基于太陽影子軌跡的定位研究

李霏雯　柴晴　張鶴揚

【摘 要】本文主要研究太陽影子運動軌跡進行地理定位。首先確定直桿影子一天內的運動軌跡與太陽位置參數之間的關系，建立某地定長直桿影子坐標隨時間、經度、緯度、直桿長度變化的數學模型，在直桿高度、日期未知的條件下利用空間四面體模型及變量分析確定地理經緯度。最后，本文討論模型優化與推廣，并提出優化思路和方案。

【關鍵詞】地理定位；影子軌跡；空間四面體；高度角；方位角；赤緯角；時角

0 前言

利用太陽影子定位技術分析物體太陽影子變化情況，確定視頻拍攝的地點和日期。日照與影子的動態關系及數學模型的研究，參考文獻[1]給出了具體的介紹及闡述，但該模型建立在多變量已知的前提下，并未對變量深入研究。本文基于現有模型改進，在直桿高度及日期未知的條件下對直桿定位，完善太陽影子長度與經緯度、日期、時間、桿高之間的數學模型。

1 模型假設

1）假設觀測地區大氣均勻，不考慮空氣中粉塵、顆粒物等對光線傳播路徑的影響。

2）假設太陽對地球的相對運動為勻速圓周運動。

3）考慮到日心到地心的距離遠遠大于地球半徑，假設一段時間內太陽繞地心轉過的角度與太陽繞地球表面某點轉過的角度相同。

2 日照與影長數學模型

物體影子軌跡主要受地球自轉和繞太陽的公轉的影響，通過分析影響影子變化的參數，本文主要研究以下問題：

1）分析現有研究，建立日照與影長數學模型，確定影子長度隨各參數的變化規律；

2）桿高、日期未知，根據水平地面上影子頂點坐標，確定直桿所處地點及日期；

2.1 “立竿見影”的數學分析

現有對影子軌跡的研究主要是針對 “立竿見影”現象[1]的數學分析。

一天內主要考慮地球自轉，可獲得不同時刻桿頂落影點P′的位置，構成桿影跡線。太陽的運行軌跡映射為桿頂落影點的運動軌跡。

以地球為參考系，將地球自轉簡化為地球靜止，太陽繞地球轉動，如圖2所示。高度圈、方位圈、赤道圈、地平圈及時圈的定義見參考文獻[1]。將太陽系假設為一個近似球體，地球與近似球體同一球心，太陽繞地球在近圓形軌道上運行。

太陽位置點L在天體中相對地球位置O上某一點的位置，由該點的經緯度、日期（月、日）和時間3個因素決定。通常以太陽高度角h、方位角A、赤緯角δ、時角Ω表示太陽的位置[1]。

2.2 影長與各個參數間數學關系

桿影軌跡點的坐標可利用太陽位置參數和式（1）求得。

一天內影子長度主要由時間、經度、緯度、直桿長度決定，利用一天內影子的軌跡圖及太陽位置參數的相關公式，通過坐標系確定影子軌跡運動規律。

太陽高度角h隨著地方時和太陽的赤緯的變化而變化。太陽赤緯角（等于太陽直射點緯度）以δ表示，觀測地緯度用Φ表示（設太陽赤緯與地理緯度北緯為正，南緯為負），時角（地方時）以Ω表示。在地球上某一點太陽高度角即為太陽光的入射方向與地平面的夾角。

2.3 影子頂點坐標確定地理位置

假設某地的直桿高度、日期未知，由影子頂點坐標數據可以求得影長，若能夠確定直桿的高度，根據太陽高度角、方位角、赤緯角、時角的關系可求得當地經緯度。經度由當地時間與北京時間之差確定、緯度由日期求得的太陽高度確定。

2.3.1 直桿高度的確定

2.3.2 視頻拍攝日期的確定

根據太陽一年中不同日期（季節）在不同緯度光照角度的變化，得出影子的變化規律。

已知直桿高度H、某時刻t影子的位置坐標（x0，y0）即可求得影長L， β等于太陽高度h。綜合上述分析，聯立公式（1）-（5）及（7），可化簡為2個獨立的方程組，但具有3個變量即一年中的第n天、太陽赤緯角δ、地理緯度Φ。從數學角度分析，該方程有無數個解，但是考慮生活實際，一年365天，即n∈[1，365]。日期可確定同時可確定δ， Φ可由δ進一步求得，根據Φ可確定與某月某日相對應的可能位置點的地理緯度。

2.3.3 直桿所處地點位置的確定

已知直桿高度、影長，通過太陽高度角、方位角、赤緯角、時角的關系求當地的地理緯度；通過影子頂點坐標數據、日期、時間，求該地的地方時間，由當地時間與北京時間之差計算當地經度。

3 模型優化與推廣應用

3.1 模型的優化

由于不同地區的空氣成分不同，其折射率存在一定誤差，考慮大氣對光線的折射影響。大氣層中存在水蒸氣、二氧化碳和塵埃等雜質，其密度大于大氣層外的真空環境，因此太陽光射入大氣層內時會產生折射。太陽高度角和方位角存在誤差，對計算分析影子變化與經緯度之間的關系產生影響。對精度要求高時，應考慮空氣折射率對光線傳播的影響。

可通過埃德林的空氣折射率公式[3]對太陽高度角進行修正。

3.2 模型的推廣應用

在當今視頻拍攝技術高速發展的時代，對視頻數據的分析處理成為一項重要的研究課題。本文模型可用于通過提取視頻物體及影子運動軌跡信息，確定視頻的拍攝地點和拍攝日期。

雖然全球衛星定位系統日益完善，但仍存在太陽黑子、耀斑、磁暴等太陽活動或其他極端天氣對衛星定位準確性與穩定性的威脅。本文利用太陽影子定位的方法不受上述因素制約，可在艱苦環境中利用簡單的道具與方法對位置進行估算，它是衛星定位的一種良好補充，尤其適合于沒有通訊設備的野外。太陽影子定位是獨立于衛星通信的一種科學定位法。

根據影子軌跡可反求建筑物高度、合理間距、采光效果等；建筑設計舊址改造等問題也可參考本文研究的模型，使設計建筑采光更加簡便。

【參考文獻】

[1]鄭鵬飛，林大均，劉小羊，等.基于影子軌跡線反求采光效果的技術研究[J].華東理工大學學報（自然科學版），36卷第3期，458-463頁，2010.

[2]吉林省建筑設計院.建筑日照設計[M].北京：中國建筑工業出版社，1979.

[3]倪育才.空氣折射率埃德琳公式的修改[J].計量技術，1998.

[責任編輯：王偉平]