互等定理在細長軸車削超靜定問題中的應用

李 昊（南京農業大學 工學院，南京 210031）

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互等定理在細長軸車削超靜定問題中的應用

李 昊
（南京農業大學 工學院，南京 210031）

摘 要：描述了互等定理解決問題的一般步驟，分析了互等定理的應用原理，并結合實際工程中細長軸車削時的超靜定問題，對該方法加以應用。結果表明，互等定理在解決工程中的非常規力學問題時，可以簡化解題過程，并得到可行的解。

關鍵詞：互等定理；細長軸；超靜定問題

0　引言

隨著工業技術的不斷發展，對機器和工件的要求越來越高，很多工程問題僅憑經驗獲得結果已不能滿足設計要求。工程中解決力學問題常見的方法是將復雜的工程問題轉化為簡單的力學問題，運用力學知識建立系統的力學模型并對其進行求解［1～3］。細長軸類零件在工程機械中應用較為廣泛，在解決細長軸類零件受力問題時單純地把它等效為剛體是不可行的，細長軸在加工或工作過程中會發生彈性變形，不僅會導致機器工作精度降低，還會引起較大的振動。文中描述了互等定理解決超靜定問題的求解過程，并以細長軸車削加工為例，建立細長軸車削時的超靜定力學模型，并運用互等定理對其進行求解。

1　互等定理求解問題的一般過程

假設圖1所示的懸臂梁為線彈性結構，其上分別作用力F1和F2。懸臂梁在力的作用下發生彈性變形，沿兩力方向的位移分別為δ1和δ2。

則懸臂梁的變性能應為F1和F2所做的功，即：

將F1和F2看做第一組力，在梁上再加一組力F3和F4，則梁在F3和F4作用下分別產生位移δ3和δ4，同時F1和F2在結構上會多產生一段位移，分別為δ1′和δ2′，如圖2所示。

此時懸臂梁的變形能不僅增加了F3和F4所做的功，還有F1和F2多做的功，即

其中，δ1′和δ2′是F1和F2在F3和F4作用下沿F1，F2方向的位移。同理，如果先加第二組載荷F3和F4，則二力產生位移分別為δ3和δ4。再添加第一組載荷F1和F2，此時不僅F1和F2會產生位移δ1和δ2，F3和F4也會多產生一段新位移δ3′和δ4′，則懸臂梁的總變形能為

其中，δ3′和δ4′是F3和F4在F1和F2作用下沿F3，F4方向的位移。

由于材料的變性能只與所加載荷的大小與載荷的位移有關，與加力的順序沒有關系［4］，所以Vε1= Vε2。則令（2）式等于（3）式，可得

即第一組力在第二組力引起的位移上所做的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所做的功，此即互等定理［4］。

2　細長軸車削問題的求解

細長軸零件車削時容易產生振動，因此加工時通常會使用尾頂針來夾持。則細長軸的一端由三爪卡盤夾緊，另一端由尾頂針固定，如

將三爪卡盤等效為為固定端，尾頂針等效為鉸支座，在切削力F的作用下，建立細長軸的受力模型，如圖4所示。

方程數量小于位置約束力數量，因此該力學模型為超靜定模型。考慮運用互等定理求解。

由此可得第一組力在第二組力引起的位移下的功為

由于B處為鉸支座，所以單位力F′的位移為零，則根據互等定理有

綜上可得，運用互等定理解決工程中的超靜定問題具有切實可行的意義。該方法簡化了非常規力學問題的解答過程。

參考文獻：

［1］武文革，龐思勤，常興.可逆向車削細長軸加工誤差的力學分析［J］.北京理工大學學報，2004，24（02）：109-112.

［2］張于賢，王紅.關于逆向車削加工細長軸誤差的力學分析［J］.機械設計與制造，2005（01）：59-60.

［3］姜廣美.車削加工細長軸的方法研究［J］.硅谷，2010（11）：49.

［4］劉鴻文.高等材料力學［M］.高等教育，1985.

項目來源：南京農業大學SRT計劃項目資助（1530A23）

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.13.225

作者簡介：李昊（1995-），男，本科，現就讀于南京農業大學工學院機械工程系。