淺談《高等數學》的課堂教學

張鄭芳（杭州電子科技大學理學院，浙江杭州310018）

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淺談《高等數學》的課堂教學

張鄭芳
（杭州電子科技大學理學院，浙江杭州310018）

摘要：文章從教學內容，教學方法，教學形式三方面闡述了《高等數學》教學過程中的建議。

關鍵詞：理論；計算；延伸

Abstract：In this paper，three aspects of the suggestions in the process of the course of Advanced Mathematics are given，including the contents of teaching，the methods of teaching and forms of teaching.

Key words：theorems；calculation；extension

自2011年開始《高等數學》課程的教學以來，從課堂教學的體驗、學生的交流反饋以及名師課堂的學習等過程中，以青年教師的角度，以“教學花心思，學生樂學”為宗旨，有如下幾點建議。

一、教學內容：理論與計算并重

（一）理論是基石

《高等數學》中存在大量的定義、引理、定理、推論，需要學生先理解后記憶。而學生往往對定義比較輕視，對定理的證明又一知半解，因此缺乏較扎實的理論基礎。在實踐中，由于對數學本質的知識內容無法理解透徹，碰到稍微綜合的題目，就容易出現思路模糊，一錯再錯的情況。

在這個問題中，學生需要弄清楚的是導數的定義和連續函數的定義。由于學生在中學時已經學習了一些初等函數的求導公式，碰到計算題往往不假思索，匆匆下筆，最終迷失在解題的過程中。通常錯誤的做法是，先對函數非零處的表達式利用求導公式求導，然后再對導函數求極限，由于極限不存在，得出函數在x=0處導數不存在的結論。這里所犯的嚴重錯誤就是對函數導數的概念不清晰、理解不到位所致。中學里學習的求導公式是針對初等函數而言的，而分段函數不是初等函數，因此在分段點處的導數只能通過定義來證明其是否存在。正確的做法為在非分段點處使用求導公式，而在分段點處則用導數的定義進行計算求解，因此，正確的導函數應為

接下來本題的第二問，由于做了一步求導的運算，學生不大容易接受導函數仍是函數這個概念，加之對連續函數的定義理解不清晰，往往出錯率較高。如果把導函數作為一個普通的函數，讓學生從函數連續性的定義出發，來分析這個函數在x=0處的連續性，學生思路會清晰得多，正確率也會高很多。因此，重視定義、定理的理解，應該是打破中學結論式的習慣性思維，構建系統的、分析的數學思維的重要突破口。

（二）計算是應用和推廣

數學的技巧和結論，只有與各專業的背景相結合并解決實際問題，才能體現出數學作為工具的重要性。開設《高等數學》課程的目的，大致也在于此，并且《高等數學》絕大部分課時，也集中在計算方法的學習和練習上。通過計算題的習練，可以加深對定義和定理的理解，對計算方法的熟練，進而在方法和技巧上進行創新，對解決實際問題提出思路和建議。目前，大多數學生《高等數學》掛科的原因往往與自己動手練習較少有關。即使學生能夠聽懂教師課堂所講的內容，但課后不進行練習鞏固，也很難真正消化課堂所有內容，就算是簡單的利用公式求解的題目，也會輸給公式。

該問題的第一問，如果熟知arctant和sect的求導公式，利用參數方程的求導法則，出錯率不高。而學生往往對一些中學時期沒有接觸過的三角函數的求導公式記憶比較生疏，因此在求解此類問題時就顯得無從下手。在理解的基礎上，只有通過適量的練習，才能將這些公式固化為自己的知識記憶。也就是說，練習有助于公式的記憶。

二、教學方法：詳略得當，重點突出

（一）理論證明部分詳略得當

在《高等數學》的理論部分，有相當一部分是有關定理的證明。當定理證明的文字稍長，學生閱讀課本或者看板書時非常吃力，缺乏耐心。而定理的證明是理論成立的嚴格性保障，如果在課堂上省略證明過程，則對定理的理解會顯得空洞無力，底氣不足。因此詳略得當的安排定理證明的講解，特別是當講解的內容以理論居多的課時，顯得尤為重要。一個較好的授課策略是：對基礎性的、先源性的定理作詳細的展開講解，而對推導式的、改進式的定理作簡略且突出關鍵點的引導。譬如，在講解三大微分中值定理時，可以詳細的介紹羅爾定理的證明，并給出其三個條件缺一不可的反例。其次，講解拉格朗日中值定理時，引導學生構造函數，并應用羅爾定理給出證明。最后，講到柯西中值定理時，學生基本上能沿著前一個思路去構造函數，并驗證羅爾定理的條件給出證明。這樣的安排，對教師而言，三大微分中值定理的講解處理得環環相扣，詳略得當；對學生而言，則可以從定理的證明過程中，積累一定的證明技巧。

（二）強調關鍵步驟，突出重點

學生做題時不夠精細或者模棱兩可的時候，往往是定理或者公式把握的不夠清晰的情況。教師在演示計算方法，或者計算公式時，如何讓學生學到點子上呢？應當強調，并且反復強調。在積累了一定的教學經驗后，很容易發現學生掌握不足的知識點。根據實際教學情況，教師講解這些知識點的時候，就應突出地、反復地強調其中的關鍵知識點，并適當的輔以助記口訣或者順口溜，效果會事半功倍。比如，學習復合函數的求導法則——鏈式法則時，讓學生先分析下復合函數的層數，然后引導他們要像“剝洋蔥”一樣，一層一層地由外而內的求導直至最內層函數。再比如，求解二階常系數線性非齊次微分方程時，需要構造特解函數，可以告訴學生構造的方法為“右端是什么，就構造什么，然后修正要不要乘x”。經過這樣強調，學生解題的思路就清晰多了。

（三）學習和復習相結合，引導學生課外練習

在講完一大章節的知識點后，學生難免記憶比較零散，不系統，這時安排復習課或者習題課是十分必要的。復習時所講解的例題可以從學生手頭有的課外資料中選取，并且題目的難度稍高于平時講課的例題，且以綜合的或者是發散思維的習題作為補充尤佳。一方面，可以作為章節的結束的標志，和下一章節做一個隔斷；另一方面，又可以讓學生對手頭的資料發生興趣，積極動手練習。畢竟，數學的學習沒有捷徑，唯有埋頭練習才能提高。

三、教學形式：微創新微突破

（一）借助qq、微信等信息手段，延伸課堂，答疑交流

課堂的時間是有限的，安排答疑也受到時間和空間的限制。而網絡是實時的，不受時空間的約束。學生在課外碰到的問題拍個照發到班級qq群、微信群或者直接發給教師，非常便捷。在群里，學生們可以自由討論，氣氛濃烈，越討論越清晰。即使是學生和教師一對一的問答，在一來一回的交流中，也能讓知識在字里行間中傳遞。

（二）微翻轉課堂，增加課堂人文元素

微積分學科的發展，有著無數科學先驅努力和不懈開拓，其間不乏有趣和勵志的傳奇故事。學生通過查找書籍、文獻，閱讀這些故事，并在課堂上與學生、老師分享，既了解了一個公式、一個記號背后的故事，又理清了數學發展的歷史，并且對數學大家的崇敬也能夠激發學生學習的樂趣和動力。這樣的微翻轉，也是很好的教學形式。

參考文獻

［1］蘇德礦.高等數學教學如何與中學數學內容及教學方法有效地銜接［J］.中國大學教學，2013（5）：47-49.

中圖分類號：G642

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）07-0092-02

作者簡介：張鄭芳（1983-），博士，講師，從事特征值優化問題的研究。