為

以勒讓德多項式為基，Mathematica在廣義Fourier級數分析中的應用。

例1：以勒讓德多項式為基，在［-1，1］上，將f（x）=|x|展開為廣義Fourier級數。

Mathematica程序代碼如下：

Clear［f1，f2，f，L，Lmax，fu］

f［x_］：=Which［0＜x＜1，x，-1-x＜0，-x］；

f1=Simplify［（2L+1）/2*（Integrate［f［x］*LegendreP［L，x］，｛x，-1，1｝］），Assumptions→｛L/2∈Integers｝］

Lmax=Input［］；

f2=Table［（2L+1）/2*（Integrate［f［x］*LegendreP［L，x］，｛x，-1，1｝］），｛L，0，Lmax｝］；

fu［x_］：=f2.Table［LegendreP［L-1，x］，｛L，Length［f2］｝］

Plot［｛f［x］，fu［x］｝，｛x，-1，1｝，PlotStyle→｛RGBColor［1，0，0］，RGBColor［0，0，1］｝］

此程序的第1句給出了清除所有要使用的變量和函數的定義；第2句分段函數f（x）的定義；第3句是計算廣義Fourier級數的展開系數的一般表達式；第4句將函數f（x）展開至廣義Fourier級數的前Lmax階；第5句函數f（x）的廣義Fourier級數前Lmax階的系數；第6句是計算前Lmax階的廣義Fourier級數；最后一句是將函數f（x）和函數f（x）廣義Fourier級數的前Lmax階兩個圖形顯示在一起。運行上述程序可以得到：廣義Fourier級數的展開系數（1+2 L）/（4 Gamma［3/ 2-L/2］Gamma［2+L/2］）

圖1給出了函數的圖形及其Fourier級數的前5階、10階和20階對應的圖形。從圖1中可以清楚看出廣義Fourier級數對函數的逼近效果：隨著廣義Fourier級數階數的增加，其振幅越來越小，越來越接近要表示的函數。通過實例表明，利用Mathematica可直觀地展示廣義Fourier級數逼近函數，將抽象的問題形象化，從而化解了學生對廣義Fourier級數表示函數理解上的困惑。

圖1

圖2

我們知道，m相同的連帶勒讓德函數是完備的，也可作為廣義傅里葉級數展開的基。關于函數展開有下述定理：在區間［-1，1］上的任一連續函數，可展開為廣義傅里葉級數：

其中展開系數為

以勒讓德函數為基，Mathematica在廣義Fourier級數分析中的應用

Mathematica程序代碼如下：

Clear［ff，f，u，Lmax，fu］

f［x_］：=Which［0＜x？1，u，-1≤x＜0，0］；

Lmax=Input［］；

m=2；

u=1；

ff=Table［（2L+1）/2*（L-m）！/（L+m）！*（Integrate［f［x］*LegendreP ［L，m，x］，｛x，-1，1｝］），｛L，m，Lmax｝］；

fu［x_］：=ff.Table［LegendreP［L，m，x］，｛L，2，Length［ff］+1｝］

Plot［｛f［x］，fu［x］｝，｛x，-1，0.99｝，PlotStyle→｛RGBColor［1，0，0］，RGBColor［0，0，1］｝］

此程序的第1句給出了清除所有要使用的變量和函數的定義；第2句分段函數f（x）的定義；第3-5句分別定義廣義Fourier級數參數l、m以及u的值；第6句將函數f（x）展開至廣義Fourier級數的前Lmax階的系數；第7句計算前Lmax階廣義Fourier級數；最后一句是將函數f（x）和函數f（x）廣義Fourier級數的前Lmax階兩個圖形顯示在一起。

運行上述程序可以得到廣義Fourier級數及其與原函數的對比圖形。

圖2給出了函數的圖形及其廣義Fourier級數的前10階、50階和100階對應的圖形。從圖2中可以清楚看出廣義Fourier級數對函數的逼近效果：隨著廣義Fourier級數階數的增加，其振幅越來越小，越來越接近要表示的函數。

本文以勒讓德函數為基討論了Mathemtica軟件在廣義傅里葉級數分析中的應用。在廣義Fourier級數教學中引入數學軟件Mathemtica，從教學內容、教學形式、教學方法和手段上講，都是對傳統數學教學的一種發展和補充。在教學過程中，學生也從圖形的變化、系數的計算等多方面對函數展開成廣義Fourier級數進行學習，加深對抽象概念的感性認識，同時可以擺脫了繁瑣的數學計算，使得問題簡單化、可視化，從而達到逐步鍛煉學生用數學理論、計算機知識來解決實際問題，提高了學生自主學習的積極性的效果。

參考文獻

［1］陽明盛，林建華.Mathematica基礎及數學軟件［M］.大連：大連理工大學出版社，2003.

［2］梁昆淼.數學物理方法（第四版）［M］.高等教育出版社，2010.

［3］郭玉翠.數學物理方法簡明教程（第一版）［M］.北京郵電大學出版社，2002.

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）07-0067-02

*基金項目：教育部高等學校物理學類專業教學指導委員會教學研究項目“數學物理方法課程數字化教學的探索與實踐”（JZW-14-SL-11）。

作者簡介：程芳，女，漢族，中共黨員，副教授，湖南省新世紀“121人才工程”第三層次人選，湖南省普通高校青年骨干教師。2008年獲湖南師范大學凝聚態物理專業博士學位。2011年7月中國科學院半導體研究所博士后出站。自2008年參加工作以來，主持國家自然科學基金三項；湖南省自然科學基金重點項目一項；教育部項目一項；湖南省教育廳項目兩項。主要研究介觀系統的輸運性質，近幾年在國內外權威學術刊物如NewJPhys.、Phys.Rev.B、Appl.Phys.Lett.、NanoscaleResLett.、SolidStateCommun.、J.Phys.Cond.Matt.等三十余篇，均被SCI收錄。